1、第六節(jié) 簡(jiǎn)單的三角恒等變換,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣填一填,2sin2,2cos2,2,2.必備結(jié)論 教材提煉記一記 (1)輔助角公式 asinx+bcosx=_sin(x+), 其中sin= ,cos= . (2)tan =,3.必用技法 核心總結(jié)看一看 (1)常用方法:整體代入法、數(shù)形結(jié)合法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸,函數(shù)與方程.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考判一判 (1)當(dāng)是第一象限角時(shí), () (2)對(duì)任意角, 都成立.() (3)半角的正余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來(lái) 的.() (4)公式 中的取值與a,b的值有關(guān).(),【解析】(1)錯(cuò)誤.在第一象

2、限時(shí), 在第一或第三象限. 當(dāng) 在第一象限時(shí), ,當(dāng) 在第三象限時(shí), (2)錯(cuò)誤.此式子必須使tan 有意義且1+cos0.即 k+ 且2k+,即(2k+1)(kZ). (3)正確.由半角公式推導(dǎo)過(guò)程可知正確. (4)正確.由 可知的取值與a,b的值有關(guān). 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改編 鏈接教材練一練 (1)(必修4P142 T4(2)改編)函數(shù)y=2cos2 +1的最小正周期為. 【解析】因?yàn)閥=2 +1=cos x+2, 所以函數(shù)的最小正周期T= =4. 答案:4,(2)(必修4 P143B組T2改編)若sin80=m,則用含m的式子表示cos5=. 【解析】由題意,得si

3、n80=cos10=m, 又cos10=2cos25-1, 所以2cos25-1=m,cos25= 所以cos5= 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015合肥模擬)已知cos ，(，2)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因?yàn)閏os ，(，2)，所以 ( ，)，所以,(2)(2014山東高考)函數(shù)y= sin 2x+cos2x的最小正周期為_. 【解析】因?yàn)閥= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ ，所以T= =. 答案：,考點(diǎn)1 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)與證明 【典例1】(1)(2015棗莊模擬)化簡(jiǎn):sin2sin2+cos2

4、 cos2- cos2cos2=. (2)證明:cos-cos= 【解題提示】(1)可以從統(tǒng)一角入手進(jìn)行化簡(jiǎn). (2)聯(lián)想兩角和與差的余弦公式,進(jìn)行整體變換證明.,【規(guī)范解答】(1)方法一:(從“角”入手,倍角單角) 原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1) (2cos2-1) =sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2- 2cos2-2cos2+1) =sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2- =sin2sin2+cos2sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .,方法二(從“角”入手,單角倍角) 原式= - cos2

5、cos2 = (1+cos2cos2-cos2-cos2)+ (1+cos2cos2+ cos2+cos2)- cos2cos2 = . 答案:,(2)因?yàn)閏os(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin, 所以兩式相減,得cos(+)-cos(-)=-2sinsin, 令+=,-=, 則 所以cos-cos=,【一題多解】解答本例(1),(2),還有其他方法嗎? 解答本題(1),還可以從統(tǒng)一名稱和式子的形式的變化入手進(jìn)行化簡(jiǎn). 方法一:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2 =cos2-sin2(

6、cos2-sin2)- cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2 =cos2-cos2（sin2+ cos2）,方法二:(從“形”入手,利用配方法,先對(duì)二次項(xiàng)配方) 原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincos cos- cos2cos2 =cos2(+)+ sin2sin2- cos2cos2 =cos2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos2(+)-1= . 答案:,解答本例(2),還可從式子的變形入手進(jìn)行證明. 證明:因?yàn)樵接?,=- (1+cos -cos -cos cos )-(1-cos +cos - cos cos )

7、=- (2cos -2cos ) =cos -cos =左， 所以原等式成立，即cos -cos =,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)遵循的三個(gè)原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.,2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪. 在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)

8、律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn): (0)=_.,【解析】原式= 因?yàn)?0, 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn) =( ) A.sin B.cos C.tan D. 【解析】選C.原式=,2.化簡(jiǎn)： _.,【解析】原式 答案： cos 2x,考點(diǎn)2 三角恒等變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 【典例2】(2015西安模擬)如圖,現(xiàn)要在一塊 半徑為1 m,圓心角為 的扇形白鐵片AOB上剪 出一個(gè)平行四邊形MNPQ,使點(diǎn)P在弧AB上,點(diǎn)Q 在OA上,點(diǎn)M,N在OB上,設(shè)BOP=,平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. (2)求S的最

9、大值及相應(yīng)的角.,【解題提示】(1)雖然P點(diǎn)變化但OP不變,通過(guò)構(gòu)造 與角所在的直角三角形,將平行四邊形的底和高用角表示,從而求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.(2)利用三角恒等變換先化簡(jiǎn),再求S的最大值及相應(yīng)的角.,【規(guī)范解答】(1)分別過(guò)P,Q作PDOB于D,QEOB于E,則四邊形QEDP為矩形. 由扇形半徑為1m,得PD=sin,OD=cos. 在RtOEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin, S=MNPD=(cos- sin)sin =sincos- sin2,(0, ).,【互動(dòng)探究】在本例中若點(diǎn)M與O重合,圖形變?yōu)槿鐖D,記平行四邊形ONPQ的面積為S

