1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)專題：三角函數(shù)變換專題：三角函數(shù)變換人教實(shí)驗(yàn)版（人教實(shí)驗(yàn)版（B B） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 專題：三角函數(shù)變換 二. 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)； 2. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和積互化公式等三 角公式的應(yīng)用。 三. 知識分析： 1. 三角函數(shù)是一類重要的初等函數(shù)，因其在數(shù)列、不等式、解析幾何（如直線的傾斜角， 參數(shù)方程，極坐標(biāo)） 、立體幾何（如兩條異面直線成角，直線與平面的成角，二面角）中有 著廣泛的應(yīng)用，因此對三角函數(shù)與三角變形要有足夠的認(rèn)識。 2. 三角函數(shù)的周期性，以及 ysinx，ycosx 的

2、有界性是試題經(jīng)?？疾榈闹匾獌?nèi)容。要 掌握形如 yAsin（x）或 yAcos（x）的函數(shù)的周期的求法；靈活應(yīng)用 ysinx，ycosx 的有界性研究某些類型的三角函數(shù)的最值（或值域）問題。 3. 三角恒等式的證明因其技巧性較強(qiáng)，一度成為數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，近些年的高考試題對這類 題目的考查在減少，要求有所降低，但我們應(yīng)該充分重視三角變形，因?yàn)槠渲畜w現(xiàn)了對三 角公式的運(yùn)用能力，尤其體現(xiàn)了事物之間互相聯(lián)系，互相轉(zhuǎn)化的辯證思想。 4. 基于上述幾點(diǎn)理由，建議同學(xué)們在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，做到“立足課本，落實(shí)三基； 重視基礎(chǔ)，抓好常規(guī)”即復(fù)習(xí)時(shí)以中低檔題目為主，注意求值化簡題以及求取值范圍的習(xí) 題，另外，注意充分

3、利用單位圓，三角函數(shù)圖象研究問題。 【典型例題典型例題】 例例 1. ，已知 8 1 cossin_sincos 24 的值為，則且 分析：分析： cossin21)sin(coscossinsincos 2 與與與與與與與與 可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，應(yīng)注意到，當(dāng)cossin(cossin ) 2 42 0時(shí)，故sincoscossin 解析：解析：(cossin )sin cos 2 1212 1 8 3 4 而 42 cossin0 cossin 3 4 3 2 即的值為cossin 3 2 例例 2. ，求函數(shù)的最小已知函數(shù)（ 為常數(shù)，且）yxaxaasinsin 2 1 2

4、 0 值。 分析：分析：若將 sinx 換元，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而可把三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù)的最值問題，但要注意到：轉(zhuǎn)化后所得二次函數(shù)的定義域。 解析：解析：設(shè)，由于，故，sinxtxRt 11 原函數(shù)化為ytat 2 1 2 ()t aa t 24 1 2 11 2 2 ， 當(dāng)， ，即時(shí)， 的最小值為； a ay a 2 1120 4 1 2 2 當(dāng)， ，注意到，可知， a a 2 110 a 2 1 y2a1 2 a 取的最小值為時(shí)，即當(dāng) 綜上，得，當(dāng)時(shí)，； 20 4 1 2 2 ay a min 當(dāng)時(shí)，aya 2 1 2 min 點(diǎn)評：點(diǎn)評：在求解三角函數(shù)的最值時(shí)，注意

5、三角函數(shù)的有界性。 例例 3. 函數(shù)的最小正周期是。yxxsin()cos 3 22 分析：分析：一般地，要求三角函數(shù)的最小正周期，往往要用到如下結(jié)論： 式通形如的最小正周期。為此，需先把給定的函數(shù)解析yAxTsin() | | 2 過三角公式，變形為上述結(jié)論中的函數(shù)形式。 解析：解析：yxxsin()cos 3 22 sincoscossincos 3 2 3 22xxx ()cos() sin 3 2 12 1 2 2xx 232sin()x tan232 其中角滿足：，顯然 最小正周期T 2 2 | | 或按如下方法化簡解析式： yxxsin()cos 3 22 sin()sin() 3

