1、第七講 不等式現(xiàn)實生活中充滿著不相等的數(shù)量關(guān)系，可以用不等式來處理，在初中學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)上，對不等式要有進(jìn)一步的理解，特別是理解不等式知識的體系，知道在實數(shù)范圍內(nèi)研究不等式、不等式的基礎(chǔ)公理，在公理基礎(chǔ)上研究不等式的基本性質(zhì)，從而利用它們解不等式和證明不等式，解不等式的過程就是不等式不斷等價轉(zhuǎn)化的過程。在探索各種不等式的解法的過程中，體會不等式、方程和函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在證明不等式的基本性質(zhì)和簡單不等式的過程中，學(xué)習(xí)和掌握不等式證明的基本思想方法。有了對不等式的深刻理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和其它數(shù)學(xué)知識提供必要的基礎(chǔ)，也可以應(yīng)用它們來解決一些簡單的實際問題。從而也理解不等式（組）對于刻畫不等

2、關(guān)系的意義和價值。不等式的基礎(chǔ)是在實數(shù)范圍內(nèi)，它是研究不等式的公理，由此出發(fā)要理解和掌握不等式的八條（初中階段只有三條）基本性質(zhì)的來龍去脈。不等式的基本性質(zhì)是研究不等式的理論依據(jù)，必須深刻理解每一個性質(zhì)成立的前提條件。證明一個不等式正確時要找到合理的不等式性質(zhì)，證明一個不等式錯誤時只要舉出一個反例或用反證法。解不等式的過程就是利用不等式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行不斷等價轉(zhuǎn)化和化簡，最終得到所含未知數(shù)的范圍，這也是解各種不等式的基本思想和方法。初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識。本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識。7

3、.1 一元二次不等式及其解法一、核心要點(diǎn)7.1.1 不等式的基本概念1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子。2、不等式的解：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成的集合叫做這個不等式的集解。4、解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式。7.1.2 不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變。即如果，那么；如果，那么。性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。即如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）。性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以（或

4、除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。即如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）。7.1.3 一元一次不等式及不等式組1、概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式，一元一次不等式的一般形式為。2、一元一次不等式的解當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則為任意實數(shù)，若，則無解。3、一元一次不等式組：由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集。求不等式組的解集的過程叫做解不等式。4、不等式組的解法：轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，求解每個不等式，得公共部分，即為不等式組的解集。7.1.4 一元二次不

5、等式1、一元二次不等式：一個整式不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式。2、它的一般形式是或。3、一元二次不等式的解法（1）化二次項系數(shù)為正；（2）觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖像；對于一元二次不等式或的解，可以按照其對應(yīng)方程的判別式、（其中）分為以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)時，函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和。那么由圖7-1可得：當(dāng)時，函數(shù)的圖像與軸只有一個交點(diǎn)（其中）。那么由圖7-2可得：當(dāng)時，函數(shù)的圖像與軸無交點(diǎn)。那么由圖7-3可得：xyOx1= x2圖7-2yxO圖7-3xyOx1x2圖7-1二、考點(diǎn)突破例1、解下列不等式：（1）； （2）； 解：（1）原不等式

6、的解是（2）原不等式的解是（3）；（4）。解：（3）原不等式的解是（4）原不等式的解是練1、求下列不等式的解集：（1）；（2）；解：（1）原不等式的解是（2）原不等式的解是（3）；（4）。解：（3）原不等式的解是（4）原不等式的解是7.2 簡單分式不等式的解法一、核心要點(diǎn)7.2.1 分式不等式的定義：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式。7.2.2 簡單分式不等式的解法：對簡單分式不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零二、考點(diǎn)突破例2、解下列不等式：（1）；（2）分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)

7、相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 (2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)解：(1) 解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：(2) 原不等式可化為：練2、解不等式解：原不等式可化為：說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)? (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號：小結(jié)練習(xí)1、解下列一元二次不等式（1）；（2）；答案：（1）解集為：（2）解集為：（3）；（4）；答案：（3）解集為：（4）解集為：（5）；（6）。答案：（5）解集為：（6）解集為：2、解下列分式不等式：（1）；（2）；（3）3.不等式

