1、第13章 機械波,中國國家管弦樂團在聯(lián)合國總部的演出,一.波的分類,什么是波？,振動在空間的傳播就形成了波.,機械振動在彈性介質中由近及遠地傳播形成機械波。,產(chǎn)生條件,1. 機械波,波源：作機械振動的物體,彈性介質：承擔傳播振動的物質,（遵循經(jīng)典的力學規(guī)律）,13.1 機械波的產(chǎn)生和傳播,2. 電磁波,變化的電場和變化的磁場(電磁振動)在空間的傳播過程形成電磁波，如光波、無線電波、x射線等。,產(chǎn)生條件,宏觀：凡做加速運動的電荷都是電磁波的波源,例：天線中的振蕩電流,微觀：分子或原子從高能級向低能級的躍遷,（可以在真空或介質中傳播）,（遵循麥克斯韋電磁場理論）,3. 物質波（概率波）,物質波是微

2、觀粒子的一種屬性，與經(jīng)典的波相比具有完全不同的本質。,（遵循量子力學理論）,波的共同特點：1.，2.，3.,二. 橫波和縱波,橫波：,介質質點的振動方向與波傳播方向相互垂直的波；如彈性繩上傳播的波.,縱波：,介質質點的振動方向和波傳播方向相互平行的波；如空氣中傳播的聲波.,(就機械波而言:氣體和液體內(nèi)只能傳播縱波，不能傳播橫波）,結論,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,橫 波,縱 波,(1) 波動中各質點并不隨波前進；,y,x,波動曲線,(2) 在波的傳播方向上各個質點的相位依次落后,

3、波動是相位的傳播；,(3) 波動曲線與振動曲線不同。,三. 波面和波線,沿波的傳播方向作的有方向的線。,波線,波線,在波傳播過程中，任一時刻媒質中振動相位相同的點聯(lián)結成的面。(振動狀態(tài)與波面),波面,波前,在某一時刻，波傳播到的最前面的波面。,球面波,柱面波,波面,波線,波面,波線,在各向同性均勻媒質中，波線波面。,注意,x,y,z,平面波,平面波,某時刻，在同一條波線上，是否有振動相位相同的點？ 是否有振動狀態(tài)相同的點？,同一波線上相位差為 2 的質點之間的距離；即波源作一次完全振動，波前進的距離。,四.波長 周期 頻率和波速,波前進一個波長距離所需的時間。周期表征了波的時間周期性。,單位時

4、間內(nèi)，波前進距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關系為,振動狀態(tài)在媒質中的傳播速度。波速與波長、周期和頻率的關系為,波長反映了波的空間周期性。,波速與波長、周期和頻率的關系為,通常波的周期和頻率與媒質的性質無關； 與波源振動的周期和頻率相同。,a. 拉緊的繩子或弦線中橫波的波速為：,b. 均勻細棒中，縱波的波速為：,(2) 通常波速（亦即相速度）主要決定于媒質的性質， 與波的頻率無關。,說明, 張力, 線密度,幾種情況下的波速,l0,l0 + l,長變,Y : 楊氏模量,c. 固體媒質中傳播的橫波速率由下式給出：,F,切變,S,x,h,G: 切變彈性模量,同一種材料： G Y, 固體中 u橫波u縱

5、波,d. 液體和氣體只能傳播縱波，其波速由下式給出,容變,V0+ V,B: 流體的容變彈性模量,e. 稀薄大氣中的縱波波速為,氣體分子熱運動平均速率?,波面為平面的簡諧波,13.2 平面簡諧波,簡諧波 波所到之處，介質中各質點勻作同頻率的諧振動。,本節(jié)主要討論在無吸收（不吸收波的能量）各向同性、均勻無限大媒質中傳播的平面簡諧波。,平面簡諧波,平面簡諧波,說明,簡諧波是一種最簡單、最基本的波，研究簡諧波的波動規(guī)律是研究更復雜波的基礎。,一. 平面簡諧波的波函數(shù),平面波函數(shù),y,x,x,P,O,簡諧振動,確定P 點 t 時刻的振動狀態(tài)：O 點,簡諧振動,平面簡諧波的波函數(shù),時刻的狀態(tài)：,若,P 為

6、任意點,(波函數(shù)),波函數(shù)-,(P 點相位較O 點落后 ),波函數(shù)的其它形式,(3) 若波沿軸負向傳播時，同樣可得到波函數(shù):,y,x,x,P,O,若,(P 點相位較O 點超前 ),其 它 形 式,如圖，,在下列情況下試求波函數(shù)：,(3) 若 u 沿 x 軸負向，以上兩種情況又如何？,例,(1) 以 A 為原點；,(2) 以 B 為原點；,B,A,已知A 點的振動方程為：,在 x 軸上任取一點P ，該點 振動方程為：,波函數(shù)為：,解,P,(2) 以 B 為原點；,P,B 點振動方程為：,波函數(shù)為:,(3) 以 A 為原點：,以 B 為原點：,已知A點的振動：,P,波函數(shù)為:,（波傳播方向？),二

