1、,第一節(jié) 行列式的定義,第二節(jié) 行列式的性質,第二章 行列式,第三節(jié) 行列式的計算,第四節(jié) 分塊三角行列式與矩陣乘積行列式,第1節(jié)、行列式的定義,一、二元一次方程組的求解公式,二、二階行列式的概念,1、二元一次方程組與二階行列式,一、二元一次方程組的求解公式,設關于 x1, x2 的二元一次方程組為,(1.1),其中 a11, a12, a21, a22, b1, b2 均為已知常數. 可用中學學過的消元法解此方程組.,(1.2),將它代入第一個方程并化簡, 得,(1.3),(1.2) 和 (1.3) 給出了方程的方程組 (1.1) 的求解公式 ( 當 a11 a22 a12 a21 0時).

2、 下面介紹一種更簡單的記法表示求解公 式 ( 1.2 ) , ( 1.3 ) .,二、二階行列式的概念,副對角線,主對角線,定義1,二階行列式（二階方陣的行列式）,對方程組,若令,系數矩陣行列式,( 1.4 ),公式 (1.4 ) 與公式 (1.2 ) ,(1.3 ) 表示的是同一解, 但顯然公式 (1.4 ) 簡單易記得多.,此方法稱為解兩個方程兩個未知量的二元一次方程組的克萊姆(Cramer)法則.,例1,解此方程組,2x1 + 3x2 = 5 ,3x1 + x2 = 3 ,解,= 2 + 9 = 11 0 ,= 5 9= 4,則當行列式 D 0 時, 上述方程組(1.1)的解可簡記為,上

3、一頁,2、n 階行列式,一、n階行列式的定義,二、三階行列式,定義2,一、n階行列式的定義,為了得到 n 階行列式的定義和討論其性質, 先引 入余子陣的概念.,n階方陣 去掉 所在的第i 行與第j 列元素，所余下的元素按照原來的次序所組成的n-1 階方陣，稱為 的余子陣，記為A(i,j).,例1,3階方陣 中 的余子陣分別為：,定義2,將二階行列式的定義推廣，便得到了n階行列式的的遞歸定義,n階方陣 ，將 稱為A的行列式，其運算規(guī)則如下：,一個由A決定的實數,注意：矩陣為數表，行列式為由矩陣決定的實數。行列式是矩陣的 一個重要數值特征，也是我們接觸的矩陣第一個重要的數值特征， 矩陣的另兩個重要

4、數值特征：秩與特征值，我們將在后面陸續(xù)進行介紹。,二、三階行列式,三階行列式,三階行列式的計算可如下圖（對角線法則）:,中共 3! = 6 項, 其中一半帶正號, 一半帶負號.,解,求三階行列式,D1=32 + 4 + 0 12 (16) 0,=32 + 4 12 +16 = 40.,例2,上一頁,D2=2+ 0 + 0 (4) 0 0,=2 + 4 = 6.,例3,證明下列 n 階行列式,(稱為上三角行列式),證明,上一頁,例4,計算 n 階行列式,解,上一頁,作業(yè)： 習題2-1：2(2)(4),第2節(jié)、行列式的性質,性質1,按定義計算行列式較麻煩, 因此有必要討論行列式的性質以簡化行列式的

5、計算.,n 階方陣的行列式與它的轉置行列式相等.,即對方陣A，有,例如：,證 略,由上節(jié)例 3 及性質 1 還可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,上一頁,性質2,互換 n 階行列式的任意兩行 ( 列 )（即進行一次對調變換） , 行列式僅改變符號.,即,證略,這是因為行列式 D 的這兩行互換后得 D = D, 從而 D = 0.,如二階行列式,而,兩者異號.,推論1,若 n 階行列式有兩行 ( 列 ) 的對應元素相同, 則行列式為零.,上一頁,性質3,( 行列式展開定理 ) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素與其對應的代數余子式乘積之和.,證略,上一頁,并且方陣的任一行(列) 的各

6、元素與另一行(列)對應的代數余子式乘積之和為零.,由此性質可以看出，行列式的定義為矩陣按照第一列展開，是此性質的特例。此性質提供了計算行列式的簡便方法：如果行列式某一行(列)零元素較多，那么按照此行(列)展開，計算量將減小。,若 n 階行列式有某行(列)全為零, 則行列式為零.,推論2,性質4,（1）若 n 階行列式的某行(列)的各元素是兩個數的和,則該行列式等于兩個行列式的和.,即,上一頁,（2）把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數 k , 等于該行列式乘以數 k .,即,結合性質 2 和性質 4 , 有,行列式某行 ( 列 ) 有公因式則可提出來。,推論3,上一頁,證,（1）不妨設 只需

