1、第六章定積分的應用內容概要名稱主要內容定積分的元素法定積分的元素法是一種簡單記憶定積分（）三步驟的方法：1、將記為 2、將寫為平面圖形的面積直角坐標系X-型Y-型極坐標系體積旋轉體體積已知平行截面面積的立體體積繞x軸旋轉：已知垂直于x軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間，則：已知垂直于y軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間，則：繞y軸旋轉：繞y軸旋轉：平面曲線的弧長直角坐標參數(shù)方程極坐標：，；：，；物理應用：1、變力沿直線作功 2、水壓力 3、引力課后習題全解習題6-2 1求由曲線與直線所圍圖形的面積。 知識點：平面圖形的面積思路：由于所圍圖形無論表達為X-型還

2、是Y-型，解法都較簡單，所以選其一做即可解： 見圖6-2-101圖6-2-1所圍區(qū)域D表達為X-型：， （或D表達為Y-型：） （） 2求在區(qū)間0，/2上，曲線與直線、所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形無論表達為X-型還是Y-型，解法都較簡單，所以選其一做即可解：見圖6-2-20圖6-2-21所圍區(qū)域D表達為X-型：， （或D表達為Y-型：） （ ）3求由曲線與所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為Y-型時解法較簡單，所以用Y-型做解：見圖6-2-304圖6-2-3兩條曲線的交點：，所圍區(qū)域D表達為Y-型：，（由于圖形關于X軸對稱，所以也可以解為：）4求由

3、曲線、及直線所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：所圍圖形關于Y軸對稱，而且在第一象限內的圖形表達為Y-型時，解法較簡單解：見圖6-2-401圖6-2-412第一象限所圍區(qū)域表達為Y-型：，（若用X-型做，則第一象限內所圍區(qū)域，其中：，：；）5求由曲線與直線及所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為X-型,解法較簡單，所以用X-型做解：見圖6-2-501圖6-2-521兩條曲線和的交點為（1，1）、（-1，-1），又這兩條線和分別交于 、所圍區(qū)域表達為X-型：，6拋物線分圓的面積為兩部分，求這兩部分的面積知識點：平面圖形面積思路：所圍圖形關于X軸對稱，而且在第一象限內的圖形

4、表達為Y-型時，解法較簡單解：見圖6-2-6，設陰影部分的面積為，剩余面積為0圖6-2-602兩條曲線、的交于（舍去的解）， 所圍區(qū)域表達為Y-型：；又圖形關于x軸對稱， （其中） 7求由曲線、與直線所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為X-型時，解法較簡單，所以用X-型做解：見圖6-2-701圖6-2-71兩條曲線和的交點為（0，1），又這兩條線和分別交于 和所圍區(qū)域表達為X-型：，8求由曲線與直線及所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為Y-型時，解法較簡單，所以用Y-型做解：見圖6-2-801圖6-2-8在的定義域范圍內所圍區(qū)域：，9求通過（0，0）

5、，（1，2）的拋物線，要求它具有以下性質：（1）它的對稱軸平行于y軸，且向下彎；（2）它與x軸所圍圖形面積最小知識點：平面圖形面積和求最值思路：首先根據(jù)給出的條件建立含參變量的拋物線方程，再求最值時的參變量解：由于拋物線的對稱軸平行于y軸，又過（0，0），所以可設拋物線方程為，（由于下彎，所以），將（1，2）代入，得到，因此 該拋物線和X軸的交點為和，所圍區(qū)域：得到唯一極值點：，所求拋物線為： 10求位于曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積知識點：切線方程和平面圖形面積思路：先求切線方程，再作出所求區(qū)域圖形，然后根據(jù)圖形特點，選擇積分區(qū)域表達類型解：，在任一點處的切線

6、方程為而過（0，0）的切線方程就為：，即所求圖形區(qū)域為,見圖6-2-100圖6-2-10X-型下的：，：11求由曲線所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線是半徑為、圓心（）的圓在極坐標系下的表達式，可直接求得面積為，也可選擇極坐標求面積的方法做。解：作圖6-1-110圖6-1-11知所求圖形區(qū)域：12求三葉玫瑰線的面積知識點：平面圖形面積圖6-2-120思路： 三葉玫瑰由三瓣面積相等的葉片組成圖6-2-12中所畫是三葉玫瑰中的一葉，而一葉圖形又關于對稱，因此選擇其中一葉的一半區(qū)域求其面積解：13求由曲線所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形關于極軸對稱

7、，因此選擇其中一半區(qū)域求其面積圖6-2-130解：14求對數(shù)螺線及射線所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形是由，從到一段曲線及射線所圍，由此可確定、的范圍圖6-2-140解：所圍區(qū)域：15求由曲線及所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成，其中一部分為兩圖形重疊部分，而又關于極軸對稱，設在（0，）內的曲線和極軸圍成的半個為區(qū)域圖6-2-1503/2解：兩條曲線、交于處，因此分割區(qū)域，其中：，：16求由曲線及所圍圖形的面積知識點：平面圖形面積圖6-2-160思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成，其中一部分為兩圖形重疊部