7、. 波函數(shù)的物理意義,(2) 波形傳播的時間周期性,(1) 振動狀態(tài)的空間周期性,（表明波具有空間周期性）,（表明波具有時間周期性）,t1時刻的波形,O,y,x,(4) t 給定，y = y(x) 表示 t 時刻的波形圖,(5) x和 t 都在變化，表明各質點在不同時刻的位移分布。,(3) x 給定，y = y (t) 是 x 處振動方程,t1+t時刻的波形,一平面簡諧波沿 x 軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為,標準形式,波函數(shù)為,比較可得,例,解,波的振幅、波長、周期及波速； 質點振動的最大速度。,求,(1)與標準形式比較,(2),三. 平面波的波動微分方程,由,知,(2) 不僅適用于機械波，也

8、適用于電磁波、對于熱傳導、擴散過程也存在這樣的方程；,(1) 上式是一切平面波所滿足的微分方程（且正、反傳播）；,(3) 若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動方程為,說明,四.固體棒中縱波的波動方程,1.某截面處的應力、應變關系,o,x,x + x,x,自由狀態(tài),t 時刻,( x,t ),( x+ x, t ),x 截面,x+x 截面,x 段的平均應變:,(x+ x,t ) - (x,t ) / x,x 處截面 t 時刻 : 應變?yōu)?/x 應力為 F(x,t)/S,應力 、應變關系,x,Y : 楊氏模量,2. 波動方程,將應力、應變關系代入, x0,13.3 波的能量,波動過程,質元由靜

9、止開始振動,質元也發(fā)生形變,波動過程是能量的傳播過程,一. 波的能量和能量密度,O,x,y,線元的動能為,線元的勢能（平衡位置為勢能零點）為,（以繩索上傳播的橫波(簡諧波)為例）,設波沿 x 方向傳播，取線元,T2,T1,y,由,得,其中,線元的機械能為,和,(1) 在波的傳播過程中，媒質中任一質元的動能和勢能是同步變化的，即Wk=Wp，與簡諧彈簧振子的振動能量變化規(guī)律是不同的.,討論,x,y,O,A,B,機械能,(2) 質元機械能隨時空周期性變化，表明質元在波傳播過程中不斷吸收和放出能量；因此，波動過程是能量的傳播過程,能量密度,設繩子的橫截面為S ，體密度為,，則線元單位體積,中的機械能（

10、能量密度）為,平均能量密度,說明：.,1. 能流,在一個周期中的平均能流為,s,ut,2. 能流密度,通過垂直于波線截面單位面積上的能流。,大小：,方向：波的傳播方向,矢量表示式：,在單位時間內(nèi)通過某一截面的波動能量為通過該面的能流,S,二. 能流密度,波的強度 一個周期內(nèi)能流密度大小的平均值。,三. 平面波和球面波的振幅,1. 平面波,（不吸收能量）,由,得,這表明平面波在媒質不吸收的情況下, 振幅不變。,2. 球面波,由,令,得,球面波的振幅在媒質不吸收的情況下,隨 r 增大而減小.,若 則球面簡諧波的波函數(shù)為,（A0為離原點（波源）r0 距離處波的振幅）,討論：柱面波振幅的情況.,四.

11、波的吸收,O,吸收媒質,實驗表明, 為介質吸收系數(shù)，與介質的性質、溫度及波的頻率有關。,x,I,x,I0,I0,O,I,應用：,增加吸收,減少吸收,(1) 知某一時刻波前，可用幾何方法決定下一時刻波前；,說明,R1,R2,S1,S2,O,13.4 惠更斯原理,惠更斯原理：,(1) 行進中的波面上任意一點都 可看作是新的子波源；,(3) 各個子波所形成的包絡面，就是原波面在一定時間內(nèi)所傳播到的新波面。,(2) 所有子波源各自向外發(fā)出許多子波；,(2) 亦適用于電磁波，非均勻和各向異性媒質；,(4) 不足之處（未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律）。,(3) 解釋衍射、反射、折射現(xiàn)象；,B,C,A,由幾何

12、關系知：,u1,u2,u2t,d = u1t,(反射),13.5 波的干涉,一. 疊加原理,1. 波傳播的獨立性,2. 疊加原理,當幾列波在傳播過程中在某一區(qū)域相遇后再行分開，各波的傳播情況與未相遇一樣，仍保持它們各自的頻率、波長、振動方向等特性繼續(xù)沿原來的傳播方向前進。,在波相遇區(qū)域內(nèi)，任一質點的振動，為各波單獨存在時所引起的振動的合振動。,v1,v2,注意,波的疊加原理僅適用于線性波的問題,二. 相干波與相干條件,一般情況下，疊加問題復雜。,干涉實驗與干涉現(xiàn)象:,當兩列（或多列）波疊加時，其合振動的振幅 A 和合強度 I 將在空間形成一種穩(wěn)定的分布，即某些點上的振動始終加強，某些點上的振動

