1、勾股定理3教學目標 1了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內容，初步會用它進行有關的計算、作圖和證明 2通過勾股定理的應用，培養(yǎng)方程的思想和邏輯推理能力3對比介紹我國古代和西方數(shù)學家關于勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育教學重點與難點重點是勾股定理的應用；難點是勾股定理的證明及應用教學過程設計 一、激發(fā)興趣引入課題 通過介紹我國數(shù)學家華羅庚的建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯(lián)系，并說明勾股定理是我國古代數(shù)學家于2000年前就發(fā)現(xiàn)了的，激發(fā)學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題 二、勾股定理的探索，證明過程及命名 1猜想結論 勾股定理敘述的內容是什么呢？請同學們也體驗一下數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新知識的

2、樂趣. 教師用計算機演示： （1）在ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b和 c， ACB 90，使ABC運動起來，但始終保持ACB90，如拖動 A點或B點改變a ,b的長度來拖動AB邊繞任一點旋轉ACB等 （2）在以上過程中，始終測算a2，b2，c2，各取以上典型運動的某一兩個狀態(tài)的測算值（約78個）列成表格，讓學生觀察三個數(shù)之間有何數(shù)量關系，得出猜想（3）對比顯示銳角三角形、鈍角三角形的三邊的平方不存在這種關系，因此它是直角三角形所特有的性質讓學生用語言來敘述他的猜想，畫圖及寫出已知、求證 2證明猜想目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國第20屆總統(tǒng)加菲爾德于1881年也提

3、供了一面積證法（見課本第109頁圖（4），而我國古代數(shù)學家利用割補、拼接圖形計算面積的思路提供了很多種證明方法，下面咱們采納其中一種（教師制作教具演示，見如圖3151）來進行證明3勾股定理的命名 我國稱這個結論為“勾股定理”，西方稱它為“畢達哥拉斯定理”，為什么呢？ （1）介紹周髀算經(jīng)中對勾股定理的記載； （2）介紹西方畢達哥拉斯于公元前582493時期發(fā)現(xiàn)了勾股定理； （3）對比以上事實對學生進行愛國主義教育，激勵他們奮發(fā)向上 三、勾股定理的應用 1已知直角三角形任兩邊求第三邊 例 1在 RtABC中，C 90，A，B，C所對邊分別為a，b，c （1）a 6，b8求c及斜邊上的高；（2）a4

4、0，c41,求 b；（3）b15 ，25求 a；(4)a:b3:4,c15,求b 說明：對于（1），讓學生總結基本圖形（圖3153）中利用面積求斜邊上高的基本方法；對于（4），引導學生利用方程的思想來解決問題 教師板書（1），（4）的規(guī)范過程，讓學生練習（2），（3） 例2求圖3152所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到0lmm） 教師就如何根據(jù)圖紙上尺寸尋找直角三角形ABC中的已知條件，出示投影 練習 1投影顯示： （1）在等腰 RtABC中， C90， AC:BC:AB_； （2）如圖 3 153 ACB 90，A= 30，則BC:AC:AB_；若AB8,則AC_；又若C

5、DAB，則CD=_. （3）等邊出ABC的邊長為 a，則高AD_，S ABC_ 說明： （1）學會利用方程的思想來解決問題 （2）通過此題讓學生總結并熟悉幾個基本圖形中的常用結論： 等腰直角三角形三邊比為1:1:； 含30角的直角三角形三邊之比為1:2；邊長為a的等邊三角形的高為a，面積為 （板書）例 3如圖 3154， ABAC20， BC32，DAC 90求 BD的長 分析： （1）分解基本圖形，圖中有等腰ABC和RtADC； （2）添輔助線等腰ABC底邊上的高AE，同時它也是RtADC斜邊上的高； （3）設BD為X利用圖3153中的基本關系，通過列方程來解決教師板書詳細過程解 作AEBC

6、于E設BD為x,則DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，將上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE22202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.2利用勾股定理作圖例4 作長為的線段說明：按課本第101頁分析作圖即可，強調構造直角三角形的方法以及自己規(guī)定單位長3利用勾股定理證明例5 如圖3-155，ABC中，CDAB于D，ACBC.求證：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）分析：（1） 分解出直角三角形使用勾股定理RtACD中，AC2=AD2+CD2；RtBCD中，BC2=CD

7、2+BD2（2） 利用代數(shù)中的恒等變形技巧進行整理：AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）=AD2-BD2（AD+BD）（AD-BD）AB（AD-BD）例6 已知：如圖3-156，RtABC,ACB=90,D為BC中點，DEAB于E，求證：AC2=AE2-BE2分析：添加輔助線連結AD，構造出兩個新直角三角形，選擇與結論有關的勾股定理和表達式進行證明4供選用例題（1） 如圖3-157，在RtABC中 ,C=90，A=15，BC=1求ABC的面積提示：添加輔助線BA的中垂線DE交BA于D，交AC于E，連結BE，構造出含30角的直角三角形BCE，同時利用勾股定理解決，或直接在ABC

8、內作ABE=15，交CA邊于E（2） 如圖3-158，ABC中，A=45，B=30，BC=8求AC邊的長分析：添加輔助線作CDAB于D，構造含45，30角的直角三角形列方程解決問題（3）如圖3-159（a），在四邊形ABCD中，B=D=90，C=60，AD=1，BC=2，求AB，CD提示：添加輔助線延長BA，CD交于E，構造30角的RtEAD,RtEBC.利用它們的性質來解決問題（見圖3-159（b）.或將四邊形ABCD分割成含30的直角三解形及矩形來解決問題（見圖3-159（c）答案：AB=23-2，CD=4-3（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD（四個角是直角）為矩形內一點，求證PA

9、 PC2 PB2 PD2 探索P運動到AD邊上（圖3160（b）、矩形ABCD外(圖3160（C）時，結論是否仍然成立 分析： （1）添加輔助線過P作EFBC交AD干E，交BC于F在四個直角三角形中分別使用勾股定理 （2）可將三個題歸納成一個命題如下： 矩形所在平面上任一點到不相鄰頂點的距離的平方和相等 四、師生共同回憶小結 1勾股定理的內容及證明方法 2勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90）轉化為數(shù)量關系，即三邊滿足a2+b2=c2. 3利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理 五、作業(yè)1 課本第106頁第28題2閱讀課本第109頁的讀一讀：勾股定理的證明 課堂教學設計說明 本教學設計需2課時完成 1勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，是直角三角形的一個重要性質本教學設計利用計算機（幾何畫板軟件動態(tài)顯示）的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料形狀大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式，并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調直角三角形的這個特有性質，體現(xiàn)了啟發(fā)學生獨立分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、總結規(guī)律的教學方法2 各學校根據(jù)自己的教學條件還可以采納以下類比聯(lián)想的探索方式來引入新課 （1）復習三角形三邊的關系，總結出規(guī)律：較小兩