1、本章整合,專題1,專題2,專題3,專題一利用兩個原理解排列組合問題的常用方法 “兩個原理”是兩種重要的計數(shù)方法,它是列式計數(shù)時選擇加法或者乘法的理論根據(jù),在排列、組合應用題中,正確地使用加法和乘法原理是解決排列、組合應用題的基礎.,專題1,專題2,專題3,1.樹形圖法 應用1將A,B,C,D四名同學按一定順序排成一行,要求自左向右,A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,試寫出他們四個人所有不同的排法.,專題1,專題2,專題3,由此可寫出所有的排法為BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA. 所以他們四個人共有9種不同的排法.,專

2、題1,專題2,專題3,應用2三個人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過5次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有() A.6種 B.8種 C.10種D.16種 提示:充分利用樹形圖來解決問題. 解析:如圖,若甲先傳給乙,則共有5種方式;同理,甲先傳給丙也有5種方式.綜上有10種傳法. 答案:C,專題1,專題2,專題3,2.依次排序法 利用分步乘法計數(shù)原理求解與排列順序有關的問題時,可以用依次排序法.依次排序法就是把數(shù)字或字母分為前后,首先排前面的數(shù)字或字母,再依次排后面的數(shù)字或字母,將最后的數(shù)字或字母排完,則排列結束,這種方法多用于數(shù)字問題.,專題1,專題2,專題3,

3、應用3用1,2,3,4四個數(shù)字可重復地任意排成三位數(shù),并把這些數(shù)由小到大排成一個數(shù)列an. (1)寫出這個數(shù)列的前11項; (2)求這個數(shù)列共有多少項; (3)若an=341,求n. 解:(1)這個數(shù)列的前11項為111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)這個數(shù)列的項數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個數(shù),每一個位置都有4種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有444=64項. (3)比an=341小的數(shù)有兩類,分別是:,專題1,專題2,專題3,根據(jù)兩個計數(shù)原理,得數(shù)列an中比341小的項有N=244+34=44項,所以n=44+1=45.,專題

4、1,專題2,專題3,3.轉化法 一般情況下研究的排列問題是不重復的排列問題,但是在實際生活中常會遇到這樣的問題:車輛牌照的號碼、電話號碼、電報號碼等,都是一些重復排列.事實上,解決這些問題借助于“兩個原理”非常容易辦到.,專題1,專題2,專題3,應用4設集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=a1,a2,a3是S的子集,且a1,a2,a3滿足a16包含的情況較少,只有a3=9時,a2只能取2,a1只能取1一種情況,應用正難則反思想進行解決. 答案:C,專題1,專題2,專題3,應用5用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù). (1)如果組成的四位數(shù)必須是偶數(shù),那

5、么這樣的四位數(shù)有多少個? (2)如果組成的四位數(shù)必須大于6 500,那么這樣的四位數(shù)有多少個? 提示:本題的限制條件是:(1)個位數(shù)字必須是偶數(shù).(2)千、百這兩個數(shù)位上的數(shù)受限制,因此,可以采用分步排位來求解.,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,4.窮舉法 窮舉法主要是適用于用排列組合解決時需分類較多的情況,或用排列組合無從下手解決,或選擇支中數(shù)目較小,或計數(shù)方法有規(guī)律可遵循的題目.針對上述題目,與其花大量時間去思考怎么用排列組合知識進行解決,不如用“最笨”的方法一一列舉法進行解決.此法看似笨拙,有時則省時、省力.,專題1,專題2,專題3,應用6如圖所示,將16這六個數(shù)字分別填