13、始終減弱的現(xiàn)象。,相干波,相干條件,頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。,相干波源,滿足相干條件的波,產(chǎn)生相干波的波源,【相干疊加】,三. 干涉規(guī)律,根據(jù)疊加原理可知，P 點處振動方程為,S1,S2, 合振動的振幅,P,P, P 點處波的強度,P,相位差, 空間點振動的情況分析,當,干涉相長,當,干涉相消,討論,干涉相長,(1) 若,(2) 若,干涉相消,干涉相長,干涉相消,從能量上看，當兩相干波發(fā)生干涉時，在兩波交疊的區(qū)域，合成波在空間各處的強度并不等于兩個分波強度之和，而是發(fā)生重新分布，形成了時間上穩(wěn)定、空間上強弱相間具有周期性的一種分布。,波程差,A、B 為兩相干波源，距離為 30 m

14、，振幅相同，初相差為 ,u = 400 m/s,f =100 Hz 。,例,A、B 連線上因干涉而靜止的各點位置。,求,解,B,A,30m,（P 在A 左側）,（P 在B 右側）,(即在兩側干涉相長，不會出現(xiàn)靜止點),r1,r2,P 在A、B 中間,干涉相消,(在 A，B 之間距離A 點為 r1 =1,3,5,29 m 處出現(xiàn)靜止點),13.6 駐波,一. 弦線上的駐波實驗,波腹,波節(jié),兩列等振幅相干波相向傳播時疊加形成駐波,駐波條件：,二. 駐波波函數(shù),(a),(b),(c),C1,C2,D1,D2,D3,，即駐波是各質點振幅按余弦分布,(1),波腹(A= Amax) ：,討論,波節(jié)(A=

15、Amin) ：,相鄰兩波腹之間的距離：,(2) 所有波節(jié)點將媒質劃分為長,的許多段，每段中各,質點的振動振幅不同，但相位皆相同；而相鄰段間各質點的振動相位相反; 即駐波中不存在相位的傳播。,相鄰兩波節(jié)之間的距離：,(3) 沒有能量的定向傳播。能量只是在波節(jié)和波腹之間，進行動能和勢能的轉化。,勢能,動能,勢能,(4) 半波損失。,反射點為波節(jié)，表明入射波與反射波在該點反相。,(3) 以B為坐標原點求合成波，并分析波節(jié)，波腹的位置坐標。,(1) 以D 為原點，寫出波函數(shù)；,平面簡諧波 t 時刻的波形如圖，此波波速為 u ，沿x 方向傳播，振幅為A，頻率為 v 。,(2) 以 B 為反射點，且為波節(jié)

16、，若以 B 為 x 軸坐標原點，寫出入射波，反射波函數(shù)；,例,解,(1),(2),求,B,D,x,y,(3),波腹,波節(jié),已知某一弦線的駐波方程為：,例,求,兩波節(jié)間駐波的能量（設弦線線密度為）。,解,取平衡位置對應的時刻，,此時刻 dm 的動能為,13.7 多普勒效應,由于觀察者（接收器）或波源、或二者同時相對媒質運動，而使觀察者接收到的頻率與波源發(fā)出的頻率不同的現(xiàn)象，稱為多普勒效應。,一. 波源靜止，觀察者運動,遠離,靠近,觀察者,二. 觀察者靜止，波源運動,S 運動的前方波長變短,三. 波源和觀察者同時運動,遠離,靠近,符號正負的選擇與上述相同,u,觀察者,若波源和觀測者的運動方向不在二

17、者連線上,有縱向多普勒效應;,無橫向多普勒效應,*光波的多普勒效應,v : 、O 相對速度的絕對值,縱向效應,橫向效應,多普勒效應,觀察者,觀察者,討論,時，多普勒效應失去意義，此時形成沖擊波。,馬赫角,聲障,多普勒效應的應用:,監(jiān)測車輛行駛速度,測量血液流速,一警笛發(fā)射頻率為1500 Hz 的聲波，并以22 m/s 的速度向某一方向運動，一人以6 m/s 的速度跟蹤其后.,觀察者接收到的頻率( 波源和觀察者同時運動 ) ：,警笛后方空氣中聲波的頻率( 觀察者靜止，波源運動 ) ：,警笛后方空氣中聲波的波長:,例,解,該人聽到的警笛發(fā)出的聲音的頻率以及在警笛后方空氣中聲波的波長？,求,一頻率為1 kHz的聲源,以 vs=34 m/s 的速率向右運動.在聲源的右方有一反射面,以 v1=68 m/s 的速率向左運動. 設聲波的速度為 u=340m/s.,例,(1)聲源所發(fā)出的聲波在空氣中的波長.,求,(2)每秒內(nèi)到達反射面的波數(shù);,(3)反射波在空氣中的波長.,(1)在聲源的右側, 相對空氣靜止的觀察者接收到的頻率：,解