10、.求S的最大值.,【解析】如圖,過(guò)P作PDOB于D,則 由扇形半徑為1m,得PD=sin,OD=cos, 在RtPND中,因?yàn)镻ND=AOB= , 所以ND= PD= sin, ON=OD-ND=cos- sin, S=ONPD=(cos- sin)sin,【易錯(cuò)警示】解答本題有三點(diǎn)容易出錯(cuò): (1)不知平行四邊形的面積公式,無(wú)從下手,導(dǎo)致不會(huì)解答. (2)不會(huì)化簡(jiǎn)所求關(guān)系式致誤. (3)忽視的取值范圍致誤.,【規(guī)律方法】三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法 (1)結(jié)合具體圖形引進(jìn)角為參數(shù),利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),解決最優(yōu)化問(wèn)題. (2)解決三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題和解決一般應(yīng)用性問(wèn)題一樣,先建模,再討論

11、變量的范圍,最后作出結(jié)論并回答問(wèn)題.,【加固訓(xùn)練】1.(2015吉林模擬)已知直線l1l2,A是l1,l2之間的一定點(diǎn),并且A點(diǎn)到l1,l2的距離分別為h1,h2,B是直線l2上一動(dòng)點(diǎn),作ACAB,且使AC與直線l1交于點(diǎn)C,則ABC面積的最小值為.,【解析】如圖,設(shè)ABD=,則CAE=,AB= ,AC= . 所以SABC= ABAC= 當(dāng)2= ,即= 時(shí),SABC的最小值為h1h2. 答案:h1h2,2.(2015?？谀M)如圖所示,已知OPQ是半徑為1,圓心角為 的扇形,ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,B,C兩點(diǎn)在圓弧上,OE是POQ的平分線,連接OC,記COE=,問(wèn):角為何值時(shí)矩形ABCD面積

12、最大,并求最大面積.,【解析】設(shè)OE交AD于M,交BC于N,顯然矩形ABCD關(guān)于OE對(duì)稱,而M,N均為AD,BC的中點(diǎn), 在RtONC中,CN=sin,ON=cos. = sin, 所以MN=ON-OM=cos- sin, 即AB=cos- sin,又BC=2CN=2sin,故S矩形=ABBC=(cos- sin)2sin =2sincos-2 sin2=sin2- (1-cos2) =sin2+ cos2- = 因?yàn)? ,所以02 , 2+ ,故當(dāng)2+ = , 即= 時(shí),S矩形取得最大值,此時(shí)S矩形=2- .,考點(diǎn)3 三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用 知考情 利用三角恒等變換將三

13、角函數(shù)式化簡(jiǎn)后研究其圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn).在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),重點(diǎn)考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對(duì)稱性等問(wèn)題.,明角度 命題角度1:利用三角恒等變換研究函數(shù)的圖象變換 【典例3】(2014浙江高考)為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象, 可以將函數(shù)y= sin3x的圖象() A.向右平移 個(gè)單位 B.向左平移 個(gè)單位 C.向右平移 個(gè)單位 D.向左平移 個(gè)單位 【解題提示】由函數(shù)y=Asin(x+)的圖象平移與變換解決.,【規(guī)范解答】選D.因?yàn)閥=sin 3x+cos 3x 故只需將y= sin 3x的圖象向左平移 個(gè)單位即可.,命題角度2：利用三角恒等變

14、換研究三角函數(shù)的性質(zhì) 【典例4】(2014福建高考)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x) . (1)若0 ，且sin = ，求f()的值. (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【解題提示】(1)先由平方關(guān)系式求出cos ,再代入求f(x)的值. (2)運(yùn)用降冪公式，輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解,【規(guī)范解答】方法一：(1)因?yàn)? ,sin = , 所以cos = . 所以f()=,(2)因?yàn)閒(x)=sin xcos x+cos2x-,方法二：f(x)=sin xcos x+cos2x-,悟技法 求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟 (1)利用三

15、角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的形式. (2)利用公式T= (0)求周期.,(3)根據(jù)自變量的范圍確定x+的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時(shí),根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn),也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值. (4)根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的單調(diào)區(qū)間.,通一類 1.(2013湖北高考)將函數(shù)y= cosx+sinx(xR)的圖象向左平 移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值 是() 【解析】選B.由已知 當(dāng)m= 時(shí),平移后函數(shù)為

16、y=2sin(x+ )=2cosx,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且此時(shí)m最小.,2.(2013江西高考)函數(shù)y=sin2x+2 sin2x的最小正周期T 為. 【解析】因?yàn)閥=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+ =2sin(2x- )+ ,所以最小正周期T= =. 答案:,3.(2014天津高考)已知函數(shù)f(x)=cosxsin(x+ )- cos2x+ xR. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在閉區(qū)間 上的最大值和最小值. 【解題提示】(1)利用三角恒等變換把函數(shù)f(x)的解析式化為Asin(x+)+t的形式,從而求最小正周期. (2)根據(jù)x的取值范圍求最值.,【解析】(1)由已知，有f(x)=cos x,規(guī)范解答3 三角恒等變換在研究函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】(12分)(2013陜西高考)已知向量a=(cos x,- ), b=( sin x,cos 2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在0, 上的最大值和最小值.,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會(huì)規(guī)范 (1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x 2分 4分 最小正周期T= =. 所以f(x)= 的最小正周期為. 6分,8分 由正弦曲線y=si