1、第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算,總綱目錄,教材研讀,1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率,2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,5.導(dǎo)數(shù)的運算法則,考點突破,考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考點一導(dǎo)數(shù)的運算,考點三兩條曲線的公切線,1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為,若x=x2-x1,y= f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為.,教材研讀,2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率=為函數(shù) y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f

2、 (x0)或y,即f (x0)= . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點 (x0, f(x0)處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為 y-f(x0)=f (x0)(x-x0).,3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f (x)=為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時也記作y.,4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,5.導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)f(x)g(x)=f (x)g(x); (2)f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x); (3)=(g(x)0).,1.有一機器人的運動方程為s(t)=t2+(t是時間,s是位移),則該機器人在時 刻t=2時的瞬時速

3、度為() A.B.C.D.,答案D由題意知,機器人的速度方程為v(t)=s(t)=2t-,故當(dāng)t=2時,機 器人的瞬時速度為v(2)=22-=.,B,2.函數(shù)y=xcos x-sin x的導(dǎo)數(shù)為() A.xsin xB.-xsin xC.xcos xD.-xcos x,答案By=xcos x+x(cos x)-(sin x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.,B,3.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則導(dǎo)函數(shù)f (x)的大致圖象為(),答案B由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知, f (x)為常數(shù),且f (x)0.,B,4.曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為.,5x+y+2=0

4、,答案5x+y+2=0,解析y=-5ex,則k=y|x=0=-5e0=-5, 所以所求切線方程為y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.,5.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (0)的值為.,3,答案3,解析因為f(x)=(2x+1)ex,所以f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f (0)=3e0=3.,6.已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1, f(1)處的切線過點(2,7),則a=.,1,答案1,典例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=exln x; (2)y=x; (3)y=x-sincos; (4)y=.,

5、考點突破,考點一導(dǎo)數(shù)的運算,解析(1)y=(ex)ln x+ex(ln x) =exln x+ex=ex. (2)因為y=x=x3+1+, 所以y=(x3)+(1)+=3x2-. (3)因為y=x-sincosx=x-sin x, 所以y=x-=1-cos x. (4)y=-.,方法技巧 函數(shù)求導(dǎo)的方法 (1)對于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡,再求導(dǎo)的基本原則,求導(dǎo)時,不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用,在化簡時,要注意變換的等價性,避免運算失誤. (2)利用公式求導(dǎo)時,一定要注意公式的適用范圍及符號,如(xn)=nxn-1中,nN*,(cos x)=-sin x,

6、還要注意公式不要用混,如(ax)=axln a,而不是(ax)=xax-1.,1-1(2018河南鄭州質(zhì)檢)f(x)=x(2 017+ln x),若f (x0)=2 018,則x0等于 () A.e2B.1C.ln 2D.e,答案Bf (x)=2 017+ln x+x=2 018+ln x. 由f (x0)=2 018,得ln x0=0,則x0=1.,B,1-2已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實數(shù), f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f (1)=3,則a的值為.,答案3,解析f (x)=aln x+a, f (1)=aln 1+a=3,解得a=3.,3,1-3已知函數(shù)f(x

7、)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且滿足f(x)=2xf (1)+ln x,則f (1)= .,答案-1,解析f(x)=2xf (1)+ln x, f (x)=2f (1)+, f (1)=2f (1)+1, 即f (1)=-1.,-1,考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義,命題方向一求切線方程,典例2(1)已知函數(shù)f(x)=xln x,若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為() A.x+y-1=0B.x-y-1=0 C.x+y+1=0D.x-y+1=0 (2)(2017課標(biāo)全國,14,5分)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為 .,答案(1)B(2)y=x+1,解析(1)因為點(

8、0,-1)不在曲線f(x)=xln x上,所以設(shè)切點為(x0,y0). 又因為f (x)=1+ln x,所以 解得 所以切點為(1,0),所以f (1)=1+ln 1=1. 所以直線l的方程為y=x-1,即x-y-1=0. (2)因為y=2x-,所以曲線在點(1,2)處的切線方程的斜率為y|x=1=21- =1,所以切線方程為y-2=x-1,即y=x+1.,命題方向二求切點坐標(biāo) 典例3若曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=(x0)上點P處的切線 垂直,則點P的坐標(biāo)為.,(1,1),答案(1,1),解析函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y=ex, 曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=

