1、激光原理,第二章 光線的傳播與高斯光束,激光原理,符號規(guī)則,1.通過厚度為L的均勻介質(zhì),2.通過不同介質(zhì)的介面（平面）,3.通過焦距為f的薄透鏡,f0，相對于凸透鏡 f0，相對于凹透鏡,4.通過球面反射鏡,（1）R0,凹面反射鏡 （2）R0,凸面反射鏡 （3）R趨于無窮,單位矩陣,一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的作用相當(dāng)于一個焦距f=R/2的薄透鏡,5.球面介面,二.光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)序列,由焦距為f1和f2的透鏡相距間隔為d，周期性排列而成,現(xiàn)實意義：等效為高斯光束（激光）在焦距為f1和f2的兩反射鏡組成的光學(xué)諧振腔中的傳輸,因此：,同樣的：NS+1,因此，平面S與S+1之間的光線參

2、數(shù)關(guān)系有：,當(dāng)光線通過復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)時，光線矩陣為各個光學(xué)元件光線矩陣相乘，乘法的順序與光線傳播的方向相反,由遞推關(guān)系：,該式為一個決定光線穿過透鏡波導(dǎo)的演進(jìn)情形的差分方程,解此差分方程得：,方程的通解即為以上兩個解的線性疊加，也可寫為,，,討論： （1） ， 為實角，光線在該透鏡序列中傳播時是穩(wěn)定的 （2） ，光線在該透鏡序列中傳播時是不穩(wěn)定的,三、相同透鏡波導(dǎo)（ f1f2） ：,四、光線在反射鏡之間的傳播 ：,z,Xn,O,Xn+1,Yn,Yn+1,掌握： 1、光線矩陣的分析方法 2、幾種典型光學(xué)元件的光線矩陣 3、復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的光線矩陣 4、雙周期透鏡波導(dǎo)的定義和物理意義 5、雙周期透鏡波

3、導(dǎo)的穩(wěn)定性條件 6、光纖在兩反射鏡之間傳播的穩(wěn)定性條件,五、光線在類透鏡介質(zhì)中的傳播,1. 薄透鏡的聚焦機理,離軸距離為r的相位提前量為,經(jīng)過透鏡后的光場,平面波，經(jīng)過薄透鏡，產(chǎn)生一個與離軸距離r2成正比的相位提前量，補償了到達(dá)焦點幾何路徑的不同所引起的相位不同滯后量，到達(dá)焦點時間、相位相同，實現(xiàn)聚焦,2. 類透鏡介質(zhì),軸線上的折射率 軸線上的波數(shù) 與介質(zhì)有關(guān)的常數(shù)（與工作狀態(tài)也有關(guān)系）,定義：某種介質(zhì)折射率滿足,研究類透鏡介質(zhì)的實際意義？,3. 光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播,程函方程（幾何光學(xué)中的基本方程）,光線的傳播方向，就是 變化最快的方向,在討論光線和幾何光學(xué)的強度時，可以推

4、導(dǎo)出：,光線的微分方程（光線方程）,為空間位置矢量， 為光線傳播方向,（2）非均勻介質(zhì)， 必須采用光線方程進(jìn)行分析,4、在類透鏡介質(zhì)中的傳播,考慮近軸光線,在二次折射率介質(zhì)（或類透鏡介質(zhì)）中，折射率沒有軸向分布，僅有徑向分布,光線在x方向和y方向的變化是相同的,X,y都是獨立變量,為了簡化，可以取yz平面上的光線討論，并以r代替y,近軸光線的微分方程,1) K20,此時的光線矩陣,結(jié)論：二次變折射率介質(zhì)，對光線傳播的作用相當(dāng)于透鏡一樣，使光線改變方向,在介質(zhì)中傳播的光線在 和 之間振蕩,a, K20,z增加，r(z)增加，因而具有發(fā)散性，起到負(fù)透鏡的作用,思考： 1、K20的情況； 2、k20

5、時對光線起到匯聚的作用，推導(dǎo)聚焦點的位置； 3、比較光線在透鏡波導(dǎo)和在二次折射率介質(zhì)中，其傳播問題的處理方法及結(jié)果的異同。,2.2光束在均勻介質(zhì)中的傳輸,目的：從二次折射率介質(zhì)中的波動方程出發(fā)，推導(dǎo)出激光的特征光束形式高斯光束，并討論其傳輸特性。（包括腔內(nèi)、腔外、各種光學(xué)元件）,一、二次折射率介質(zhì)中的波動方程 1、在各項同性、無電荷的介質(zhì)中，麥克斯韋方程組如下：,設(shè)折射率n（x，y）的空間分布之變化很?。ň徛兓?分離變量,關(guān)于傳播常數(shù)K的討論,（1）在激光中，如果考慮到介質(zhì)中可能存在光的增益或吸收，我們將K取做復(fù)數(shù)形式,（2）K(r)具有以下函數(shù)規(guī)律,設(shè) 為z向傳播的電磁波，其橫向分布僅與

