1、Ch3 隨機向量,例1,描述了任一個人的體形特征.,例2,可確定炮彈的彈著點.,任選一個人,設X表示其身高，,設任一炮彈彈著點,縱坐標為Y,為X,Y表示其體重,的橫坐標,例3,設 分別表示,任一鋼塊的長、寬、高,描述了任一,鋼塊的形狀.,在概率論中,如果試驗的每個基本結果,都對應三個有序實數,則稱為三維隨機向量;,一般地,如果試驗的,都對,應一個實數,則為一維隨機變量;,都對應一對有序實數,則稱為二維隨機向量;,如果試驗的每個基本結果,如果試驗的每個基本結果,都對應 個,則稱為 維隨機向量.,有序實數,每一個基本結果,3.1 隨機向量的分布,定義3.1,例如,則,是三維隨機向量.,任一考生的語

2、、數、外,一、隨機向量及其分布,是定義在概率空間,維隨機向量.,一個人的身高和體重,是二維隨機向量.,設 分別表示,則,設 分別表示,任一鋼塊的長、寬、高,設 分別表示,及綜合的考試分數,是四維隨機向量.,設,上的n個隨機變量，,則稱,是,上的一個,定義3.2,稱為隨機向量,設,是n維隨機向量,語、數、英及綜合,的聯合分布函數.,n元函數,的分布函數.,或,n個隨機變量,例如,任一考生的,設 分別表示,的考試分數,是四維隨機向量.,例如,當 時,二維隨機向量,的分布函數為,定義3.2,稱為隨機向量,設,是n維隨機向量,n元函數,的分布函數.,聯合分布函數,具有性質：,（1）,（2）,關于,均單

3、調不減.,對任意固定的,當 時，,有,對任意固定的,當 時，,有,（3）,關于,均右連續(xù).,即對任意實數,（4）,記,記,記,記,對任意固定的,當 時，,有,證,當 時，,關于y單調不減.,如果 的分布函數,已知，,則,隨機變量,隨機變量,稱為分布函數,關于X的邊緣分布函數.,稱為分布函數,關于Y的邊緣分布函數.,的分布函數為：,的分布函數為：,二、離散型隨機向量,定義3.3,的全部取值,如果二維隨機向量,或至多可列個,為,則隨機向量,為有限個,的概率分布,離散型的.,例,任取4個,袋中裝有1個紅球,2個白球,3個黑球.,從中任,和 分別表示4球中,紅球及白球的個數.,取4個,的分布為:,Y的

4、分布為:,稱為關于Y的,稱為關于 的邊緣分布.,邊緣分布.,任取4個,1. 聯合分布,定義3.4,取這些值的概率為,聯合分布常用表格表示:,聯合分布具有性質:,設,是二維離散型隨機向量,的取值為,聯合概率分布.,稱上式為隨機向量,可能,的概率分布，,或X和Y的,非負性,歸一性,2. 邊緣分布,的概率分布為:,設,隨機變量X的分布為:,記為,記為,隨機變量X的分布為:,記為,記為,記為,隨機變量X的分布為:,記為,記為,記為,稱為關于X的邊緣概率分布.,記為,隨機變量Y的分布為:,記為,隨機變量Y的分布為:,記為,隨機變量Y的分布為:,記為,稱為關于Y的邊緣概率分布.,例,六個乒乓球中,有4個是

5、新球，,第一次取出兩個,X，Y分別表示,寫出(X,Y)的分布.,解,用完后放回，,第二次再取出兩個,第一次和第二次,取到的新球數目.,關于X和Y的邊緣分布:,可統(tǒng)一表示為,求以下概率：,例,把一枚硬幣連擲三次，,X表示三次中正面出現,的次數，,Y表示三次中,出現正面的次數,的次數之差的絕對值，,求(X，Y)的聯合概率分布.,解,時,必有,時,必有,時,必有,時,必有,與出現反面,三、連續(xù)型隨機向量,1.密度函數,的概率密度函數,定義3.5,設,是二維隨機向量,其分布函數,為,如果存在非負可積的,二元函數,使得對于任意實數對,有,則稱(X,Y)為,稱為(X，Y)的,或X與Y 的聯合密度函數.,簡

6、稱,密度函數.,記為,二維連續(xù)型隨機向量,概率密度函數,定義3.5,設,是二維隨機向量,其分布函數,為,如果存在非負可積的,二元函數,使得對于任意實數對,有,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量,稱為(X，Y)的概率密度函數,或X與Y的聯合密度函數.,簡稱,密度函數.,記為,密度函數具有性質:,對平面上任意,有,特殊地,對平面上的任一矩形區(qū)域,有,（非負性）,（歸一性）,可度量的區(qū)域D,例,解,其中 為平面上的,一個可度量的有界區(qū)域,其,所以,確定C的值.,面積為S(G),設二維隨機向量,定義,如果二維隨機向量,的概率密度為,其中G為平面上的,一個可度量的有界區(qū)域,G的面積,則稱隨機向量,此時對

7、平面上任意,可度量的區(qū)域D,均勻分布,對應幾何概率.,是,服從G上的均勻分布.,G,例,設隨機向量,的密度函數為,其它,（1）求k；,解,例,其它,（2）求概率,解,例,求(1),的聯合分布函數;,解,隨機向量,解,例,求(2),隨機向量（X，Y）,落入以點,為頂點的正方形,設隨機向量,區(qū)域的概率.,2.邊緣密度函數,設連續(xù)型隨機向量,的聯合密度為,則,是連續(xù)型隨機變量，,其密度函數為,證,由密度函數的定義，,另一方面，,稱為密度函數,關于X的邊緣密度函數,由聯合密度函數的定義,例,求邊緣密度.,設隨機向量,服從,上的均勻分布,即,其它,例 設,求邊緣密度.,所以,其它,解,其它,X服從0,2

8、上的均勻分布.,例,求邊緣密度.,所以,其它,解,其它,Y服從0,2上的均勻分布.,例,設隨機向量,服從,上的,即,其它,求邊緣密度.,均勻分布,例,其它,解,其它,X不服從均勻分布.,求邊緣密度.,求邊緣密度.,解,其它,Y不服從均勻分布.,其它,四、二維正態(tài)分布,定義,則稱(X,Y)服從,其中參數,設(X,Y)是二維隨機向量,如果其概率密度,函數為,的二維正態(tài),記為,均為常數,且,參數為,分布,定理,二維正態(tài)分布,的邊緣分布,為一維正態(tài)分布.,即若,則,即,二維正態(tài)分布中的參數,分別是X和Y的,分別是X和Y的方差.,數學期望；,定理,若二維正態(tài)分布,中,則( X,Y )的聯合密度函數為,兩個邊緣密度函數的,乘積.,證,=0時，,結論:,1.二維正態(tài)分布,的邊緣分布,是一維正態(tài)分布.,即若,則,不同的二維正態(tài)分布,可以有相同的邊緣分布.,如,(X,Y)和(,),是兩個不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布:,相同.,故由邊緣分布,不能唯一確定聯合分布.,