6、到圖中字母的位置,使三角形每條邊上的三個數(shù)之和相等,則共有()種填寫方法. A.24B.21 C.18D.12 解析:由題意可得位置A,B,C,D,E,F上的數(shù)字滿足A+B+D=A+C+F=D+E+F,由題意得(A+B+D)+(A+C+F)+(D+E+F)=A+B+C+D+E+F+(A+D+F)一定能被3整除,而A+B+C+D+E+F的值為1+2+3+4+5+6=21,能被3整除,故A+D+F也一定能被3整除.由此可得A,D,F的值可能分別為1,2,3,或1,2,6,或1,3,5,或1,5,6,或2,3,4,或2,4,6,或3,4,5,或4,5,6.,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專

7、題3,專題二排列組合的解題方法 1.直接法(元素、位置優(yōu)先考慮法) (1)特殊元素分析法:即以元素為主考慮,先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素. (2)特殊位置分析法:即以位置為主考慮,先安排有特殊要求的位置,再考慮其他位置. 應用150件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任意取4件. (1)至少有1件次品的抽法有多少種? (2)至多有兩件次品的抽法有多少種?,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,2.插空法 不相鄰問題常用插空法:我們可以根據(jù)題目的具體特點,先排某些元素,再將余下的元素進行插空,這樣處理有關的排列組合問題,往往能收到良好的解題效果. 應用2馬路上有9盞路燈,為了節(jié)約用電,可

8、以關掉其中的三盞路燈,要求關掉的路燈不能相鄰,且不在馬路的兩頭,那么不同的關燈方案共有多少種? 解:本題可以看成被關掉的路燈夾在6盞亮著的燈的空當里.6盞亮著的燈排在一起,中間有5個空當,從5個空當中選出某3個,插進去三盞關掉的路燈,因此,不同的關燈方案,專題1,專題2,專題3,3.捆綁法 對于幾個元素要求相鄰的排列問題,可先將相鄰的元素“捆綁”起來,看作一個元素,與其他元素排列,然后再考慮它們“內部”的排列,這種解決排列問題的方法稱為“捆綁法”. 應用3用1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中恰有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)有多少個? 提示:本題中一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)

9、之間可以捆綁在一起看作一個元素,體現(xiàn)了捆綁法的應用.,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,4.間接法 間接法是求解排列組合問題的常用方法.帶有限制條件的排列組合問題,常用“元素分析法”和“位置分析法”,當直接考慮對象較為復雜時,可用逆向思維,使用間接法(排除法),即先不考慮約束條件,求出所有排列、組合總數(shù),然后減去不符合條件的排列、組合種數(shù). 應用4從12人中選出5人去參加一項活動,按下列要求,有多少種不同選法? (1)A,B,C三人至少一人入選; (2)A,B,C三人至多二人入選. 提示:解決排列組合題目時,從正面入手,情況較復雜,不易解決時,可以從問題的反面入手,往往能收到意想

10、不到的效果.,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,5.隔板法 這類問題的特征是:(1)被分的元素沒有區(qū)別;(2)被分的元素的個數(shù)不少于分得的組數(shù);(3)每個小組至少分得一個元素.具備這些條,專題1,專題2,專題3,應用5某地區(qū)有9所學校,現(xiàn)有先進教師名額11個,要求每所學校至少有一個名額,共有多少種不同的分配方法? 提示:本題符合隔板法的特點. 解:因為名額沒有區(qū)別,因此,可以在11個名額所產(chǎn)生的10個空隙,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,專題1,專題2,專題3,2.賦值法 應用2已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a11x11,則

11、a1+a2+a11=. 提示:求展開式中各項系數(shù)的和的一個有效辦法就是賦值法.賦予變量的值往往是0,1,-1等. 解析:欲求a1+a2+a11,需先求a0,再求a0+a1+a11,應用賦值法求解. 令x=0,得a0=(1+0)6(1-0)5=1, 再令x=1,得a0+a1+a11=(1+1)6(1-2)5=-26,所以a1+a2+a11=-26-1=-65. 答案:-65,專題1,專題2,專題3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1(2016全國甲高考)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() A.24B.18C.12D.9 解析：由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B. 答案：B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3(2015課標全國高考)(a+x