9、1. 設(shè)P(x0,y0)(x00),函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)為y=-, 曲線y=(x0)在點P處的切線的斜率k2=-, 由題意有k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00, x0=1.點P在曲線y=(x0)上,y0=1, 故點P的坐標(biāo)為(1,1).,命題方向三求參數(shù)值 典例4已知直線y=x+b與曲線y=-x+ln x相切,則b的值為() A.2B.-1C.-D.1,B,答案B,解析設(shè)切點為P(x0,y0), 由y=-x+ln x,得y=-+. 所以y=-+, 依題意,-+=,所以x0=1,則P, 又切點P在直線y=x+b上,所以-=+b,得b=-1.,命題方向四判定函數(shù)的圖象 典例5如圖,點A(2

10、,1),B(3,0),E(x,0)(x0),過點E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象為下圖中的(),D,答案D,解析函數(shù)的定義域為0,+),當(dāng)x0,2時,S=f(x)是隨著x的增大而增大的,且增長速度越來越快,即函數(shù)S=f(x)在0,2上隨著x的增大,圖象上切線的斜率逐漸增大. 當(dāng)x2,3時,S=f(x)也是隨著x的增大而增大的,但增長速度越來越慢,即函數(shù)S=f(x)在2,3上隨著x的增大,圖象上切線的斜率逐漸減小.當(dāng)x3,+)時,面積S沒有變化.,2-1(2017廣東廣州綜合測試(一)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點P(x0, f

11、(x0)處的切線方程為x+y=0,則點P的坐標(biāo)為() A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1),D,答案D由f(x)=x3+ax2得f (x)=3x2+2ax,記y0=f(x0), 由題意可得 由可得+a=-x0,即x0(+ax0+1)=0. 由可得3+2ax0+1=0. 由可得x00,所以式可化為+ax0+1=0. 由可得x0=1,代入式得或 即點P的坐標(biāo)為(1,-1)或(-1,1).故選D.,2-2已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR),若f(x)在(0, f(0)處的切線與直線x+y-1=0垂直,則a=() A.1B.

12、-1C.2D.-2,答案Cf (x)=(x2+ax-1)ex+(x2+ax-1)(ex) =(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex =x2+(a+2)x+(a-1)ex, 故f (0)=02+(a+2)0+(a-1)e0=a-1. 因為f(x)在(0, f(0)處的切線與直線x+y-1=0垂直,故f (0)=1,即a-1=1,解得a=2.,C,2-3函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可能是(),答案D由y=f (x)的圖象知y=f (x)在(0,+)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y= f(x)的切線的斜率在(0,+)上也單調(diào)遞減,故排除A、C.又由

13、圖象知y= f (x)與y=g(x)的圖象在x=x0處相交,所以y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故排除B.,典例6(2015課標(biāo)全國,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.,考點三兩條曲線的公切線,8,答案8,解析令f(x)=x+ln x,求導(dǎo)得f (x)=1+, f (1)=2,又f(1)=1,所以曲線y=x+ ln x在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.設(shè)直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1的切點為P(x0,y0),則y=2ax0+a+2=2,得a(

14、2x0+1)=0,a=0 或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,當(dāng)a=0時,顯然不滿足此 方程,x0=-,此時a=8.,方法技巧 求兩條曲線的公切線的方法 (1)利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解. (2)利用公切線得出關(guān)系式. 設(shè)公式線l在y=f(x)上的切點P1(x1,y1),在y=g(x)上的切點P2(x2,y2),則f (x1)= g(x2)=.,同類練曲線f(x)=ax-在x=2處的切線與曲線y=xln x相切,則a=.,答案,解析由f(x)=ax-,得 f (x)=a+,所以f (2)=a+, 所以曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為 y-=(x-2), 即y=x-1. 設(shè)曲線y=f(x)在x=2處的切線與曲線y=xln x相切于(x0,x0ln x0), 由y=xln x,得y=ln x+1, y=ln x0+1,所以曲線y=xln x在x=x0處的切線方程為 y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0), 即y=(ln x0+1)x-x0. 由題意得解得,變式練曲線f(x)=ex在x=0處的切線與曲線g(x)=ax2-a(a0)相切于點P,則過點P且與該切線垂直的直線方程為.,x+y+1=0,答案x+y+1=0,解