1、第一章 第1.1.2節(jié)：余弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)繼續(xù)探索三角形的邊長(zhǎng)與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細(xì)化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過相關(guān)教學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；難點(diǎn)：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。學(xué)法指導(dǎo)探索三角形的邊長(zhǎng)與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式。通過實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題。D知識(shí)鏈接本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)

2、習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣。E自主學(xué)習(xí)提出問題 在ABC中，若AB2，AC3，A60.問題1：這個(gè)三角形確定嗎？提示：確定問題2：你能利用正弦定理求出BC嗎？提示：不能問題3：能否利用平面向量求邊BC？如何求得？提示：能2222222cos A49223cos 607問題4：利用問題3的推導(dǎo)方法，能否推導(dǎo)出用b，c，A表示a?提示：能導(dǎo)入新知余弦定理余弦定理公式表達(dá)a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理語言敘述

3、三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍推論cos A，cos B，cos C化解疑難對(duì)余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化F.合作探究已知三角形的三邊解三角形例1在ABC中，若abc12，求A，B，C.解由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x.由余弦定理的推論，得cos A，故A30.同理可求得cos B，co

4、s C0，所以B60，C90.類題通法已知三角形的三邊解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理或由求得的第一個(gè)角，利用正弦定理求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)利用余弦定理求三個(gè)角的余弦，進(jìn)而求三個(gè)角活學(xué)活用1邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形中，最大角與最小角的和是_解析：設(shè)中間角為，由于875，故的對(duì)邊的長(zhǎng)為7，由余弦定理，得cos .所以60，故另外兩角和為18060120.答案：120已知三角形的兩邊及其夾角解三角形例2在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos B824(1)2

5、284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0A180，A45.故C180AB180456075.法二：由正弦定理，sin A，ba，ca，a最小，即A為銳角因此A45.故C180AB180456075.類題通法已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解若用正弦定理求解，需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，)上，余弦值所對(duì)角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好活學(xué)活用2在ABC，已知a2，b2，C15，解此三角

6、形解：c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84() 2c.法一：由余弦定理的推論得cos A.0A180，A45，從而B120.法二：由正弦定理得sin A.ab，AB，又0A180，A必為銳角，A45，從而得B120.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形例3在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和邊a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.當(dāng)a3時(shí)，A30，C120.當(dāng)a6時(shí)，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本題有兩解由

7、正弦定理得sin C，C60或120，當(dāng)C60時(shí)，A90，ABC為直角三角形由勾股定理得a6，當(dāng)C120時(shí)，A30，ABC為等腰三角形，a3.類題通法已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的方法可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊(注意邊的取舍)，再利用正弦定理求其他的兩個(gè)角；也可以由正弦定理求出第二個(gè)角(注意角的取舍)，再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后再利用正弦定理求出第三邊活學(xué)活用3已知：在ABC中，cos A，a4，b3，則c_.解析：A為b，c的夾角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5判斷三角形的形

8、狀例4在ABC中，若acos Abcos Bccos C，試判斷ABC的形狀解由余弦定理可得abc等式兩邊同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化簡(jiǎn)得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故ABC為直角三角形類題通法判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀活學(xué)

9、活用4在ABC中，若cos A，試判斷其形狀解：由cos A得cos A，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此ABC是以C為直角的直角三角形典例如圖所示，在四邊形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求出BC的長(zhǎng)解題流程規(guī)范解答設(shè)BDx.在ABD中，根據(jù)余弦定理，AB2AD2BD22ADBDcosBDA，142102x2210xcos 60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.ADCD，BDA60，CDB30.在BCD中，由正弦定理，BC8.名師批注 將四邊形ABCD分解為兩個(gè)ABD和BCD，利用余弦定理列出關(guān)于x的一元二次方程，化

10、簡(jiǎn)方程時(shí)易出錯(cuò)，應(yīng)注意步驟及計(jì)算的準(zhǔn)確性。由ADCD，BDA60得CDB30，學(xué)生有時(shí)不易想到活學(xué)活用如圖所示，在ABC中，已知B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，ABAC7.G.課堂小結(jié)由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？有什么收獲？H達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A，a，b1，則c()A1 B.2C.1D.解析：選B由余弦定理a2b2c22bccos A，得c2c20，解得c2或c1(舍去)2在ABC中，若a8，b7，cos C，則最大角的余弦值是()A B.C D解析：選

11、C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值為cos A.3在ABC中，B60，b2ac，則此三角形一定是()A直角三角形 B.等邊三角形C等腰直角三角形 D鈍角三角形解析：選B由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac.B60，AC60.故ABC是等邊三角形4(2013寧陽高二檢測(cè))在ABC中，bcos Aacos B，則ABC是()A等邊三角形 B.等腰三角形C直角三角形 D銳角三角形解析：選B因?yàn)閎cos Aacos B，所以ba.所以b2c2a2a2c2b2.所以a2b2.所以ab.故此三角

12、形是等腰三角形5在ABC中，B60，最大邊與最小邊之比為(1)2，則最大角為()A45 B.60C75 D90解析：選C由題意可知cba，或abc，不妨設(shè)c2x，則a(1)x，cos B.即b26x2.cos C，C45，A180604575.二、填空題6(2012湖北高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若(abc)(abc)ab，則角C_解析：(ab)2c2ab，cos C，C.答案：7在ABC中，A120，AB5，BC7，則的值為_解析：由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：8

13、在ABC中，若sin Asin Bsin C357，則C的大小是_解析：因?yàn)閟in Asin Bsin C357，由正弦定理可得abc357，設(shè)a3k(k0)，則b5k，c7k，由余弦定理的推論得cos C，又0C180，所以C120.答案：120三、解答題9在ABC中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin C2sin Bcos A，試判斷ABC的形狀解：由正弦定理，可得sin B，sin C.由余弦定理，得cos A.代入sin C2sin Bcos A，得c2b.整理得 ab.又因?yàn)?abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos C.故C.又ab，所以ABC為等邊三角形10在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a