1、2.1.1 合情推理課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析各個(gè)擊破一、運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論【例1】 在平面內(nèi)觀察, 凸四邊形有2條對(duì)角線,凸五邊形有5條對(duì)角線,凸六邊形有9條對(duì)角線由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線?解：凸四邊形有2條對(duì)角線;凸五邊形有5條對(duì)角線,比凸四邊形多3條;凸六邊形有9條對(duì)角線,比凸五邊形多4條于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為比凸n-1邊形的n-2條對(duì)角線.由此凸n邊形對(duì)角線條數(shù)為2+3+4+5+(n-2)= n(n-3)(n4,nN*).溫馨提示歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理,是人們?cè)谌粘；顒?dòng)和科學(xué)學(xué)習(xí)研究中經(jīng)常使用的一種推理方法,必須認(rèn)真學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì).在歸納推理的過(guò)程中,應(yīng)

2、注意所探求的事物或現(xiàn)象的本質(zhì)屬性和因果關(guān)系,如本例中隨多邊形邊數(shù)及對(duì)角線條數(shù)的共變現(xiàn)象作定量觀察分析,才能發(fā)現(xiàn)其對(duì)角線條數(shù)的增加規(guī)律.類(lèi)題演練1意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的1228年版的算經(jīng)一書(shū)中記述了有趣的兔子問(wèn)題:假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過(guò)了一個(gè)月就可長(zhǎng)成大兔子,如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開(kāi)始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢?我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無(wú)盡的月數(shù),可得數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出,當(dāng)n3時(shí),an的遞推關(guān)系嗎?解：從第3項(xiàng)開(kāi)始，逐項(xiàng)

3、觀察分析每項(xiàng)與其前面幾項(xiàng)的關(guān)系易得：從第3項(xiàng)起，它的每一項(xiàng)等于它的前面兩項(xiàng)之和，即an=an-1+an-2(n3,nN*).變式提升1數(shù)列an中,a1=2,an+1=,nN*,依次計(jì)算a2;a3;a4;并歸納猜想出an的表達(dá).解：a2=，a3=,a4=,故an=.二、運(yùn)用類(lèi)比推理揭示事物相似(相同)的性質(zhì)【例2】類(lèi)比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).解：(1)兩實(shí)數(shù)相加后,結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),兩向量相加后,結(jié)果仍是一個(gè)向量.(2)從運(yùn)算律的角度考慮,它們都滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律.即a+b=b+a;a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).(3)從逆運(yùn)

4、算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即減法運(yùn)算.a+x=0與a+x=0都有唯一解,x=-a與x=-a.(4)在實(shí)數(shù)加法中,任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量與零向量相加,既不改變?cè)撓蛄康拇笮?亦不改變?cè)撓蛄康姆较?即a+0=a.溫馨提示類(lèi)比是對(duì)知識(shí)進(jìn)行理線串點(diǎn)的好方法,在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)時(shí),常常以一兩個(gè)對(duì)象為中心,把與它有類(lèi)比關(guān)系的對(duì)象歸納整理成一張圖表,便于記憶與運(yùn)用.在數(shù)學(xué)中,我們可以由已經(jīng)解決的問(wèn)題和已經(jīng)獲得的知識(shí)、方法、規(guī)律出發(fā),通過(guò)類(lèi)比，從中得到啟發(fā)與靈感,從而提出新問(wèn)題、作出新發(fā)現(xiàn)和找到新方法.類(lèi)題演練2類(lèi)比圓的下列特征,找出球的相關(guān)特征.(1)平面內(nèi)

5、與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓;(2)平面內(nèi)不共線的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓;(3)圓的周長(zhǎng)與面積可求;(4)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：（1）在空間內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球；（2）空間中不共面的4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球；（3）球有面積與體積；（4）在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（x0,y0,z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.變式提升2從大小正方形的數(shù)量關(guān)系上,觀察如下圖所示的幾何圖形,試歸納得出的結(jié)論.解：從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上容易發(fā)現(xiàn)1=12,1+3=22=22,

6、1+3+5=33=32,1+3+5+7=44=42,1+3+5+7+9=55=52,1+3+5+7+9+11=66=62,觀察上述算式的結(jié)構(gòu)特征，我們可以猜想：1+3+5+7+（2n-1）=n2.三、合情推理應(yīng)用舉例【例3】20世紀(jì)60年代,數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象:一個(gè)自然數(shù),如果它是偶數(shù)就用2除它;如果是奇數(shù),則將它乘以3后再加1,反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算,會(huì)得到什么結(jié)果?試考察幾個(gè)數(shù)并給出猜想.解：取自然數(shù)6,按角谷的作法有:62=3, 33+1=10, 102=5, 35+1=16, 162=8, 82=4, 42=2, 22=1.其過(guò)程簡(jiǎn)記為63105168421.取自然數(shù)7,則有7221134175226134020101.取自然數(shù)100,則有10050257638195829884422111.歸納猜想:這樣反復(fù)計(jì)算,必然會(huì)得到1.類(lèi)題演練3觀察下列已有的數(shù)的規(guī)律在（）內(nèi)填入恰當(dāng)?shù)臄?shù).解：到依次為5,10,10,5,6,15,20,15,6,每個(gè)數(shù)均為該數(shù)兩肩之上的數(shù)之和變式提升3,求出S1,S2,S3,S4并