1、,3.1.4 空間向量的正交 分解及其坐標(biāo)表示,共線向量定理:,復(fù)習(xí)：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,回 顧,平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p都可以用兩個(gè)不共線的向量a，b來(lái)表示（平面向量基本定理），那么，對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？,Q,P =xi+yj+zk,探究：在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量 代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的 結(jié)論嗎？,任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。,空間向量基本定理：,如果三個(gè)向量 不共面，那么對(duì)空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使,都叫做基向量,空間向量基本定理,定理,其中a，b，c叫做

2、空間的一個(gè)基底. （不共面且非零）,（1）任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。,特別提示：對(duì)于基底a,b,c,除了應(yīng)知道a,b,c不共面， 還應(yīng)明確：,（2） 由于可視 為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是 。,（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)連的不同概念。,推論：設(shè)O、A、B、C是不共線的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使 當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面。,（1）如何在劇院中尋找自己的座位？,(2) 如何確定住戶在小區(qū)中的位置？,一、空間直角坐標(biāo)系

3、,一般地：,在空間取定一點(diǎn)O,從O出發(fā)引三條兩兩垂直的射線,選定某個(gè)長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度,(原點(diǎn)),(坐標(biāo)軸),O,x,y,z,1,1,1,右手系,坐標(biāo)軸,原點(diǎn),由坐標(biāo)軸確定的平面叫作坐標(biāo)平面。,x，y軸確定的平面記作xOy平面,y，z軸確定的平面記作yOz平面,x，z軸確定的平面記作xOz平面,在空間直角坐標(biāo)系中，xOy平面把空間分為三個(gè)部分： xOy平面、z軸的正半軸所在部分，z軸的負(fù)半軸所在部分.,同樣，xOz平面、yOz平面也把空間分別分為三個(gè)部分,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限,2、空間直角坐標(biāo)系的劃分,P1,P2,P3,y,x,z,3、空間中點(diǎn)的坐標(biāo),對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，要求它

4、的坐標(biāo),方法一：過(guò)P點(diǎn)分別做三個(gè)平面垂直于x,y,z軸，平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為P1、P2、P3，在其相應(yīng)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z，那么(x,y,z)就叫做點(diǎn)P的空間直角坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)，記作P(x,y,z)，三個(gè)數(shù)值叫做P點(diǎn)的x坐標(biāo),y坐標(biāo),z坐標(biāo)。,P點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y,z),P0,x,y,z,方法二：過(guò)P點(diǎn)作xy面的垂線，垂足為P0點(diǎn)。點(diǎn)P0在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)x、y依次是P點(diǎn)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)。再過(guò)P點(diǎn)作z軸的垂線，垂足P1在z軸上的坐標(biāo)z就是P點(diǎn)的z坐標(biāo)。,P點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y,z),P1,注意：在建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中任何一點(diǎn)P就與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)建立了 一一

5、對(duì)應(yīng)關(guān)系，(x,y,z)就叫做P的空間直角坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)，記作P(x,y,z)。三個(gè)數(shù)值x、y、z分別叫做P點(diǎn)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)。,小提示：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)至少有兩個(gè)坐標(biāo)等于0；坐標(biāo)面上的點(diǎn)至少有一個(gè)坐標(biāo)等于0。,(0,0,0),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),4、特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo),(+,+,+),5、點(diǎn)P在各卦限中x、y、z坐標(biāo)的符號(hào),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,-),(+,-,-),卦限圖,卦限圖,平面直角坐標(biāo),例題：,y,A,B,C,D,E,F,1、在空間直

6、角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)，并說(shuō)明這些點(diǎn)的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）,A1(1,4,0),A(1,4,1),(2,-2,0) B1,B (2,-2,-1),(-1,-3,0) C1,(-1,-3,3) C,2、在空間直角坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn) (1)、A（1,4,1）； (2)、B（2,-2,-1）； (3)、C（-1,-3,3）；,例1：如圖,例2：在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)： A（0，2，4）B（1，0，5） C（0，2，0）D（1，3，4）,結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞示意圖（可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)

7、為1/2的小正方體堆積成的正方體），其中紅色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子，如圖：建立空間直角 坐標(biāo)系 后， 試寫(xiě)出全部鈉原子 所在位置的坐標(biāo)。,例3：,練習(xí)1：,點(diǎn)M(x,y,z)是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)，寫(xiě)出滿足 下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo),(1)與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),(2)與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),(3)與點(diǎn)M關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn),(4)與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn),(5)與點(diǎn)M關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn),(6)與點(diǎn)M關(guān)于xOz平面對(duì)稱的點(diǎn),(7)與點(diǎn)M關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn),(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z),(-x,-y,-z),(x,y,-z),(x,-y,z),(-x,y

8、,z),關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余都相反,練習(xí)2,正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為10，建立恰當(dāng)?shù)目臻g 直角坐標(biāo)系 (1)寫(xiě)出正四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo) (2)寫(xiě)出棱PB的中點(diǎn)M的坐標(biāo),練一練,在空間直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)，并指出各點(diǎn)所在的位置： A（0,3,1）, B（0,0,5）, C（0,3,0）,在空間直角坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)： (1)、（ -1,-4,1 ）； (2)、 （ -3,3,4 ）；,小結(jié)：,空間直角坐標(biāo)系,1、空間直角坐標(biāo)系的建立(三步),2、空間直角坐標(biāo)系的劃分(八個(gè)卦限),3、空間中點(diǎn)的坐標(biāo)(一一對(duì)應(yīng)),4、特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)(表格),5、點(diǎn)P在各卦限中x、y、z坐標(biāo)的符號(hào)(表格),空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示, 則,設(shè),一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則,空間一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè) 向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).,二、距離與夾角的坐標(biāo)表示,1.距離公式,（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式,注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。,在空間直角坐標(biāo)系中，已知、 ，則,（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式,2.兩個(gè)向量夾角公式,注意： （1）當(dāng) 時(shí)，同向； （2）當(dāng) 時(shí)，反向； （3）當(dāng) 時(shí)，。,解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建 立空間直角