1、2.2.2 頻率分布直方圖與折線圖庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué) 一、關(guān)于頻率分布直方圖的概念 由于頻率分布表數(shù)字較多，閱讀困難，為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表示出來，我們通常畫頻率分布直方圖.畫圖時(shí)，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示頻率與組距的比值.以每個(gè)組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫成矩形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.二、關(guān)于頻率分布直方圖的繪制方法 頻率分布直方圖是在頻率分布表的基礎(chǔ)上繪制而成的，它的前期工作就是準(zhǔn)確列出頻率分布表，然后在平面直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖，具體步驟如下：（1）求極差，即計(jì)算最大值與最小值的差.（2）決定組距和組數(shù). 組距與組數(shù)的確定沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，

2、需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn).太多或太少都不好，不利對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多. （3）決定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組.分組時(shí)，通常規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的，避免數(shù)據(jù)被重復(fù)計(jì)算.（4）列頻率分布表.一般分“分組”“頻數(shù)”“頻率”三列，最后一行是“合計(jì)”.注意頻數(shù)的合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)應(yīng)是1.（5）畫頻率分布直方圖. 建立直角坐標(biāo)系，圖中橫軸為分組，圖中的縱軸表示“頻率/組距”.各組數(shù)據(jù)以小長(zhǎng)方形表示，其中，小長(zhǎng)方形的寬為組距，小長(zhǎng)方形的高=，頻率=組距=小長(zhǎng)方體的面積.各小長(zhǎng)方形的面積總和為1. 由此可以看出，直方圖中

3、的各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)的各組的頻率.這樣頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小. 誤區(qū)警示 直方圖中小長(zhǎng)方形的高并不表示各組數(shù)據(jù)的頻率，而是頻率與組距之比，小長(zhǎng)方形的面積才是各組數(shù)據(jù)的頻率. 辨析比較 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切,但不夠直觀、形象,分析數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢(shì)不太方便，頻率分布直方圖形象、直觀，與頻率分布表相比較，頻率直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)的分布形狀，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示，說明直方圖丟失了一些信息.從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容.三、頻率分布折線圖與總體密度曲線1.頻率分布折線圖 把頻率分布直方圖

4、各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用連線連接起來，就得到頻率分布折線圖.為了方便看圖，一般習(xí)慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連，所以折線圖在橫軸上的左右兩個(gè)端點(diǎn)沒有實(shí)際意義.2.總體密度曲線 如果樣本容量越大，那么所分組數(shù)就越多，圖中表示的頻率分布就越接近總體在各小組內(nèi)所取值的個(gè)數(shù)與總數(shù)比值的大小，如果樣本容量不斷增大，那么分組的組距就不斷縮小，頻率分布直方圖就越來越接近總體的分布，頻率分布折線圖就變成了一條光滑曲線y=f(x),這條光滑曲線就叫總體密度曲線.總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)的取值規(guī)律，它能給我們提供更加精細(xì)的信息，是研究個(gè)體分布規(guī)律的重要依據(jù).典題熱題知識(shí)點(diǎn)一 有關(guān)頻率分布直方

5、圖的基本概念例1 已知圖2-2-1是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空：圖2-2-1（1）樣本數(shù)據(jù)落在10，14內(nèi)的頻率是_；（2）樣本數(shù)據(jù)落在6，10內(nèi)的頻數(shù)是_；（3）樣本數(shù)據(jù)落在2，6內(nèi)的頻率是_；（4）樣本數(shù)據(jù)落在14，18內(nèi)的頻率是_.思路解析：在直方圖里用面積表示頻率.（1）0.094=0.36.（2）0.084=0.32，0.32100=32.（3）0.024=0.08.（4）1-0.36-0.32-0.08=0.24.答案：（1）0.36 （2）32 （3）0.08 （4）0.24 誤區(qū)警示 本題應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）直方圖是用面積表示頻率；在直方圖中，所有

6、矩形的面積之和等于1.（2）頻率分布條形圖：與直方圖不同的是縱軸表示的是頻率.例2 連續(xù)拋擲一個(gè)骰子120次,得到1,2,3,4,5,6點(diǎn)的次數(shù)各為18,19,21,22,20,20.（1）試列出樣本的頻率分布表;（2）列出頻率分布條形圖;（3）估計(jì)拋擲不足4點(diǎn)的機(jī)率.思路分析：由于取值可按一定次序一一列出,可以用頻率分布表或頻率分布條形圖分析樣本.解：（1）頻率分布表如下：點(diǎn)數(shù)頻數(shù)頻率1180.152190.1583210.1754220.1835200.1676200.167合計(jì)1201.000（2）頻率分布條形圖如圖2-2-2.圖2-2-2（3）拋擲點(diǎn)數(shù)不足4點(diǎn)的機(jī)率是0.15+0.15