6、r有關(guān),取 具有下面的形式，并代入波動方程：,2、二次折射率介質(zhì)的波動方程之解,近似的平面波,是對平面波的修正函數(shù)，包括振幅修正和相位修正,如果方程對任何r都成立，則系數(shù)均為0,這就是二次折射率介質(zhì)中的簡化形式的波動方程，亦即激光介質(zhì)中的波動方程。,二. 均勻介質(zhì)中的基本高斯光束 K20,引入中間函數(shù)S，令,當(dāng)選擇了 為純虛數(shù)時，就可以導(dǎo)出物理上有意義的波，這種波的能量集中在z軸附近。,設(shè) 為純虛數(shù)，并引入一個新的常數(shù),基本高斯光束解 只考慮了隨r作變化的橫向分布，不考慮更為復(fù)雜的與方位角有關(guān)的解,軸線上的波數(shù),基模高斯光束特性,(1)場的振幅分布,在z截面上，振幅是按照高斯函數(shù)的規(guī)律變化，在

7、軸線上有最大值。,定義：在光束截面內(nèi)，振幅下降到中心的1/e時，離軸的距離r為該處的光斑尺寸或光斑半徑， 因此 即為z截面上的光斑半徑。,光斑最小的位置為束腰，其尺寸為,(2)場的相位分布,基模高斯光束的等相位面的曲率半徑為,當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 有極小值，該極小值為 當(dāng) 時，高斯光束的波面才能看成是中心位于原點的球面,1. 遠(yuǎn)場發(fā)散角 (全角) 定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角,(3)高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角,三、高斯光束的變換ABCD法則,1、類透鏡介質(zhì)中的基本高斯光束,同樣引入中間函數(shù)S，代入,取 為純虛數(shù)，那么 可以取下面的形式,表明了初始值與z處的光束參數(shù)之間的關(guān)系,稱為復(fù)數(shù)光束半徑,與

8、類透鏡介質(zhì)的光線矩陣進(jìn)行比較,按照光線矩陣的規(guī)則,上式就是高斯光束q參數(shù)的變換法則（ABCD法則），對于其他光學(xué)元件的光線矩陣，可以看作類透鏡光線矩陣的特殊情況。,1、ABCD法則不同于矩陣乘法 2、高斯光束變換后仍是高斯光束 3、可推廣到各種光學(xué)元件,2、ABCD法則,由 決定了光束的光斑尺寸 和波前的曲率半徑 ，也就決定了整個高斯光束的模式，所以其變換法則代表高斯光束的變換法則,應(yīng)用舉例1：高斯光束通過薄透鏡,f,q1,q2,（1）薄透鏡的光線矩陣是,（2）應(yīng)用ABCD法則,由于,代入,應(yīng)用舉例2：高斯光束依次通過兩個光學(xué)元件,ABCD法則最大功效是當(dāng)高斯光束通過成 像系統(tǒng)的復(fù)雜序列后，能

9、夠很快的找出高 斯光束的束參數(shù)。,三、高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳輸,1、透鏡波導(dǎo)中的變換矩陣,光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)過S個周期后，聯(lián)系S1面和第1面的光線矩陣是,經(jīng)過數(shù)學(xué)歸納法，可得到,2、光束參數(shù)變換法則,3、高斯光束通過透鏡序列的穩(wěn)定性條件,要得到 有有限解，必須 為實數(shù)，也就是,實際意義：ABCD法則是激光束在諧振腔兩個反射鏡之間往返S次的光束參數(shù)變換法則,四、均勻介質(zhì)中傳播的高階高斯光束,如果考慮方位角的變化,代入波動方程，分離變量后解得：,其解為厄米多項式,所以總的解為,仍為基本高斯光束解,本征值,那么電場的橫向變化,模式：在激光中，將光學(xué)諧振腔內(nèi)可

10、能存在的電磁場的本征態(tài)稱為腔的模式 橫模：光場橫向的穩(wěn)定分布，以TEM表示 縱模：光場縱向的穩(wěn)定分布（沿著光的傳播方向）,2.3高斯光束的變換,一、高斯光束的基本性質(zhì),1、基模高斯光束,式中的重要參數(shù)：,2、高斯光束在自由空間的傳輸,a. 基模高斯光束在橫截面內(nèi)的振幅分布按照高斯分布,由振幅降落到中心值1/e處所定義的光斑半徑為,光斑半徑隨坐標(biāo)z按照雙曲線規(guī)律擴展,描述高斯光束在點(x,y,z)處相對于原點(0,0,0)處的相位滯后。其中，kz描述 幾何相移， 描述高斯光束在空間行進(jìn)距離z時相對幾何相移的附 加相位超前，高斯光束的等相位面是以R為半徑的球面。,c. 遠(yuǎn)場發(fā)散角,高斯光束在其傳輸軸線附近可近似看做是一種非均勻球面波。其曲率中心隨著傳輸過程而不斷改變，但其振幅和強度在橫截面內(nèi)始終保持高斯分布特性，且其等相位面始終保持為球面。,3. 高斯光束的特征參數(shù),a. 用參數(shù) 及束腰位置來表征,c. 用q 參數(shù)來表征,b. 用參數(shù) 來表征,球面波通過薄透鏡的變換,高斯光束通過薄透鏡的變換,二、高斯光束通過薄透鏡時的變換,（1）寫