1、第五節(jié) 函數(shù)的微分,主要內(nèi)容,微分的定義；,微分的幾何意義；,求函數(shù)的微分；,微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.,一、問(wèn)題的提出,實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,面積函數(shù),再如,既容易計(jì)算又是較好的近似值,問(wèn)題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有（可微的條件）?它是什么（微分的定義）?如何求?,二、微分的定義（是什么？）,定義,(微分的實(shí)質(zhì)),定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：,(定理),三、可微的條件(什么樣的函數(shù)可微？),定理,證,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,什么意思？,自變量的增量就是自變量的微分：,函數(shù)的微分可以寫(xiě)成:,該例說(shuō)明:,即函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)

2、數(shù)等于函數(shù)的,微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也,可稱為微商.,例2,解,例3,解,練 習(xí),解,四、微分的幾何意義,M,N,）,幾何意義:(如圖),M,N,.,f (x),dy,x,微分是函數(shù)的局部線性化,.,用切線增量近似曲線增量,dy,dy =,在圖上是哪條線段？,=tan x,微分的幾何意義,即：,.,y,問(wèn)題：何時(shí)dy y ?,x,y,o,dy,x,用切線增量近似曲線增量,dy, y,微分的幾何意義,.,dy y,微分是函數(shù)的局部線性化,哪條線段是dy ？,.,導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:,五、微分的求法（如何求?）,求法: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分.,1.基本初等

3、函數(shù)的微分公式,2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則,3.復(fù)合函數(shù)的微分法則,設(shè) ，則復(fù)合函數(shù) 的微分為,即,六、微分形式的不變性,結(jié)論：,微分形式的不變性,我們發(fā)現(xiàn) y = f (u),當(dāng) u 為中間變量 時(shí)的微分形式與 u 為自變量時(shí)的微分的形 式相同 ,均為 dy = f (u) du , 這種性質(zhì)稱為 函數(shù)的一階微分形式不變性 .,例4,解一,利用微分形式的不變性,解二,利用微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,例5,解一,解二,練 習(xí),答 案,例6,解,在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.,練習(xí),解,在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.,七、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些比較難算公式。如果直接用公式進(jìn)行計(jì)算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可以把有些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似公式代替。,1、計(jì)算函數(shù)增量的近似值,例7,分析,而這個(gè)運(yùn)算量是很大的，于是我們想到用微分這個(gè)線形主部來(lái)近似取代變化量。,解,練 習(xí),解,在計(jì)算函數(shù)值時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到一些比較難算的函數(shù)。如果直接用公式進(jìn)行計(jì)算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可以把難算的函數(shù)用容易算的點(diǎn)的函數(shù)值求其近似值代替 。,2、計(jì)算函數(shù)的近似值,三角函數(shù)的函數(shù)值，可以用在特殊點(diǎn)處的函數(shù)值