6、 2 2 2xx 2 5 12 2 12 sin() cos() x 2 12 2 5 12 cossin() x 顯然 2 最小正周期T 2 2 | 點(diǎn)評：點(diǎn)評：一般地，如果給定的函數(shù)解析式不是形如 yAsin（x）的形式，在求其 最小正周期時(shí)，往往先將解析式變形為 yAsin（x）的形式。 例例 4. 2 cos2sin2 tan2. 1cos 若，則的值 分析一：分析一：觀察角，函數(shù)名稱的關(guān)系后，易聯(lián)想到萬能公式，于是可以按照如下方式去 求值。 解析：解析：原式 cossin cos 22 1 12 2 2 22 32 cossin cos 2 22 2 2 1tan2tan 1tan1

7、tan 2 1tan 3 1tan 2 2 1tan2tan 2 42tan 2 1222 422 1 6 2 2 ()() () 分析二：分析二：聯(lián)想到關(guān)于 sin，cos 的齊次公式可以化切，于是可以按照如下方式求值。 解析：解析：原式 (cossin)sincos (sincos)cos 22 222 2 2 2 1tan2tan tan2 1222 22 1 6 2 2 ()() () 點(diǎn)評：點(diǎn)評：兩相比較，發(fā)現(xiàn)解法二更為簡捷，事實(shí)上，對于已知 tan 的值，而求關(guān)于 sin，cos 的齊次公式的值時(shí)，方法二更具有通用性。 例例 5. 已知的三內(nèi)角分別為 、 、 ，且滿足ABCABCA

8、CB 2 112 2coscoscos cos ACB C ，求的值。 A 分析：分析：這是一道以三角形為背景材料的三角函數(shù)問題，要注意題中的隱藏條件： ABCACBBAC180260120 ，又二式聯(lián)立，易得，這對式 子的變形很有幫助。若把等式左邊通分，積差化積，積 112 coscoscosACB 化和差后，就會(huì)變形得到關(guān)于的式子，從而可求得的值，cos()cos()ACAC 再利用半角公式，即可求得的值，亦可能變形后，直接得到coscos ACAC 22 的式子，從而立即求值。 解析：解析： ACBABC2180，又 BAC60120 ， 11 coscos coscos coscosA

9、C AC AC 2 22 1 2 coscos cos()cos() ACAC ACAC 260 2 1 2 120 coscos coscos() AC AC cos cos() AC AC 2 1 4 1 2 cos ( cos) AC AC 2 1 4 1 2 2 2 1 2 cos cos coscos AC AC B 2 2 3 4 22 60 2 2 2 即，解關(guān)于的二次方程cos(cos)cos ACACAC 2 2 2 2 3 42 2 得或coscos() ACAC 2 2 22 3 2 4 1 coscos ACAC 2 3 2 4 1 2 2 2 不合題意，應(yīng)舍去，故 例

10、例 6. 求值：sincossincos 22 208032080 解法一：解法一： （利用降冪公式，變形）sin cos cos cos 22 12 2 12 2 原式 140 2 1160 2 32080 coscos sincos 1 1 2 1604032080(coscos)sincos 1 1 2 210060 3 2 10060()sinsinsinsin() 1 3 2 100 3 2 100 3 4 1 4 sinsin 解法二：解法二：（異角化同角：，）806020 原式 sincos(cossin) 2 208080320 sincos()cos()sin 2 20602

11、06020320 sin(coscossinsin)(coscossinsin 2 206020602060206020 320sin) sin(cossin) (cossin) 2 20 1 2 20 3 2 20 1 2 20 3 2 20 sincossin 222 20 1 4 20 3 4 20 1 4 20 1 4 20 1 4 22 sincos 例例 7. 已知在一半徑為 1，圓心角為的扇形中，有一個(gè)一邊在半徑上的內(nèi)接矩形 3 ABCD， （如圖） ，求該矩形的最大面積。 D C O A B 分析：分析：欲求矩形的最大面積，按照函數(shù)的思想就是求面積函數(shù)的最大值，因此需要先 依照

