1、第2課時(shí)余弦定理(2)1理解余弦定理，能用余弦定理確定三角形的形狀2熟練邊角互化(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理射影定理和平行四邊形的性質(zhì)定理閱讀教材P16P17，完成下列問題1射影定理在ABC中，(1)bcos Cccos Ba；(2)ccos Aacos Cb；(3)acos Bbcos Ac.2平行四邊形性質(zhì)定理平行四邊形兩條對角線平方的和等于四邊平方的和特別地，若AM是ABC中BC邊上的中線，則AM.1在ABC中，若BC3，則ccos Bbcos C_.【解析】ccos Bbcos CBC3.【答案】32若ABC中，AB1，AC3，A60，則BC邊上的中線AD_.【解析】在ABC中，由余弦定理

2、可知BC.AD.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型利用正、余弦定理解決實(shí)際問題某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14 n mile/h的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？【精彩點(diǎn)撥】先畫出示意圖，再借助正、余弦定理求解【自主解答】如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x h后在B處追上走私船，則CB10x，AB14x，AC9，ACB7545120，由余弦定理

3、，得(14x)292(10x)22910xcos 120，化簡得32x230x270，即x或x(舍去)，巡邏艇需要1.5 h才追趕上該走私船BC10x15，AB14x21.在ABC中，由正弦定理，得sinBAC.BAC3813，或BAC14147(鈍角不合題意，舍去)，3813458313.答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過1.5 h才追趕上該走私船準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、方位角等，將要求解的問題歸納到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用余弦定理等解三角形的有關(guān)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解再練一題1兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船以20 n mile/h的速度向北偏東

4、80的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40方向航行，求一小時(shí)后，兩船相距多少n mile.【解】一小時(shí)后甲船到B處，乙船到C處，如圖，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC220212222012cos 120784，BC28(n mile)即一小時(shí)后，兩船相距28 n mile.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，試確定ABC的形狀. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(abc)(abc)3ab求C；2cos Asin Bsin C求A與B的關(guān)系【自主解答】(abc)(abc

5、)3ab，a2b2c2ab，2abcos Cab，cos C，C.法一：又2cos Asin Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，ABC，ABC為等邊三角形法二：由2cos Asin Bsin C可知2bc，即b2a2，ab，ABC，ABC為等邊三角形利用正、余弦定理判定三角形形狀的策略再練一題2在ABC中，若B60，2bac，試判斷ABC的形狀【解】法一根據(jù)余弦定理得b2a2c22accos B.B60，2bac，2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即

6、ba.ABC是正三角形法二根據(jù)正弦定理，2bac可轉(zhuǎn)化為2sin Bsin Asin C.又B60，AC120，C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60，ABC是正三角形探究共研型利用正、余弦定理度量平面圖形探究1在ABC中，若ADBC，則ABcos BACcos C的值為多少？【提示】如圖，易知ABcos BBD，ACcos CCD，又BDCDBC，故ABcos BACcos CBC.探究2在ABC中，若AD是BAC的平分線，則BD與DC有什么關(guān)系？【提示】BDDCABAC.探究3在ABC中，若AD是BC邊上的中線，則AD與AB，AC，

7、BC間存在怎樣的等量關(guān)系？【提示】4AD22(AB2AC2)BC2.(2015全國卷)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長【精彩點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理和三角形的面積公式求解即可(2)利用余弦定理和(1)中得到的結(jié)論求解【自主解答】(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因?yàn)镾ABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理，得.(2)因?yàn)镾ABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDC

8、cosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知AB2AC，所以AC1.1平面幾何中的面積、長度問題常借助正、余弦定理求解，合理轉(zhuǎn)化已知條件是求解此類問題的關(guān)鍵2求解此類問題要特別注意隱含條件的挖掘，如(1)中隱含角平分線的性質(zhì)定理；(2)中隱含著ADBADC180.再練一題3.如圖121，ABC中，ABAC2，BC2，點(diǎn)D在BC邊上，ADC45，求AD的長度圖121【解】在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理得，AD.構(gòu)建體系1在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a4bsin A，則cos B_.【解

