1、第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用,2.1柯西不等式,2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式,1.認(rèn)識(shí)二維形式的柯西不等式. 2.理解二維形式的柯西不等式的幾何意義. 3.會(huì)利用二維形式的柯西不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明.,1.二維形式的柯西不等式 定理1(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)a1,a2,b1,b2均為實(shí)數(shù),則,定理2(柯西不等式的向量形式)設(shè),為平面上的兩個(gè)向量,則|. 當(dāng)及為非零向量時(shí),上式中等號(hào)成立向量與共線(平行)存在實(shí)數(shù)0,使得=. 當(dāng)或?yàn)榱阆蛄繒r(shí),規(guī)定零向量和任何向量平行,如,中至少有一個(gè)是零向量,則規(guī)定=0,上面的結(jié)果仍然正確.,【做一做1-1】 若a,bR,且a2+b

2、2=10,則a-b的取值范圍是(),解析:(a2+b2)12+(-1)2(a-b)2,a2+b2=10, (a-b)220.,答案:A,【做一做1-2】 已知p,q(0,+),且p3+q3=2,則p+q的最大值為(),答案:A,2.定理4(平面三角不等式),3.定理5(平面三角不等式的向量形式) 設(shè),為平面向量,則|-|+|-|-|. 當(dāng)-,-為非零向量時(shí),上面不等式中等號(hào)成立存在非負(fù)常數(shù),使得-=(-)向量-與-同向,即夾角為零. 名師點(diǎn)撥定理4與定理5是同一定理的不同表示形式,它們都可以看作是定理3的變式.,【做一做2】 已知,為空間向量,求證:|-|+|-|-|. 分析:參照平面三角不等

3、式的向量形式的證明方法進(jìn)行證明即可. 證明:設(shè)=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),則-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), -=(b1-c1,b2-c2,b3-c3), -=(c1-a1,c2-a2,c3-a3),|-|+|-|-|,且等號(hào)成立存在非負(fù)常數(shù),使得-=(-).,如何理解柯西不等式? 剖析:柯西不等式的幾種形式都需要對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行理解與記憶,因此,柯西不等式可以理解為有四個(gè)順序的數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系或構(gòu)造成一個(gè)不等式,如基本不等式是由兩個(gè)數(shù)來(lái)構(gòu)造,但怎樣構(gòu)造要仔細(xì)體會(huì).例如:,結(jié)合具體問(wèn)題靈活地應(yīng)用柯西不等式.,題型一,題型二,題型三,題型

4、四,利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式 【例1】 設(shè)a,b(0,+),且a+b=2.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思利用柯西不等式證明某些不等式時(shí),有時(shí)需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)?shù)刈冃?這種變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,根據(jù)題設(shè)條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),找到突破口.,題型一,題型二,題型四,題型三,利用柯西不等式的向量形式證明不等式 【例2】 已知a,b(0,+),且a+b=1. 求證:(ax+by)2ax2+by2. 分析:利用柯西不等式的向量形式.,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)0,使得m=n時(shí)等號(hào)成立. 故(ax+by)2ax2+by2.,題型一,題型二,題型三,題型四,利用柯西不等式解決實(shí)際問(wèn)題 【例3】 在半徑為R的圓內(nèi),求周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形. 分析:首先表示出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng),得出目標(biāo)函數(shù),再利用柯西不等式求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思當(dāng)函數(shù)的解析式中含有根號(hào)時(shí)常利用柯西不等式求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):應(yīng)用柯西不等式時(shí),因不注重等號(hào)是否成立,從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.,1 2 3 4 5,A.a2+b2B.2ab C.(a+b)2D.4ab,答案:C,1 2 3 4 5,2已知a+b=1,則a2+b2的最小值為(),答案:C,1 2 3 4 5,3若3