1、第11講反比例函數(shù),考點一,考點二,考點三,考點四,考點一反比例函數(shù)的概念 形如y=(k為常數(shù),k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).,考點一,考點二,考點三,考點四,考點二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.圖象 (1)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它有兩個分支. (2)反比例函數(shù)y= (k0)中,因為x0,y0,故圖象不經(jīng)過原點. (3)雙曲線關(guān)于原點對稱. (4)反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形. 2.性質(zhì) 當k0時,反比例函數(shù)y= (k0)的圖象分別位于第一、三象限,同一個象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當k0時,反比例函數(shù)y= (k0)的圖象分別位于第二、四象限,同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增

2、大.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點三反比例函數(shù)y= (k0)中k的幾何意義 1.如圖,過雙曲線上任意一點P分別作x軸、y軸的垂線PM,PN,所得的矩形PMON的面積S=PMPN=|y|x|=|xy|. 又xy=k,S=|k|,即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,所得的矩形面積為|k|. 2.如上圖,過雙曲線上的任意一點E作EF垂直于其中一坐標軸,垂足為F,連接EO,則SEOF= ,即過雙曲線上的任意一點作一坐標軸的垂線,連接該點與原點,所得三角形的面積為 .,考點一,考點二,考點三,考點四,考點四反比例函數(shù)的簡單應用 一般步驟: 1.找準實際問題中成反比例關(guān)系的兩個變量,或根據(jù)已知

3、的雙曲線,設出表達式y(tǒng)= . 2.代入一對已知條件或者相應雙曲線上的點的坐標,求出k的值. 3.寫出表達式,并根據(jù)表達式結(jié)合自變量取值范圍,應用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答問題.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函數(shù)的表達式,例1(2018江蘇淮安)若點A(-2,3)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,則k的值是() A.-6B.-2C.2D.6 分析:根據(jù)待定系數(shù)法,可得答案. 答案:A 解析:將A(-2,3)代入反比例函數(shù)y= ,得k=-23=-6,故選A.,方法點撥本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,點(-2,3)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,則k=-23=-6.,考法1,考法

4、2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函數(shù)的圖象 反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它的兩個分支關(guān)于原點中心對稱;根據(jù)y= (k為常數(shù),k0)的圖象所在的象限可以確定k的取值范圍,反之,根據(jù)k的正負,也可以確定雙曲線的位置.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2(2018湖南懷化)函數(shù)y=kx-3與y= (k0)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是() 分析:根據(jù)當k0或k0時,y=kx-3和y= (k0)經(jīng)過的象限,二者一致的即為正確答案. 答案:B,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函數(shù)的性質(zhì) 反比例函數(shù)中y的值隨x值的變化而變化的前提是在每條曲線上或在每個象限內(nèi).,

5、考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3(2018江蘇無錫)已知點P(a,m),Q(b,n)都在反比例函數(shù)y=- 的圖象上,且a0 C.mn 分析:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),可得答案. 答案:D 解析:y=- 的k=-20. b0,Q(b,n)在第四象限, nn,故D正確. 故選D. 方法點撥本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).有兩種做法:(1)作出草圖,根據(jù)圖象找出正確信息;(2)直接利用反比例函數(shù)的增減性分析得出答案.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義 由于y= 也可變形為xy=k,由此可知,過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,所得的矩形的

6、面積均為定值|k|.需要注意的是,根據(jù)相應的面積,確定反比例函數(shù)表達式時,要注意結(jié)合雙曲線所在的象限,避免k的符號錯誤.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4(2018湖南邵陽)如圖所示,點A是反比例函數(shù)y= 圖象上一點,作ABx軸,垂足為點B,若AOB的面積為2,則k的值是. 分析:過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值,即S= |k|. 答案:4 解析:點A是反比例函數(shù)y= 圖象上一點,作ABx軸,垂足為點B, SAOB= |k|=2. 又函數(shù)圖象位于第一、三象限,k=4, 故答案為4.,考法1,考法2,考法3,考法4,考

7、法5,考法6,方法點撥利用反比例函數(shù)y= (k0)的比例系數(shù)k的幾何意義:過反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線,這一點和兩個垂足以及原點構(gòu)成的矩形面積是|k|;這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是 |k|.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用,比較反比例函數(shù)的值與一次函數(shù)值的大小時,要充分利用函數(shù)圖象進行分析判斷,同時,要把與雙曲線的交點作為界點進行分析,且不能忽略反比例函數(shù)中的自變量x0.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A(2,4),B(-4,n)兩點.

8、 (1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式; (2)過點B作BCx軸,垂足為點C,連接AC,求ACB的面積. 分析:(1)將點A的坐標代入y= 可得反比例函數(shù)解析式,據(jù)此求得點B坐標,根據(jù)A,B兩點坐標可得直線解析式; (2)根據(jù)點B坐標可得底邊BC=2,由A,B兩點的橫坐標可得BC邊上的高,據(jù)此可得ACB的面積.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,涉及的知識有:待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,坐標與圖形性質(zhì)以及三角形面積求法,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函數(shù)的應用 實際問

9、題中的反比例函數(shù),往往自變量的取值受到限制,這時,對應的函數(shù)圖象是雙曲線的一部分. 例6一司機駕駛汽車從甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了4 h到達乙地.當他按照原路返回時,汽車的速度v km/h與時間t h的函數(shù)關(guān)系是(),答案:B 解析:由路程=速度時間,可以得出甲、乙兩地的距離為320 km,返程時路程不變,由路程=速度時間,得速度=路程時間,所以v= .,A.x-3B.-3x-1 C.-1x0D.x-3或-1x0,A.第一、二象限B.第一、三象限 C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限,P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1y20D.y10y2,x10y2.故選D.,(1)

10、分別求出這兩個函數(shù)的表達式; (2)寫出點P關(guān)于原點的對稱點P的坐標.,解:(1)點P在反比例函數(shù)的圖象上,5.(2017甘肅蘭州)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=-x+3交y,(2)求AOD的面積.,解:(1)直線y=-x+3交y軸于點A, A(0,3), BC=OA=3.矩形OABC的面積為4,(2)直線與反比例函數(shù)相交于點D,6.(2016甘肅武威)如圖,在平面直角坐標系中,菱形ABCD的頂點C與原點O重合,點B在y軸的正半軸上,點A在函數(shù)y= (k0,x0)的圖象上,點D的坐標為(4,3). (1)求k的值; (2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移,當菱形的頂點D落在函數(shù)y= (k0,x0)的圖象上時,求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離.,解:(1)過點D作x軸的垂線,垂足為F, 點D的坐標為(4,3),OF=4,DF=3, OD=5,AD=5,點A坐標為(4,8), k=xy=48=32.,的圖象D點處,過點D作x軸的垂線,垂足為F. DF=3,DF=3, 點D的縱坐標為3.,7.(2016甘肅白銀)如圖,函數(shù)y1=-x+4的圖象與函數(shù)y2= (x0)的圖象交于A(m,