1、31.1數系的擴充和復數的概念復數的概念及代數表示問題1：方程x210在實數范圍內有解嗎？提示：沒有問題2：若有一個新數i滿足i21，試想方程x210有解嗎提示：有解(xi)，但不在實數范圍內1復數的定義形如abi(a，bR)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i21.全體復數所成的集合C叫做復數集2復數的表示復數通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復數的代數形式，a與b分別叫做復數z的實部與虛部3復數相等的充要條件在復數集Cabi|a，bR中任取兩個復數abi，cdi(a，b，c，dR)，規(guī)定abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.對復數概念的理解(1)對復數zab

2、i只有在a，bR時，a和b才分別是復數的實部和虛部，并注意：虛部是實數b而非bi.(2)當兩個復數不全是實數時，不能比較大小，只可判定相等或不相等，但兩個復數都是實數時，可以比較大小(3)利用復數相等，可以把復數問題轉化成實數問題進行解決，并且一個復數等式可得到兩個實數等式，為應用方程思想提供了條件.復數的分類問題1：復數zabi在什么情況下表示實數？提示：b0.問題2：如何用集合關系表示實數集R和復數集C?提示：RC.復數的分類(1)復數abi(a，bR)(2)集合表示：10的特殊性0是實數，因此也是復數，寫成abi(a，bR)的形式為00i，即其實部和虛部都是0.2a0是復數zabi為純虛

3、數的充分條件嗎？因為當a0且b0時，zabi才是純虛數，所以a0是復數zabi為純虛數的必要不充分條件復數相等的充要條件(1)若512ixiy(x，yR)，則x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i為虛數單位求實數x，y的值(1)由復數相等的充要條件可知x12，y5.(2)根據復數相等的充要條件，由(2x1)iy(3y)i，得解得即x，y4.答案：(1)125(2)x，y4.解決復數相等問題的步驟(1)等號兩側都寫成復數的代數形式；(2)根據兩個復數相等的充要條件列出方程(組)；(3)解方程(組)已知(2x8y)(x6y)i1413i，求實數x，y的值解：由復數相等的充

4、要條件，得解得復數的分類已知mR，復數z(m22m3)i.(1)當m為何值時，z為實數？(2)當m為何值時，z為虛數？(3)當m為何值時，z為純虛數？(1)要使z為實數，需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m3.(2)要使z為虛數，需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m1且m3.(3)要使z為純虛數，需滿足0，且m22m30，解得m0或m2.利用復數的分類求參數的方法及注意事項利用復數的分類求參數時，要先確定構成實部、虛部的式子有意義的條件，再結合實部與虛部的取值求解要特別注意復數zabi(a，bR)為純虛數的充要條件是a0且b0.設復數zlg(m22m2)(m23m2)i.(1)

5、當m為何值時，z是實數？(2)當m為何值時，z是純虛數？解：(1)要使復數z為實數，需滿足解得m2或1，即當m2或1時，z是實數(2)要使復數z為純虛數，需滿足解得m3，即當m3時，z是純虛數(上海高考)設mR，m2m2(m21)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m_.復數m2m2(m21)i是純虛數的充要條件是解得即m2.故m2時，m2m2(m21)i是純虛數21若忽視“純虛數的虛部不為0”這一條件，易得出m1或m2的錯誤結論2復數zabi(a，bR)是純虛數的充要條件為二者缺一不可若z(x21)2(x1)i為純虛數，則實數x的值為()A1B0C1D1或1解析：選A因為z為純虛數，所以(x21

6、)20.又x10，所以x1.1在2，i,0,85i，(1)i,0.618這幾個數中，純虛數的個數為()A0B1C2 D3解析：選Ci，(1)i是純虛數；2，0，0.618是實數；85i是虛數2以2i的虛部為實部，以i2i2的實部為虛部的復數是()A22i B22iCi D.i解析：選A2i的虛部為2，i2i22i，其實部為2，故所求復數為22i.3下列命題：若aR，則(a1)i是純虛數；若(x21)(x23x2)i(xR)是純虛數，則x1；兩個虛數不能比較大小其中正確命題的序號是_解析：當a1時，(a1)i0，故錯誤；若(x21)(x23x2)i是純虛數，則即x1，故錯；兩個虛數不能比較大小，

7、故對答案：4已知(3xy)(2xy)i(7x5y)3i，則實數x_，y_.解析：x，y是實數，根據兩個復數相等的充要條件，可得解得答案：5已知復數z(a25a6)i(aR)，試求：(1)實數a取什么值時，z為實數？(2)實數a取什么值時，z為虛數？(3)實數a取什么值時，z為純虛數？解：(1)當z為實數時，則當a6時，z為實數(2)當z為虛數時，則有即a1且a6.當a1且a6時，z為虛數(3)當z為純虛數時，則有不存在實數a使z為純虛數一、選擇題1若復數2bi(bR)的實部與虛部互為相反數，則b的值為()A2B.C D2解析：選D復數2bi的實部為2，虛部為b，由題意知2(b)，所以b2.2方

8、程1z40在復數范圍內的根共有()A1個 B2個C3個 D4個解析：選D由已知條件可得z41，即z21，故z11，z21，z3i，z4i，故方程有4個根3若復數zm21(m2m2)i為實數，則實數m的值為()A1 B2C1 D1或2解析：選D復數zm21(m2m2)i為實數，m2m20，解得m1或m2.4若復數(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是純虛數，則()Aa1 Ba1且a2Ca1 Da2解析：選C若此復數是純虛數，則得a1，所以當a1時，已知的復數不是純虛數5下列命題中，正確命題的個數是()若x，yC，則xyi1i的充要條件是xy1；若a，bR且ab，則aibi；若x2y20，則xy

9、0.A0 B1C2 D3解析：選A對，由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的實部和虛部，故是假命題；對，由于兩個虛數不能比較大小，故是假命題；是假命題，如12i20，但10，i0.二、填空題6設x，yR，且滿足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，則xy_.解析：因為x，yR，所以利用兩復數相等的條件有解得所以xy1.答案：17若log2(m23m3)ilog2(m2)為純虛數，則實數m_.解析：因為log2(m23m3)ilog2(m2)為純虛數，所以所以m4.答案：48已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，則a的值為_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：0三、解答題9當實數m為何值時，復數z(m22m)i為：(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？解：(1)當即m2時，復數z是實數(2)當m22m0，且m0，即m0且m2時，復數z是虛數(3)當即