12、題意，建立面積函數(shù)，選哪個(gè)量作自變量呢？經(jīng)嘗試發(fā)現(xiàn)：選取COB 為面積函 數(shù)的自變量最優(yōu)，于是可建立一個(gè)以角 為自變量的三角函數(shù)來表示矩形面積，進(jìn)而研究 該函數(shù)的最值即可。 解析：解析：設(shè)，（）COB 0 3 則，BCABOBOAsincossin 3 3 SAB BC ABCD矩形 (cossin) sin 3 3 1 2 2 3 3 2 sinsin 1 2 2 3 3 12 2 sin cos 1 2 2 3 6 2 3 6 sincos 3 3 2 6 3 6 sin() 當(dāng)，即時(shí)sin()2 6 1 6 S ABCD矩形 取最大值 3 6 【模擬試題模擬試題】 一. 選擇題 1. 函

13、數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（ ）yxsin()2 5 2 A. B. C. D. x 2 x 4 x 8 x 5 4 2. 下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（ ） 2 A. B. yxxsincos24yxxsincos24 C. D. yxxsincos22yxxsincos22 3. 函數(shù)yx sin() 222 在，上是（） A. 增函數(shù)B. 減函數(shù) C. 偶函數(shù)D. 奇函數(shù) 4. 函數(shù)的最小值為（ ）yxxsincos2 A. B. C. 0D. 12222 5.函數(shù)的部分圖象是（ ）yxx cos y y y y O O x O x x O x A B C D 6. 若x 的取值范圍是（

14、 ）sincos 22 xx，則 A. x kxkkZ|2 3 4 2 4 ， B. x kxkkZ|2 4 2 5 4 ， C. x kxkkZ| 44 ， D. x kxkkZ| 4 3 4 ， 7. 已知是第三象限的角，若等于（ ）sincossin 44 5 9 2，則 A. B. C. D. 2 2 3 2 2 3 4 3 2 3 8. 已知是第三象限的角，且（ ） 24 sintan 252 ，則 A. B. C. D. 4 3 3 4 4 3 3 4 9. 當(dāng) 22 3xyxx時(shí)，函數(shù)的（）sincos A. 最大值為 1，最小值為1B. 最大值為 1，最小值為 1 2 C. 最

15、大值為 2，最小值為D. 最大值為 2，最小值為21 二. 填空題 10. 函數(shù)的最小正周期為_yxsin()2 11. 函數(shù)的最大值為_。f xxxx( )sin coscos34 2 12. 角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，若，則ABC 的形狀是ABC中， a b B A cos cos _。 13. 求值：_ sincossin cossinsin 7158 7158 三. 解答題： 14. 已知的值 1 tansin() 226 ，求 15. 在分別是角 A、B、C 的對邊，設(shè)，求ABCabc中， 、 、acbAC2 3 ， sinB 的值。 16. 已知函數(shù)，yxxx 1

16、2 3 2 1 2 cossincosxR （I）當(dāng) y 取最大值時(shí)，求自變量 x 的集合； （II）該函數(shù)的圖象可由 ysinx，的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？()xR 【試題答案試題答案】 一. 選擇題 1. 選（A） 提示：由的圖象可知，若其對稱軸方程為yxxxsin()sin()cos2 5 22 22 ，則 y 取最值，故只需求出使 y 取最值時(shí)的即可得到對稱軸方程。顯然當(dāng)xx 0 x0 時(shí)，y 取最值，2 2 xkx k kZ ，即（）對稱軸方程為，x k kZ 2 () 。kx 1 2 時(shí)， 2. 選（D） 提示：把 A、B、C、D 選擇支中的函數(shù)解析式變形為后，易由yAxsin() 的只有（D）TT 2 2 | | ，計(jì)算求得 3. 選（C） 提示：yxxsin()cos 2 4. 選（A） 提示：yx2 4 2sin() ， y 有最小值當(dāng)時(shí)，sin()x 4 122 5. 選（B） 提示：顯然yxxAC cos 為奇函數(shù)，故排除（ ）、（ ） 令且，判斷出相應(yīng)的， 即當(dāng)橫坐標(biāo)且時(shí)，縱坐標(biāo)，故棄（ ）選（ ） xxy xxyDB 000 000 6. 選（D） 提示：由