7、證明 由性質3，可知 （2）設,為什么？,若 n 階行列式有兩行(列)對應元素成比例,則該行列式為零.,推論4,若 n 階行列式某一行(列)元素為另兩行(列)對應元素 之和,則該行列式為零.,推論5,性質5,把 n 階行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以數 k 后加到另一行 ( 列 )的對應元素上去,行列式的值不變. （即倍加變換不改變行列式的值）,即 則,上一頁,證,由條件，矩陣A與矩陣B在第i列的代數余子向量相同，均為 因此,由性質3，為零,由上節(jié)例 3 可知三角行列式簡單易求, 因此對任一行列式,可利用行列式的性質, 將利用倍加化零法將其化為 一個與之相等的三角行列式, 從而簡化行列式

8、的計算.,例1,計算行列式,解,上一頁,利用行列式展開定理計算例 1 .,例2,解,上一頁,性質6,設A,B均為n階方陣，則 （即乘積的行列式等于行列式的乘積）,小結：,1. ;,2. 互換行列式的兩行 ( 列 ) ，行列式變號;,(2) 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；,4. (1) 行列式某行 ( 列 ) 的元素均為兩數之和，則原行列式等于另兩行列式之和；,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以數 k 后加到另一行 ( 列 ) 對應元素上去，行列式的值不變.,行列式有六條性質：,上一頁,3. 行列式展開,6. 乘積的行列式等于行列式的乘積；,行列式為零還有四條簡便判斷方法：,1

9、. 行列式有兩行 ( 列 ) 各元素對應相同，則 行列式為零 ；,2. 行列式有兩行 ( 列 ) 各元素對應成比例，則行列式為零 ；,3. 行列式有某行 ( 列 )各元素全為零，則行列式為零 .,上一頁,4. 行列式有某行 ( 列 )各元素為另外兩行(列)對應元素之和，則行列式為零 .,作業(yè)： 習題2-2：2，4(2)，5 提高題2-2：6,第3節(jié)、行列式的計算,例3,解,計算 n 階行列式,上一頁,例4,解,計算 n 階行列式,ri+ r1,(i 1),上一頁,計算 n 階行列式,將其直接按第一列展開, 得,解,上一頁,證明范德蒙 (Vandermonde) 行列式,其中 n 2, 稱為連乘

10、號,這里表示所有可能的 xi xj (1 j i n) 的乘積.,證,上一頁,用數學歸納法, 當 n = 2 時,結論正確.,假設對于 n 1 階范德蒙行列式結論正確,現在來證 n 階的情形. 設法將 Dn 降階, 為此, 從第 n 行開始,下面一行減去上面一行的 x1 倍, 得,上式右端的行列式為 n 1 階范德蒙行列式, 于是由歸納假設有,求四階行列式,解,原式 =,此為四階范德蒙行列式, 于是,計算行列式,解,上一頁,看n+1 階行列式,n+1 階行列式為關于x的n次多項式，而其x的n-1次項前面的系數應為,而由n+1 階行列式的計算式，其x的n-1次項前面的系數為,它們應該相等，即,計

11、算 n 階行列式,解,上一頁,解,設行列式為,求,其中 為元素 aij 的代數余子式 .,由性質3(行列式展開性質), 可知,解,每行提-1,證 令,由于,是 的三次多項式，且,不計算行列式值，利用性質證明,因此有,所求根為 x = 2 和 x = -4.,求方程,的根.,解,求行列式,解,本節(jié)作業(yè)： 習題2-3：1(1)(11),2(3),3(1),第4節(jié)、分塊三角行列式及矩陣乘積的行列式,上一頁,定理1,設A,B分別為m，n 階方陣，C為mn 階矩陣，則,證,由第一章結論，只用倍加行變換就可將方陣A,B 化為上三角陣，即,上一頁,因此，對于分塊對角陣做類似的倍加行變換可得,而Q 為上三角陣，再由倍加變換不改變矩陣的行列式，因此,上一頁,定理2,設A,B均為n 階方陣，則 （即乘積的行列式等于行列式的乘積）,證,由第一章結論，只用倍加行（或列）變換就可將方