9、析】a4bsin A，由正弦定理知sin A4sin Bsin A，sin B，cos B.【答案】2若平行四邊形兩鄰邊的長分別是和，它們的夾角是45，則這個(gè)平行四邊形的兩條對角線的長分別是_【解析】兩條對角線的長分別為和.【答案】3已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，經(jīng)測量，ABC120，則A，C兩地的距離為_ km. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】AC210220221020cos 120，AC10.【答案】104在ABC中，B60，b2ac，則ABC的形狀為_【解析】b2a2c22accos 60a2c2ac，a2c2acac，a22acc20，ac.又B60，ABC為

10、正三角形【答案】正三角形5如圖122所示，在四邊形ABCD中，BC20，DC40，B105，C60，D150，求：圖122(1)AB的長；(2)四邊形ABCD的面積【解】(1)連結(jié)BD，因?yàn)锳BC105，C60，ADC150，所以A3601056015045.在BCD中，BD2BC2CD22BCCDcos C202402220401 200，于是BD20.因?yàn)锽D2BC2CD2，所以CBD90.所以ABD1059015，ADB1804515120.在ABD中，所以AB30.(2)因?yàn)閟in 15sin(4530)，所以四邊形ABCD的面積S四邊形ABCDSDBCSDBA2020203050(9

11、)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(píng)(四)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1在ABC中，若B60，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為_【解析】在ABD中，ABD60，AB1，BD2，由余弦定理得AD23，故AD.【答案】2如圖123所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為_ km.圖123【解析】CACBa，ACB1802040120，AB2AC2CB22ACCBcos ACB，即AB2a2a2a23a2，ABa.【答案】a3如圖

12、124所示，某人向正東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么x的值是_圖124【解析】由余弦定理：x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1(舍去)【答案】44在鈍角ABC中，a1，b2，則最大邊c的取值范圍為_【解析】在鈍角ABC中，由于最大邊為c，所以角C為鈍角所以c2a2b2145，即c，又因cab123，所以c0，cx所對的最大角變?yōu)殇J角【答案】銳角三角形6(2016南通高二檢測)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若SABC，則角C的大小為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】SABC，absin C2abcos C，tan C

13、1，又C(0，)，C.【答案】7(2016揚(yáng)州高二檢測)在ABC中，AB7，BC5，AC6，則AB等于_【解析】由余弦定理得cos B.B|cos B7519.【答案】198在ABC中，若sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，則A的取值范圍是_【解析】由正弦定理，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A.又A(0，)且ycos x在(0，)上是減函數(shù)，故A.【答案】二、解答題9ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值【解】由cos A，得sin A.又bcsin A30，bc156.

14、(1)bccos A156144.(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，a5.10(2016蘇州高二檢測)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，并且a2b(bc)(1)求證：A2B.(2)若ab，判斷ABC的形狀【解】(1)證明：由a2b(bc)得a2b2bc，又cos B，2sin Acos Bsin Bsin Csin Bsin(AB)即sin Bsin(AB)，BAB或ABB，A2B或A不成立，故A2B.(2)ab，.又由a2b(bc)可得c2b，cos B，所以B30，A2B60，C90，ABC為直角三角形能力提升1(2015天津高

15、考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_【解析】在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得【答案】82如圖125，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C_.圖125【解析】設(shè)ABa，則ADa，BD，BC2BD，cos A，sin A.由正弦定理知sin Csin A.【答案】3在ABC中，若lg alg clg sin Alg，并且A為銳角，則ABC為_三角形【解析】lg alg clg sin Alg，sin A.A為銳角，A45，sin Csin Asin 451，C90.【答案】直角4.如圖126所示，甲船以30 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時(shí)兩船相距20 n mile，當(dāng)甲船航行20 min到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西