1、1,第三講 微分中值定理與 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,習(xí)題課,內(nèi)容提要,典型例題,2,一、內(nèi)容提要,1. 理解羅爾(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange),2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.,3. 理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù),定理.,的單調(diào)性和求極值的方法.,3,5. 會(huì)用洛必達(dá)(L,Hospital)法則求不定式的極限.,6. 了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和,曲率半徑.,4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求拐點(diǎn),會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問題.,會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平,鉛直和斜漸近線).,4,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常

2、用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、內(nèi)容提要,5,1.微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,6,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(3) 證明恒等式或不等式,(4) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,(2) 證明方程根的存在性,7,利用,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用,若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,3.有關(guān)中值問題的解題方法,(1),可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).,(2),柯西中值定理.,中值定理.,(3),(4),有時(shí)也

3、可考慮,多考慮用泰勒公式,逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).,多用羅爾定理,必須多次應(yīng)用,對導(dǎo)數(shù)用中值定理.,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,8,(1) 研究函數(shù)的性態(tài):,增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率,(2) 解決最值問題,目標(biāo)函數(shù)的建立,最值的判別問題,(3)其他應(yīng)用:,求不定式極限;,幾何應(yīng)用;,相關(guān)變化率;,證明不等式;,研究方程實(shí)根等.,4.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,9,二、典型例題,例 證明方程,在(0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根,分析,如令,不便使用介值定理,用 Rolle 定理來證,證,令,則,且,故由Rolle 定理知,10,且滿足羅爾定理其它條件,練習(xí),證：,11,例,提示：,

4、滿足Rolle 定理的條件,12,在,內(nèi)可導(dǎo),且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù),在,問題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),用Rolle定理,使,即有,例,證,分析,?,13,例,分析,構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),則問題轉(zhuǎn)化為,的零點(diǎn)存在問題.,證,設(shè),設(shè),Rolle定理,使得,因此必定有,14,例.,設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫為,試證必存在,想到找一點(diǎn) c , 使,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),由羅爾定理知, 必存在,15,例,極限不等于

5、 零的因子,16,你還打算做下去嗎?,這樣做 , 分母中 x 的次數(shù)將越來越高 ,而分子不變 , 極限始終無法求出 .,例,17,將原極限稍加變形 :,例,此題也可用變量替換，令,18,運(yùn)用取對數(shù)法 .,例,19,20,運(yùn)用取對數(shù)法 .,例,21,這是數(shù)列的極限,羅必達(dá),例,思考：此題如何用重要極限的方法求解？,22,例,23,思考：此題如何用重要極限的方法來求解？,24,例,解法1 羅比達(dá)法則,25,例,解法2 泰勒展開式,26,例,證,法一,用單調(diào)性,設(shè),即,由,證明不等式,27,可知,即,法二,用Lagrange定理,設(shè),Lagrange定理,由,得,即,28,例 證明不等式,證,29,例. 求數(shù)列,的最大項(xiàng) .,證: 設(shè),用對數(shù)求導(dǎo)法得,令,得,因?yàn)?在,只有唯一的極大點(diǎn),因此在,處,也取最大值 .,又因,中的最大項(xiàng) .,極大值,列表判別:,30,例,解,同時(shí)也是最大值,分三種情況討論,31,由于,方程有兩個(gè)實(shí)根，分別位于,方程僅有一個(gè)實(shí)根，即,方程無實(shí)根,32,32,33,五、設(shè) f(x) 在 0