8、的解集是 。4.不等式的解集是 .總結(jié)：歸納分式不等式的解法：（1） 化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型：（2） 將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解如： 拓展：高次不等式的解法解不等式：.7.3 含參數(shù)的不等式的解法及恒成立問題一、核心要點(diǎn)7.3.1 含參數(shù)的一元二次不等式由于其系數(shù)中出現(xiàn)了參數(shù)，因此需要對參數(shù)的不同取值進(jìn)行分類討論而加以求解。一般情況下，含參數(shù)的一元二次不等式的分類和討論步驟如下：（1）對二次項系數(shù)含參數(shù)的一元二次不等式，要注意對二次項系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，特別地，當(dāng)二次項系數(shù)為零時可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式來求解；（2）含參數(shù)的一元二次不等式，在其解的情況下不明確的情況下，需要對其判別式

9、分、三種情況加以討論；（3）若含參數(shù)的一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化成用其對應(yīng)方程的根表示成形如的形式時，且兩根中含參數(shù)，往往需要對其根分三種情況進(jìn)行討論，或借助韋達(dá)定理求解。7.3.2 與一元二次不等式有關(guān)的逆向問題給出了一個一元二次不等式的解集，則可知的符號和的兩根，由韋達(dá)定理可知之間的關(guān)系。7.3.3 含參數(shù)的不等式的恒成立問題不等式恒成立，則不等式的解集為，一元二次不等式在上恒成立的條件是在上恒成立的條件是二、考點(diǎn)突破例3、已知是實常數(shù)，解關(guān)于的不等式：。答案：當(dāng)時，；當(dāng)時，不等式無解；當(dāng)時，；練3、解關(guān)于的不等式：（1）；（2）。答案：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，為一切實數(shù)；當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，；當(dāng)

10、時，原不等式無解；當(dāng)時，例4、如果不等式無解，求的取值范圍。答案：練4、不等式的解為一切實數(shù)，求的取值范圍。答案：綜上所述：當(dāng)時，原不等式的解為一切實數(shù)。注意：對二次項系數(shù)為零的情況的討論。練5、若不等式的解集為，求的取值范圍。解：練6、若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的范圍。答案：例5、設(shè)為參數(shù)，解關(guān)于的一元二次不等式。解：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，原不等式可化為。若，當(dāng)時，；當(dāng)時，。若，。練7、解不等式。答案：當(dāng)時，或；當(dāng)時，；當(dāng)時，或。例6、若不等式的解集為，求不等式的解集。答案：解集為：練8、已知關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集。答案：練9、不等式的解集為，求與的值。答案：練10、已

11、知關(guān)于的不等式的解集是，求關(guān)于的不等式的解集。答案：練11、已知關(guān)于的不等式的解為，求的值分析：對應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解解：由題意得：說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，且注意，從而小結(jié)練習(xí)練1、求關(guān)于的不等式的解解：原不等式可化為：(1) 當(dāng)時，不等式的解為；(2) 當(dāng)時， 時，不等式的解為； 時，不等式的解為； 時，不等式的解為全體實數(shù)(3) 當(dāng)時，不等式無解綜上所述：當(dāng)或時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為全體實數(shù)；當(dāng)時，不等式無解練2、已知關(guān)于的不等式的解為，求實數(shù)的值分析：將不等式

12、整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時，才有形如的解，從而令解：原不等式可化為：所以依題意：練3、已知對于任意實數(shù)，恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：顯然不合題意，于是：7.4 含絕對值的不等式的解法一、核心要點(diǎn)我們知道，它表示實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。因此，求不等式的解集就是求數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)所對應(yīng)的實數(shù)的集合。7.4.1 最簡單的含絕對值的不等式的解法的解為；無解；無解；的解為或；的解為的一切實數(shù)；的解為一切實數(shù)；7.4.2 較簡單的含絕對值的不等式的解法（1）；（2）；（3）的解法：先求出使每個絕對值符號內(nèi)的數(shù)學(xué)式子等于零的未知數(shù)的值（稱為零點(diǎn)），將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的式子在每一個區(qū)間上的符號，去掉絕對值符號，使之轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解。這種方法我們稱為零點(diǎn)分段法。二、考點(diǎn)突破例7、解下列絕對值不等式：（1）；（2