8、分，而又關于射線對稱，設兩條曲線在（0，）圍成的半個為區(qū)域解：兩條曲線、交于及因此分割區(qū)域，其中：，：（和書后答案不同）17求由擺線，及x軸所圍圖形的面積0圖6-2-17知識點：平面圖形面積思路：在直角坐標系下作圖可知所圍圖形的、變化范圍，先求出直角坐標系下積分表達式，再將積分變量代換成解：所圍區(qū)域：， （為擺線）， 作代換，則習題6-31 求下列平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉產生的立體體積：(1)曲線與直線、所圍成的圖形；01圖6-3-1-14知識點：旋轉體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應的公式。解：平面圖形D：，見圖6-3-1-1繞x軸旋轉產生的立體體積： ； 繞

9、y軸旋轉產生的立體體積：(和書上答案不同)(2)在區(qū)間上，曲線與直線、所圍成的圖形；0圖6-3-1-21解：平面圖形D：，見圖6-3-1-2，繞x軸旋轉產生的立體體積： ；繞y軸旋轉產生的立體體積：方法一：方法二：可看作由（矩形，）繞y軸旋轉而成的體積，減去由（，）繞y軸旋轉而成的立體體積所得(3)曲線與直線、所圍成的圖形。解：平面圖形D：，繞x軸旋轉產生的立體體積： ；繞y軸旋轉產生的立體體積：（繞y軸旋轉產生的立體體積如同（2）也有兩種計算法）2求由曲線、所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所產生的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積思路：該平面圖形繞y軸旋轉而成體積可看作：繞y軸旋轉而成的體積，減去：繞

10、y軸旋轉而成的立體體積所得，見圖6-3-201圖6-3-21解： 3求由曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所產生的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應的公式解：平面圖形D：，繞y軸旋轉產生的立體體積： （繞y軸旋轉產生的立體體積如同1（2）也有兩種計算法）4求由曲線，（）所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體體積。0圖6-3-4知識點：旋轉體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應的公式解：平面圖形D：，見圖6-3-4，繞x軸旋轉產生的立體體積： 5求擺線，的一拱與所圍圖形繞直線軸旋轉而成的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積圖

11、6-3-50思路：若設所圍區(qū)域為，則該平面圖形繞旋轉而成體積可看作矩形區(qū)域：繞旋轉而成的體積，減去區(qū)域：繞旋轉而成的立體體積所得，（其中，表示擺線的函數(shù)式，見圖6-3-5解：，作代換，則6求繞（）旋轉而成的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積0圖6-3-6線段思路：由圖形的對稱性可知所求體積，其中是由（）部分，繞旋轉而成的旋轉體體積，又根據(jù)元素法，是由圖形中的線段（）繞旋轉一周所得的圓柱面疊加而成，見圖6-3-6解：7由心形線和射線及所圍圖形繞極軸旋轉而成的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積思路：極坐標中的此平面圖形繞極軸旋轉相當于直角坐標系下的該圖形繞x軸旋轉圖6-3-708解：平面區(qū)域：（），見圖6

12、-3-7心形線的直角坐標表示： （），根據(jù)直角坐標下的體積計算及，得： 8計算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上的一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積。知識點：已知平行截面面積的立體體積思路：首先以固定直徑為x軸確立圓方程：，再求垂直于x軸的截面面積，然后代入公式。見圖6-3-8圖6-3-8解：以固定直徑為x軸圓心為坐標原點，則圓方程為：，在圓內，垂直于x軸的截面面積，9求曲線與直線，及所圍成的圖形分別繞ox軸、oy軸旋轉一周所產生的旋轉體體積。知識點：旋轉體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應的公式解：平面圖形D：，繞x軸旋轉產生的立體體積： ；繞y軸旋轉產生

13、的立體體積： （繞y軸旋轉產生的立體體積如同1（2）也有兩種計算法）10設直線與直線，及所圍成的梯形面積等于，試求、，使這個梯形繞x軸旋轉所得旋轉體體積最小（，）。知識點：旋轉體體積，以及最值問題思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），進而求出以為變量的旋轉體體積，再求最小值。 解：梯形區(qū)域： ， 0 1由條件， ，得，習題6-41用定積分表示雙曲線上從點（1，1）到點（2，1/2）之間的一段弧長。思路：曲線表達為（或）代入相應公式計算弧長解：，2計算曲線上相應于的一段弧的弧長。思路：曲線表達為（或）代入相應公式計算弧長解：，3計算曲線上相應于的一段弧的弧長。解：，4計算曲線（）的弧長。解：，5計算拋物線（）從頂點到其上點的弧長。思路：拋物線表達為（或），代入相應公式計算弧長解：， （或通過公式