1、學案1 不等關系與不等式,返回目錄,1.實數(shù)a,b大小的比較 a-b0 ;a-b=0 ,a-b0 . 2.不等式性質 性質1 ab ; 性質2 ab,bc ; 性質3 ab ;,ab,a=b,ab,ba,ac,a+cb+c,考點分析,返回目錄,性質4 ab,c0 .ab,c0 ; 性質5 ab,cd ; 性質6 ab0,cd0 ; 性質7 ab0 (nN,n2); 性質8 ab0 (nN,n2).,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,anbn,返回目錄,考點一 不等式的概念與性質,若a0b-a,cd0,則下列命題成立的有( ) adbc; ; a-cb-d; a(d-c)b(d-c).

2、 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,題型分析,返回目錄,【分析】本題利用不等式性質可判斷出命題的真假，判斷時注意不等式成立的條件.,【解析】因為a0b,cd0, 所以ad0,bc0, 所以adbc,錯誤. 因為a0b-a,所以a-b0. 因為cd0,所以-c-d0， 所以a（-c）(-b)(-d), 所以ac+bd0,所以 ,返回目錄,所以正確. 因為cd,所以-c-d. 因為ab,所以a+（-c）b+(-d), 即a-cb-d, 所以正確. 因為ab,d-c0, 所以a（d-c）b(d-c),正確. 故應選C.,【評析】（1）準確記憶各性質成立的條件， 是正確應用性質的前提. （2）在

3、不等關系的判斷中，特殊值法也是非常有效的方法.,返回目錄,對應演練,下列命題中，正確的命題個數(shù)為（ ） 若ab,cb,則ac； 若ab,則 ; 若ab,cd,則acbd； 若ab0,則 ; 若 ,則adbc; 若ab,cd,則a-db-c. A.4個 B.3個 C.2個 D.1個,返回目錄,C,C(命題不符合不等式的傳遞性,為假命題.若a0b,則 , 無意義,命題為假.ab,cd中a,b,c,d 的符號不確定.若a0b,0cd，則acbd，命題 為假.若ab0,ab0，則 ， 所以 ，命題為真.當 且cd0時，adbc，所以命題為假.若cd，則-d-c，又ab ，所以a+(-d)b+(-c)，

4、即a-db-c，命題為真. 所以正確的命題只有. 故應選C.),返回目錄,返回目錄,【分析】比較兩數(shù)（或兩式）的大小，一般用比較法 ， 具體用作差比較還是用作商比較應由數(shù) （或式）特點而定.,考點二 大小比較,(1)設x0,b0，且ab,試比較aabb與的 大小.,【解析】 (1)xy0,x-y0,x2y20,x+y0, (x2+y2)(x-y)0,(x2-y2)(x+y)0, (x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y). (2)若ab0,則 1,a-b0. 由指數(shù)函數(shù)的性質 1. 若ba0,則0 1，a-b0. 由指數(shù)函數(shù)的性質 1. , .,返回目錄,返回目錄,【評析】（1）比較兩個

5、代數(shù)式的大小，可以根據(jù)它們的差的符號進行判斷，一方面注意題目本身提供的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數(shù)式的差進行因式分解轉化為多個因式相乘，或通過配方轉化為幾個非負實數(shù)之和，然后判斷正負. （2）作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號的情形.,返回目錄,對應演練,令f（x）=（x-x1）（x-x2）， 又f（x）=x2+（b-1）x+c， x2+bx+c=（x-x1）（x-x2）+x. 則t2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1 =（t-x1）（t-x2+1）.,函數(shù)f（x）=x2+（b-1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）,（x2，0），且x2-x11.當tx1時，比較t2+b

6、t+c與x1的大小.,tx1,t-x10. 又x2-x11,-x2-x1-1, t-x2+1-x1-1+t+1, 即t-x2+1t-x10. （t-x1）（t-x2+1）0, t2+bt+cx1.,返回目錄,返回目錄,【分析】 將2a+3b用a+b和a-b表示出來，再利 用不等式的性質求解2a+3b的范圍.,考點三 范圍問題,已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范圍.,【解析】設2a+3b=m（a+b）+n（a-b）， m+n=2 m-n=3， m= ，n=- . 2a+3b= （a+b）- （a-b）. -1a+b3,2a-b4, - ,-2 (a-b)-1, - (a+b)-

7、(a-b) , 即- 2a+3b .,返回目錄,【評析】 由a f1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d, 求g（x1，y1）的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設g（x1，y1）= pf1（x1，y1）+ qf2（x1，y1），用恒等變形求得p，q ，再利用不等式的性質求得 g（x1，y1）的范圍.此外，本例也可用線性規(guī)劃的方法來求解.,返回目錄,返回目錄,對應演練,設f（x）=ax2+bx且1f(-1)2,2f(1)4,求f（-2）的取值范圍.,解法一:設f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n為待定系數(shù)),則4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(

8、n-m)b. m+n=4 m=3 n-m=-2, n=1, f(-2)=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.,于是得,解得,返回目錄,f(-1)=a-b f(1)=a+b, a= f(-1)+f(1) b= f(1)-f(-1), f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.,解法二:由,得,1a-b2 2a+b4 當f(-2)=4a-2b過點A（ ） 時, 取得最小值4 -2 =5, 當f(-2)=4a-2b過點B(3,1) 時，取

9、得最大值43-21=10, 5f(-2)10.,返回目錄,確定的平面區(qū)域如圖.,解法三：由,返回目錄,已知a，b是正實數(shù)，求證 .,【分析】采用作差或作商法證明不等式.因為a，b 0,故可采用作差法，也可采用作商法.,考點四 不等式的證明,【證明】證法一： 0, 0, 0, , , ,返回目錄,返回目錄,證法二：,證法三：,返回目錄,返回目錄,【評析】 （1）不等式的性質是解（證）不等式的基礎，對于不等式的性質，關鍵是正確理解和運用，要弄清每一個性質的條件和結論，注意條件的加強或減弱，條件與結論之間的相互聯(lián)系. （2）不等式的性質應用于證明不等式 ， 往往是從條件推出結論的變換關系，而解不等式則要求等價變形. （3） 判定不等式是否成立 ，常利用不等式的基本性質、函數(shù)的單調性和特殊值等方法. （4）由af1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d,求g（x1，y1）的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，對已知的范圍要整體代換，而不能求出變量x1，y1的范圍，否則擴大范圍.,對應演練,已知ab0,cd0.證明： .,證明:因為cd0,所以cd0, 所以 ,即 . 因為ab0,所以a b 0, 即 ,所以 .,返回目錄,返回目錄,1.要注意不等式性質成立的條件.例如，重要結論：ab,ab0 ,不能弱化條件得ab ,也不能強化條件得ab0 . 2.要正確處理帶等號的情況.如由ab,bc或