1、第二課時數(shù)列的性質(zhì)與遞推公式,目標導航,新知導學,課堂探究,1.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì) (1)數(shù)列可以看成以 (或它的有限子集 )為定義域的函數(shù)an=f(n),當自變量按照從小到大的順序依次取值時,所對應的一列函數(shù)值. (2)在數(shù)列an中,若an+1 an,則an是遞增數(shù)列;若an+1 an,則an為遞減數(shù)列;若an+1=an,則an為常數(shù)列.,新知導學素養(yǎng)養(yǎng)成,正整數(shù)集N*,1,2,n,思考1:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+)上是單調(diào)遞增函數(shù),且an=f(n),那么數(shù)列an一定是遞增數(shù)列嗎?反之,是否一定成立?,2.數(shù)列遞推公式 (1)兩個條件: 已知數(shù)列的 ; 從第二項(或某一項)開始的任一項an

2、與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示. (2)結論:具備以上兩個條件的公式叫做這個數(shù)列的 公式.,第1項(或前n項),思考2:僅由數(shù)列an的遞推關系an=an-1+1(n2,nN*)能否確定數(shù)列an? 答案:僅由數(shù)列的遞推關系an=an-1+1,只能確定an中相鄰兩項之間的關系,而無法確定數(shù)列.,遞推,思考3:數(shù)列的通項公式與遞推公式有什么區(qū)別? 答案:通項公式直接反映an和n之間的關系,即an是n的函數(shù),知道任意一個具體的n值,通過通項公式就可以求出該項的值an;而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項之間的推導關系,不能由n直接得出an.,

3、名師點津,已知數(shù)列的遞推公式求通項公式的關注點 (1)遞推公式是獲得通項公式的一個途徑. (2)不是每一個數(shù)列都有遞推公式,也不是每一個由遞推公式給出的數(shù)列都可以寫出其通項公式.,課堂探究素養(yǎng)提升,題型一利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性 例1已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列an滿足f(log2an)=-2n(nN*). (1)求數(shù)列an的通項公式;,(2)判斷數(shù)列an的增減性.,方法技巧,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,采用作差法或作商法比較an與an+1的大小關系,從而判斷數(shù)列an的單調(diào)性,若an+1an恒成立,則an是遞增數(shù)列;若an+1an恒成立,則an是遞減數(shù)列.,解:(1)因為f(x)=

4、2x, 所以f(log2an)=2n-1, 即an=2n-1.,變式探究:將本題條件改為:已知函數(shù)f(x)=2x,且數(shù)列an滿足f(log2an) =2n-1.如何解答?,(2)由(1)知an=2n-1,所以an+1=2n, 所以an+1-an=2n-2n-1=2n-10, 所以an+1an, 所以數(shù)列an是遞增數(shù)列.,方法技巧,(1)由于數(shù)列是特殊函數(shù),因此可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等;此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集(或其子集) 這一條件.,解:(1)由n2-5n+40,解得1n4. 因為nN*,所以n=2,3.所以數(shù)列中有兩項是負數(shù).,即時訓練

5、2-1:已知數(shù)列an的通項公式為an=n2-5n+4. (1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)? (2)n為何值時,an有最小值?并求出最小值.,方法技巧,由數(shù)列的遞推公式求通項公式時,若遞推關系為an+1=an+f(n)或an+1=g(n)an,則可以分別通過累加法或累乘法求得通項公式,即 (1)累加法:當an=an-1+f(n)時,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1求通項公式.,即時訓練3-1:已知數(shù)列an,a1=2,an=2an-1(n2),求數(shù)列的通項公式an.,備用例3(1)已知數(shù)列an中,a1=1,an=n(an+1-an)(nN*).求數(shù)列的通項an;

6、,題型四易錯辨析忽略遞推公式中n的取值范圍致誤 例4已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),求數(shù)列an的通項公式.(提示:如果nN*,那么n!=n(n-1)(n-2)321),糾錯:本題產(chǎn)生錯誤的原因是忽略了an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2中隱含的n3這一條件,使累乘過程中出現(xiàn)了錯誤.,學霸經(jīng)驗分享區(qū),(1)數(shù)列的遞推公式是除通項公式外的另一種表達數(shù)列的方法,要注意它與通項公式的區(qū)別. (2)用遞推公式求通項公式是常見的題型,本節(jié)所介紹的累加法與累乘法是常用方法. (3)求數(shù)列的最值是數(shù)列單調(diào)性的具體應用,要結合函數(shù)求最值的方法加以理解,同時注意數(shù)列本身的性質(zhì).,課堂達標,1.數(shù)列an滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項是( ) (A)15(B)255 (C)20(D)8,B,解析:因為an=4an-1+3,所以a2=40+3=3, a3=43+3=15,a4=415+3=63,a5=463+3=255.故選B.,C,3.數(shù)列1,3,6,10,15,的遞推公式是( ) (A)an+1=an+n,nN* (B)an=an-1+n,nN*,n2 (C)an+1=an+(n+1),nN*,n2 (D)an=an-1+(n-1),nN*,n2,B,解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4