1、4.2 隨機(jī)變量的方差,引 例,定義：,設(shè) X是隨機(jī)變量, 若E X E(X)2存在，稱,D(X)= E X E(X)2 為X的方差. 稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.,注：1）D(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 當(dāng)X為離散型時(shí) 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),2）D(X)0,常用計(jì)算公式：D(X)E (X2)-E(X)2,證 明,證 明,證 明,常見分布的方差,例 4.2.1,例 4.2.3,練 習(xí),例 4.2.2,隨機(jī)變量方差的性質(zhì),設(shè)X , X1,X2,.,Xn 是隨機(jī)變量，c,b 是常數(shù).,1）E( c ) = c ,D( c ) =0.,2）E( c X) = cE(X),D( c X) = c2 D

2、(X).,若X1,X2,.,Xn 相互獨(dú)立，則,若X1,X2,.,Xn 相互獨(dú)立，則,例 4.2.4,例 4.2.5.,4）D( X ) =0,P X =E(X) =1,隨機(jī)變量方差的性質(zhì),例 4.2.6,方差刻劃了隨機(jī)變量 X 圍繞其 數(shù)學(xué)期望的偏離程度！,方差是隨機(jī)變量 X 關(guān)于任何值的 偏離程度的最小值！,方 差,誰的技術(shù)水平發(fā)揮的更穩(wěn)定,已知甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的歷史記錄為：,E(X)=10*0.5+9*0.2+8*0.1+7*0.1+6*0.05+5*0.05=8.85(環(huán)）,E(Y)=10*0.7+9*0.05+8*0.02+7*0.03+6*0.1+5*0.1=8.92(環(huán)）,甲:

3、,乙:,甲技術(shù)水平更穩(wěn)定.,方 差,方 差,方 差,方 差,隨機(jī)變量關(guān)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度（方差）比它關(guān)于其它任何值的偏離程度都小。,方 差,例4.2.1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,1) 求D(X) 2) Y=X2+1 求D(Y),解：1)E(X)=(-1)*1/2+0*1/3+1*1/6=-1/3,E(X2)=(-1)2*1/2+02*1/3+12*1/6=2/3,D(X)= E(X2)-E(X)2=5/9,2)E(Y)=(-1)2+1*1/2+ 02+1*1/3+ 12+1*1/6=5/3,E(Y2)=E(X4+2X2+1)=3,D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2/9,方 差,例4.2.2,方 差,練習(xí)：,1/2,5,方 差,稱X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。,方 差,方 差,方 差,固定（一個(gè)較小的數(shù)）,若X的方差小，則事件|X-E(X)|發(fā)生的概率小,即事件|X-E(X)|發(fā)生的概率大。,方差刻劃了隨機(jī)變量X圍繞它的數(shù)學(xué)期望的偏離程度！,方 差,解：,方 差,證明：,分析:,1)要證明此不等式一方面要用到數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，另一方面要用到有關(guān)不等式的知識。,2) 在數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)中有E(XY)20,更一般的有E(XtY)