1、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理(一起被稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)普遍定理)從不同角度研究了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能)的變化與力的作用量(沖量、力矩、功等)的關(guān)系。但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面, 即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問(wèn)題。,10.6 普遍定理綜合應(yīng)用,10.6 普遍定理綜合應(yīng)用,動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式, 因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩, 應(yīng)用時(shí)只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力; 動(dòng)能定理是標(biāo)量形式, 在很多問(wèn)題中約束反力不作功, 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的。但應(yīng)注意, 在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功, 應(yīng)用時(shí)要具體分析。,研究動(dòng)力學(xué)普遍定理綜

2、合應(yīng)用有兩方面含義: 其一, 對(duì)一個(gè)問(wèn)題可用不同的定理求解; 其二, 對(duì)一個(gè)問(wèn)題需用幾個(gè)定理才能求解。,10.6 普遍定理綜合應(yīng)用,有時(shí)一個(gè)問(wèn)題, 幾個(gè)定理都可以求解, 此時(shí)可選擇最合適的定理, 用最簡(jiǎn)單的方法求解。對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題, 不外乎是幾種情況的組合, 可以根據(jù)各自定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用。下面舉例說(shuō)明。,解：取桿為研究對(duì)象,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：,例 均質(zhì)桿OA，重P，長(zhǎng)l，繩子突然剪斷。求該瞬時(shí)桿的角加速度及O處反力。,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：,例9 物體A、B，質(zhì)量分別為 mA、mB，用彈簧相連，放在光滑水平面上。彈簧原長(zhǎng)為 l0 ，剛度系數(shù)為k?，F(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)到 l 后無(wú)初速釋放，求當(dāng)彈

3、簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體 A、B 的速度，彈簧質(zhì)量不計(jì)。,A,B,y,x,質(zhì)點(diǎn)系包含兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B由于質(zhì)點(diǎn)位移在水平方向，外力不作功；但兩質(zhì)點(diǎn)間的距離是可變的，故內(nèi)力F、F所做的功不為零。設(shè)當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為 vA、vB，方向如圖示。由動(dòng)能定理：,解：作受力圖。,即,由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒得,聯(lián)立解之得,例10 重150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。,解：（1）取圓盤(pán)為研究對(duì)象,圓盤(pán)作平動(dòng)。,（2）用動(dòng)能定理求速度,代入數(shù)據(jù)，得,取整個(gè)系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ，,最低位置時(shí)

4、：,（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度a 。,盤(pán)質(zhì)心加速度：,桿質(zhì)心C的加速度：,（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。 取整個(gè)整個(gè)系統(tǒng) 為研究對(duì)象,代入數(shù)據(jù)，得,例11 物塊A和B的質(zhì)量分別為m1、m2, 且 m1m2 , 分別系在繩索的兩端, 繩跨過(guò)一定滑輪, 如圖?；喌馁|(zhì)量為m, 并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦, 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng), 試求物塊A的加速度和軸承O的約束反力。,解一: 取單個(gè)物體為研究對(duì)象。,解:分別以物塊A、B和滑輪為研究對(duì)象, 受力如圖。分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程, 得,由以上方程聯(lián)立求解得:,注意到,解二: 用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

5、。,解: 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象, 受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖。設(shè) A下降高度h時(shí)速度為v ，系統(tǒng)動(dòng)能為,所有力的功的代數(shù)和為,于是可得,將動(dòng)能定理表達(dá)式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得,由質(zhì)心坐標(biāo)公式,于是可得,解三: 用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(或動(dòng)量定理)。,解: 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象, 受力如圖, 運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為,然后按解二的方法即可求得軸承O的約束反力。,例12 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l, 質(zhì)量為m, 靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾倒下時(shí), 求桿剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。,解: 由于地面光滑, 直桿沿水平方向不受力, 倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。桿運(yùn)動(dòng)到任一位置 (與水平方向夾角

6、為q )時(shí)的角速度為,此時(shí)桿的動(dòng)能為,初動(dòng)能為零, 此過(guò)程只有重力作功, 由,A,C,q,當(dāng)q0時(shí)解出,桿剛剛達(dá)到地面時(shí)受力及加速度如圖所示, 由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程, 得,桿作平面運(yùn)動(dòng), 以A為基點(diǎn), 則C點(diǎn)的加速度為,沿鉛垂方向投影, 得,聯(lián)立求解方程(1)(3), 得,例13 圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為m1, 放在光滑的水平面上, 可以無(wú)摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿斜面AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為q, 求三棱柱體的加速度。,q,A,C,B,O,D,解: 整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零, 所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒。設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是v, 圓柱體的角速度是w。

7、求圓柱體的動(dòng)量需要用O點(diǎn)的絕對(duì)速度, 可用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)知識(shí)求得:,取圓柱體中心O為動(dòng)點(diǎn), 動(dòng)系與三棱柱固連, 則O點(diǎn)的速度分析如圖(a)所示,(a),x,y,由動(dòng)量守恒定理:,兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得,求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量:,O,D,欲求a需先求出a, 取圓柱體分析如圖(c)所示, 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得,從中解出,x,y,代入(*)式得,例14 如圖, 均質(zhì)桿質(zhì)量為m, 長(zhǎng)為l, 可繞距端點(diǎn)l/3的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng), 求桿由水平位置靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角加速度以及軸承O的約束反力。,桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng), 轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為,mg,解法1: 用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng),w,以桿為研究對(duì)象。由于桿由水平

8、位置靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng), 故開(kāi)始的動(dòng)能為零, 即,將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo), 得,在此過(guò)程中所有的力所作的功為,解法2: 用微分方程求運(yùn)動(dòng),C,O,由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,即,所以,得,即,又,所以,j,C,O,現(xiàn)在求約束反力。,質(zhì)心加速度有切向和法向分量:,將其向直角坐標(biāo)軸上投影得:,C,O,x,y,FOy,FOx,畫(huà)受力圖，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,得:,解得:,例 均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為l, 質(zhì)量為m, 起初緊靠在鉛垂墻壁上, 由于微小干擾, 桿繞B點(diǎn)傾倒如圖。不計(jì)摩擦, 求:(1) B端未脫離墻時(shí)AB桿的角速度、角加速度及B處的反力;(2) B端脫離墻壁時(shí)的q 角;(3) 桿著落地時(shí)質(zhì)心的速度及桿的角速度。,q,a

9、,w,B,C,A,mg,解: (1) B端未脫離墻之前AB桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),q,a,w,B,C,A,mg,兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得,(2) 求B端脫離墻壁時(shí)的q 角,q,a,w,B,C,A,mg,FBy,FBx,y,x,或者, 因B端脫離墻壁前桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng), 所以,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程maCxFx得,q,a,w,B,C,A,mg,FBy,FBx,當(dāng) B端脫離墻壁時(shí)FBx0, 即,從而有,或,其中第一個(gè)解q0無(wú)意義, 舍去。,a,w,q,B,C,A,(3) 求桿著地時(shí)質(zhì)心的速度及桿的角速度,當(dāng)B端脫離墻壁時(shí)桿作平面運(yùn)動(dòng), 因?yàn)榇藭r(shí)桿在水平方向上不受力, 所以質(zhì)心C在水平方向上運(yùn)動(dòng)守恒, 也就是說(shuō)質(zhì)心C的速度在水平方向