1、球及球與多面體的接、切,9.10 球,劉 曉 平,球的相關(guān)概念,1、球的定義,以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體(簡稱球)。半圓的圓心叫球心，半圓的半徑叫球半徑。,2、球的截面,用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面，如果這個平面過球心，稱截面圓為球的大圓（它的半徑等于球半徑），其他的截面圓叫做小圓。,3、球的半徑R與截面圓半徑r的關(guān)系,O,O1,P,r,R,d,4球的體積,5球的表面積,例1：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證： （1）球的體積等于圓柱體積的 （2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.,練習1：一個球的體積為1000.求它的表面積,(1)若球的表面

2、積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼?倍. 體積變成原來的 倍； (2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍. 體積變成原來的 倍； (3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是 . 半徑之比為 (4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是 . 半徑之比為 ,練習2,影響球的表面積及體積的只有一個元素，就是球的半徑.,練習3,距離為1的兩個平行截一個球，所得兩個截面圓的半徑分別為2和3，求這個球的半徑、表面積和體積。,與正方體有關(guān)的三個球,外接球,內(nèi)切球,棱切球,球與多面體的接、切,定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體， 這個球是這個

3、多面體的外接球。,定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體， 這個球是這個多面體的內(nèi)切球。,定義3：若一個多面體的各棱都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的棱切多面體， 這個球是這個多面體的棱切球。,問題1：已知正方體的棱長為a，分別求它的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積和面積。,問題2.1）一個正四面體外切于一個球,過球心和一條棱作一個截面,則截面的可能圖形是( ),B,問題2.2) 一個正四面體內(nèi)接于一個球,過球心和一條棱作一個截面,則截面的可能圖形是( ),C,解：設(shè)正四面體P-ABCD的棱長為PA=a，外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R和r，

4、如右圖，連AO，則AO=R，OD=r，又：,問題3：分別求正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑比、面積比和體積比。,故兩球的半徑比為：3：1 面積比為：9：1 體積比為：27：1,1. 已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ，求長方體的外接球的體積。,練習1：,2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積。,沿對角面截得：,練2 半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為 ，求半球的體積。,沿對角面截得：,1,問題4：正三棱錐的高為 1，底邊長為 。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。,過

5、側(cè)棱AB與球心O作截面( 如圖 ),在正三棱錐中，BE 是正BCD的高，,O1 是正BCD的中心，且AE 為斜高,解法1：,作 OF AE 于 F,設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，則 OA = 1 r, Rt AFO Rt AO1E,在 Rt AO1E 中,在 Rt OO1E 中,解法二：,問題4：正三棱錐的高為 1，底邊長為 。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。,設(shè)球的半徑為 r，則 VA- BCD =,VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD,解法三：,問題4：正三棱錐的高為 1，底邊長為 。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。,注意：割補法，,練3 三棱錐A BCD的兩

6、條棱 AB = CD = 6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑。,則截球得大圓，截正四棱錐得 PAC， 且 PAC 內(nèi)接于圓 O，如圖所示,練習4、求棱長為 a 的正四棱錐的外接球的體積。,過正四棱錐的相對側(cè)棱作截面, PA = PC = a, PAC 是等腰 Rt ,即 AC 為球的直徑,小結(jié)：,1. 長方體的對角線是其外接球的直徑；要善于應用該結(jié)論。,3. 求多面體的內(nèi)切球的半徑，可用割補法，半徑為小錐的高。,2. 正棱錐的外接球問題，常作過一條側(cè)棱及球心的截面。,課后思考,1、自球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA，PB，PC，球的半徑為R，則PA2+PB2+PC2=（ ） A、4 R