1、學(xué)院 姓名 學(xué)號 任課老師 考場教室_選課號/座位號 密封線以內(nèi)答題無效電子科技大學(xué)2012 -2013學(xué)年第 1學(xué)期期 中 考試 A 卷課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 考試形式: 閉卷考試日期： 20 12 年 11 月 10 日 考試時長：_120_分鐘本試卷試題由_部分構(gòu)成，共 3 頁。題號一二三四五六七八九十合計得分得 分一、簡答題(每題8分, 共計40分) 1. 事件的獨立性是否存在傳遞性? 即事件A與事件B相互獨立，事件B與事件C相互獨立，能否推知事件A與事件C相互獨立？試舉例說明. 解答 事件的獨立性不存在傳遞性. (3分) 反例 獨立地拋擲出一枚硬幣和一個骰子，令三個事件如下， (

2、6分)則事件A與事件B相互獨立，事件B與事件C相互獨立，但事件A與事件C不相互獨立. (8分)2. 給出多維隨機變量相互獨立和兩兩獨立的概念，為什么說多維隨機變量的獨立性本質(zhì)上是隨機事件組的獨立性？解答 設(shè)n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，若對所有實數(shù)組均有成立, 稱相互獨立. (3分) 若對一切1 i1 i2 n及都有 成立則n維隨機變量兩兩獨立. (5分) 根據(jù)分布函數(shù)的定義, n維隨機變量相互獨立即對任意實數(shù)向量(x1 , x2, , xn), n個隨機事件Ak=Xk xk, k=1,2, , n， 都相互獨立. (8分)3. 設(shè)兩個隨機變量X與Y相互獨立且同分布：PX=1= PY=1=,

3、PX=1= PY=1=，試計算概率PX=Y和PX+Y=0.解答 根據(jù)X與Y的邊緣分布律得下表 (3分)X / Y11X11Y根據(jù)隨機變量X與Y的相互獨立性, 可知上表中四個空格處概率均為, (6分)有下表(X , Y)(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1)p可得 PX=Y=+=, PX+Y=0=+= (8分)注 用其他表達形式得到結(jié)果,類比給分.4. 在區(qū)間0, 2上任意取兩個數(shù)x, y，試求兩數(shù)滿足不等式的概率.解答 “任意選取兩個數(shù)”意味x和 y在0, 2上等可能被選取，即二維隨機點( X, Y)在邊長為2 的正方形上服從均勻分布， (3分)所求概率為 (8分) 5. 假設(shè)隨機變

4、量X 服從指數(shù)分布，試求 Y= minX, 2的分布函數(shù)，并討論隨機變量Y是否為連續(xù)型隨機變量，為什么？解 (3分) (6分)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)處處連續(xù),在y=2處不連續(xù)，故Y非連續(xù)型隨機變量 (8分)得 分二、 二、證明題 (12分)已知隨機變量X與Y相互獨立, 且XU(0,1), YB(1, p). 證明X2與Y2相互獨立. 證明 需證 對任意的及k = 0,1，隨機事件與相互獨立. (3分)因Y與Y2同分布，且X與Y相互獨立, 當，k =0,1 (5分) (9分)當，k =0,1 (12分)故X2與Y2相互獨立. 或證明 任意實數(shù)對(x, y), (X2, Y2)聯(lián)合分布函數(shù)G(x

5、, y)滿足 得 分 三、 (14分) 設(shè)電源電壓（單位：V），通常有三種狀態(tài)：（a）電壓 不超過200V；（b）電壓在200V240V之間；（c）電壓超過240V. 在上述三種狀態(tài)下，某電子元件損壞的概率分別0.1，0.001及0.2，試求1）該電子元件損壞的概率； 2）在電子元件損壞的情況下，分析電壓最可能處于什么狀態(tài)？（附：）解 記 電壓處于狀態(tài)a, 電壓處于狀態(tài)b, 電壓處于狀態(tài)c, B=該元件損壞，則構(gòu)成的一個劃分，且 ， (3分) ， (8分) 由全概率公式 (10分)（2）由貝葉斯公式， ， (12分)在電子元件損壞的情況下，分析電壓最可能處于狀態(tài)（c）. (14分)得 分四、(

6、14分)設(shè)隨機變量相互獨立且都服從參數(shù)為p的0-1分布，已知矩陣為正定矩陣的概率為. 試求1)參數(shù)p的值; 2) 隨機變量的概率.解 1) 因矩陣正定的充分必要條件是其所有順序主子式都大于0, 故有 (3分)解得. (7分)2) 隨機變量的全部取值為, (10分) (14分)得 分五、（20分）隨機變量（X, Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)是 (x, y)R2其中 1) 證明X與Y都服從正態(tài)分布；2) 求隨機變量Y關(guān)于X的條件概率密度; 3）討論X與Y是否相互獨立？ 4) 根據(jù)本題的結(jié)果，你能總結(jié)出什么結(jié)論？解 1) （3分） （5分）即. （9分） 2） 對任意 ，因 （14分） 3） 因 故X與Y不相互獨立. 或因 ，故X與Y不相互