1、24.1向量在幾何中的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的幾何問題及其他一些實際問題的過程.2.體會向量是一種處理幾何問題的有力工具.3.培養(yǎng)運算、分析和解決實際問題的能力知識鏈接1向量可以解決哪些常見的幾何問題？答(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點共線、三線共點等幾何問題(2)解決有關(guān)夾角、長度及參數(shù)的值等的計算或度量問題2用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？答(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系預(yù)習(xí)導(dǎo)引1向量在

2、平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，常用向量平行(共線)的等價條件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：abab0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，常常利用向量的夾角公式cos .(4)求線段的長度或證明線段相等，可利用向量的線性運算、向量模的公式|a|.2向量在解析幾何中的應(yīng)用設(shè)直線l的傾斜角為，斜率為k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，由直線斜率和正切函數(shù)的定義，可得ktan .如果知道直線的斜率k，則向量(a1，a2)一定與該直線平行這時向量(a1，a2)稱為這條直線的方向

3、向量如果表示向量的基線與一條直線垂直，則稱這個向量垂直該直線這個向量稱為這條直線的法向量即直線ykxb的方向向量為(1，k)，法向量為(k，1)；直線AxByC0的方向向量為(B，A)，法向量為(A，B)要點一平面幾何中的垂直問題例1如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AFDE.證明方法一設(shè)a，b，則|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，(2,1)，(1，2)因為(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.規(guī)律方法對

4、于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件(向量的數(shù)量積為0)，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式跟蹤演練1如圖，點O是ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點，滿足，求證：.證明O為外心，|.，()，()()|2|20，即0.故.要點二平面幾何中的長度問題例2如圖所示，四邊形ABCD是正方形，BEAC，ACCE，EC的延長線交BA的延長線于F.求證：AFAE.證明如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則A(1,1)，B(0,1)若設(shè)E(x，y)，則(x，y1)，(1，1)又，x(1)1(y1)0，xy10.又|，x2y220.由得或(舍)即E.又設(shè)F(x，1)

5、，由(x，1)和共線得：x0，得x2，F(xiàn)(2，1)，(1，0)，| 1|，AFAE.規(guī)律方法向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a(x，y)，則|a|.跟蹤演練2如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對角線BD2，求對角線AC的長解設(shè)a，b，則ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.1若M為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足()(2)0，則ABC為()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三

6、角形答案B解析由()(2)0，可知()0，設(shè)BC的中點為D，則2，故0，所以.又D為BC的中點，故ABC為等腰三角形2如圖，在圓O中，若弦AB3，弦AC5，則的值是()A8 B1C1 D8答案D解析取BC的中點D，連接AD、OD，則有ODBC，()，()()()(22)(5232)8，選D.3正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB，BC的中點，試求cosDOE的值解以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：，故cosDOE.即cosDOE的值為.4在ABC中，ABAC，D為AB的中點，E為ACD的重心，F(xiàn)為ABC的外心，證明：EFCD.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

7、系設(shè)A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，則D(，)，(a，)易知ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為(0，y)由|，得(yb)2(a)2y2，所以y，即F(0，)由重心坐標(biāo)公式，得E(，)，所以(，)所以(a)()()0，所以，即EFCD.1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明2在直線l：AxByC0(A2B20)上任取兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(R且0)也是直線l

8、的方向向量所以，一條直線的方向向量有無數(shù)多個，它們都共線同理，與直線l：AxByC0(A2B20)垂直的向量都叫直線l的法向量一條直線的法向量也有無數(shù)多個熟知以下結(jié)論，在解題時可以直接應(yīng)用(1)ykxb的方向向量為v(1，k)，法向量為n(k，1)(2)AxByC0(A2B20)的方向向量為v(B，A)，法向量為n(A，B)一、基礎(chǔ)達標(biāo)1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A2 B. C3 D. 答案B解析BC中點為D，| .2點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點O是ABC的()A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三

9、條中線的交點D三條高的交點答案D解析，()0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O為三條高的交點3已知點A(2,0)，B(0,0)，動點P(x，y)滿足x2，則點P的軌跡方程是()Ax2y21 Bx2y21Cy22x Dy22x答案D解析(2x，y)，(x，y)，則(2x)(x)y2x2，y22x.4已知平面向量a，b，c，|a|1，|b|2，|c|3，且a，b，c兩兩夾角相等，則|abc|等于()A. B6或C6 D6或答案D5過點A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直線方程為()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40答案A解析設(shè)P(x，y)為直線上一點，則a，即(x2

10、)2(y3)10，即2xy70.6過點(1,2)且與直線3xy10垂直的直線的方程是_答案x3y70解析設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點，直線3xy10的方向向量為(1,3)，由(x1，y2)(1,3)0得x3y70.7.如圖，已知點O是平行四邊形ABCD的中點，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且.求證：點E，O，F(xiàn)在同一直線上證明設(shè)m，n，由，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點，m(mn)mn，(mn)mmn.又O為和的公共點，故點E，O，F(xiàn)在同一直線上二、能力提升8已知非零向量與滿足0且，則ABC的形狀是()A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰(非等邊)三角形 D等邊三角形答案D解析由0

11、，得角A的平分線垂直于BC.ABAC.而cos，又，0，180，BAC60.故ABC為等邊三角形，選D.9在四邊形ABCD中，(1,2)，(4，2)，則四邊形的面積為()A. B2 C5 D10答案C解析因為在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，0，所以四邊形ABCD的對角線互相垂直，又|，|2，該四邊形的面積：|25.10已知曲線C：x，直線l：x6.若對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的點Q使得0，則m的取值范圍為_答案2,3解析由0知A是PQ的中點，設(shè)P(x，y)，則Q(2mx，y)，由題意得2x0,2mx6，解得2m3.11已知：如圖，AB是O的直徑，點P是O上任一點(不與

12、A，B重合)，求證：APB90.(用向量方法證明)證明連接OP，設(shè)向量a，b，則a且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即APB90.12三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC邊的中點，BEAD，延長BE交AC于F，連接DF.求證：ADBFDC.證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，設(shè)F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F點在AC上，則，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，F(xiàn)，(0,1)，又|cos cos ，cos ，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosF