1、一元二次不等式解法的啟示數(shù)形結(jié)合解不等式相信同學(xué)們都熟知，在教材中有一個(gè)圖表，這個(gè)圖表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集與一元二次方程的根及一元二次函數(shù)的圖像三者的密切關(guān)系。對(duì)這個(gè)圖表，很多老師可能就是要求同學(xué)們熟記其中的結(jié)論而沒(méi)有更多的指導(dǎo)，因此同學(xué)們也就機(jī)械地進(jìn)行硬背這個(gè)圖表的結(jié)論。然而沒(méi)有理解又怎么能記得牢固呢？也很少同學(xué)會(huì)從這種利用二次方程的根及二次函數(shù)的圖像來(lái)解一元二次不等式的方法中得到什么啟示。xyOx1x2圖（1）我認(rèn)為在這個(gè)圖表中，我們的重點(diǎn)應(yīng)該是看二次函數(shù)的圖像：在圖（1）中函數(shù)的圖像被x軸分成兩部分：在x軸上方即對(duì)應(yīng)著或，在x軸下方即對(duì)應(yīng)著；因此由圖像直觀地有一元二次不等式

2、（）的解為或，而不等式（）的解為。在另兩個(gè)圖中情況類似。如果我們把x軸看成函數(shù)，那么就可以從上面這種一元二次不等式的解法得到啟示，并把這種方法推廣用到解其它的不等式中去。即一般地有：在同一直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)和的圖像，則兩圖像的交點(diǎn)的x坐標(biāo)就是方程的解，其中有幾個(gè)交點(diǎn)就有幾個(gè)解，沒(méi)有交點(diǎn)就沒(méi)有解；在某些區(qū)間內(nèi)均有的圖像在的上（下）方，那么這些區(qū)間就是不等式（或）的解。下面我們來(lái)看幾個(gè)例子：xyO236圖（2）例1、解不等式。解：易知方程的解為，又函數(shù)和函數(shù)的圖像草圖如圖（2）則直觀地有原不等式的解為。評(píng)注：這里我們只需解方程并畫函數(shù)的圖像草圖即可直觀地得出不等式的解。按常規(guī)的解法需要把原

3、不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式其中，這是常規(guī)方法解一元二次不等式的關(guān)鍵步驟。而很多同學(xué)容易在這關(guān)鍵步驟中出兩方面的錯(cuò)誤：一是沒(méi)有注意到要化二次項(xiàng)系數(shù)大于零；二是在化二次項(xiàng)系數(shù)大于零的過(guò)程中沒(méi)有注意到不等式要改變不等號(hào)，或是在最后寫出不等式的解時(shí)仍套用原不等號(hào)時(shí)的不等式的情況。xyO圖（3）4/33例2、解不等式。解：易知方程無(wú)解。又函數(shù)和函數(shù)的圖像草圖如圖（3）則直觀地有原不等式的解為。評(píng)注：同樣這里我們只需解方程并畫函數(shù)的圖像草圖即可直觀地得出不等式的解。而不用像常規(guī)方法一樣先去解被開(kāi)方數(shù)大于零的不等式組，（這一步驟往往是同學(xué)們?nèi)菀淄浀模┰賰蛇吰椒剑ê芏嗤瑢W(xué)往往也不注意不等式兩邊能夠平方的條件）把無(wú)理式

4、化成整式，最后還要取不等式的交集。xyO236圖（4）-16例3、解不等式解：易知方程的解為，。又函數(shù)和函數(shù)的圖像草圖如圖（4）則直觀地有不等式的解為或或。例4、解不等式。xyO圖（5）1/25解：容易知不等式等價(jià)于xya1a=10a1圖（6）O2a/(1-a2)，方程的解為，而方程無(wú)解；又函數(shù)，的圖像草圖如圖（5）則直觀地有原不等式的解為。評(píng)注：例3、例4中與常規(guī)方法比較均避免了解繁瑣的不等式組。例5、解不等式。解：容易知方程的解為，（當(dāng)時(shí)僅有一解），又函數(shù)，的圖像草圖如圖（6）則直觀地有原不等式的解為當(dāng)時(shí)是，當(dāng)時(shí)是。評(píng)注：雖然避免不了對(duì)參數(shù)a 討論，但利用函數(shù)的圖像使討論非常直觀，且避免了解繁瑣的不等式組。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想、方法之一，這里利用函數(shù)的圖像解不等式就