7、8+0.175=0.483. 巧解提示 （1）頻率分布條形圖是用條形高度來表示各個(gè)值的頻率的圖形.（2）本例中總體的不同取值很少,可一一列舉,通常稱離散型總體.知識(shí)點(diǎn)二 繪制頻率分布條形圖例3 為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5歲18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下：（單位：kg）56.569.56561.564.566.56464.57658.57273.556677057.565.56871756268.562.56659.563.564.567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762.5656971.57362

8、5876716663.55659.563.5657074.568.56455.572.566.5687657.56071.55769.57464.55961.5676863.5585965.562.569.57264.575.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對(duì)相應(yīng)的總體分布作出估計(jì).思路分析：按照樣本的頻率分布直方圖的制作方法和步驟.解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布：（1）求最大值與最小值的差. 在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差（又稱為極差）是76-55=21所得的差告訴我們，這組數(shù)

9、據(jù)的變動(dòng)范圍有多大.（2）確定組距與組數(shù). 如果將組距定為2，那么由212=10.5得組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)是合適的.于是組距為2，組數(shù)為11.（3）決定分點(diǎn). 根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是54.5，56.5），56.5，58.5），74.5，76.5）.（4）列頻率分布表.頻率分布表分組頻數(shù)頻率54.5，56.5）20.0256.5，58.5）60.0658.5，60.5）100.1060.5，62.5）100.1062.5，64.5

10、）140.1464.5，66.5）160.1666.5，68.5）130.1368.5，70.5）110.1170.5，72.5）80.0872.5，74.5）70.0774.5，76.5）30.03合計(jì)1001.00（5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方圖如圖2-2-3所示.圖2-2-3 由于圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個(gè)圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補(bǔ)充的作用.在得到了樣本的頻率后，就可以對(duì)相應(yīng)的總體情況作出估計(jì).例如可以估計(jì)體重在64.5，66.5） kg的學(xué)生最多，約占

11、學(xué)生總數(shù)的16%；體重小于58.5 kg的學(xué)生較少，約占8%等等. 方法歸納 1.一般地，列頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=全距/組數(shù)；（2）分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；（3）登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.2.一般地，畫頻率分布直方圖方法如下： 把橫軸分為若干段，每一段對(duì)應(yīng)一組的組距，然后以線段為底，作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距，作出一系列的矩形；每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖.問題探究思維發(fā)散探究 問題 我們?cè)谏钪薪?jīng)常用到頻率分布表、頻率分布直方圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率折線圖等等，請(qǐng)結(jié)

12、合如下的數(shù)據(jù)說明它們各自有什么樣的特點(diǎn)和聯(lián)系.從規(guī)定尺寸為25.40 mm的一堆產(chǎn)品中任取100件,測(cè)得它們的實(shí)際尺寸如下：25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.

13、3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39 探究思路：這些方法都可以表示樣本的分布情況，它們各有各的優(yōu)點(diǎn)，我們就可以結(jié)

14、合實(shí)例分別繪制這些圖表來體會(huì)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系. 探究過程：方法一：繪制頻率分布表頻數(shù)指出現(xiàn)的次數(shù),頻率指出現(xiàn)的次數(shù)與樣本容量的比值.這個(gè)圖就是頻率分布表,它能直觀地體現(xiàn)出樣本中數(shù)量指標(biāo)在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)的個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)及相應(yīng)的頻率.用這種方法來描述樣本的分布，相對(duì)來說數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確.分組頻數(shù)頻率25.235,25.265)10.0125.265,25.295)20.0225.295,25.325)50.0525.325,25.355)120.1225.355,25.385)180.1825.385,25.415)250.2525.415,25.445)160.1625.445,25.475)13

15、0.1325.475,25.505)40.0425.505,25.535)20.0225.535,25.565)20.02合計(jì)1001.00方法二：頻數(shù)分布直方圖圖2-2-4就是頻數(shù)分布直方圖,事實(shí)上它是把頻率分布表中的一部分(頻數(shù)那一部分)畫出了直方圖而已,它的橫軸是產(chǎn)品尺寸(也就是某一指標(biāo)),縱軸是出現(xiàn)的次數(shù)即頻數(shù).這種方法將枯燥的數(shù)據(jù)形象化地表現(xiàn)為圖形，其最大的特點(diǎn)就是直觀，可以很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體趨勢(shì).圖2-2-4方法三：頻率分布直方圖圖2-2-5就是頻率分布圖,從作圖的過程可以知道在圖2-2-4中,每個(gè)小矩形的寬度為Vxi(分組的寬度),高為(其中fi為第i個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)的頻率),小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi,通常我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖,圖的縱坐標(biāo)為頻率與組距的比值,橫軸為研究對(duì)象的某一指標(biāo)(在本圖中指的是產(chǎn)品尺寸). 從圖2-2-5中可以得到產(chǎn)品的尺寸落在各個(gè)尺寸區(qū)間的頻率的大小,這個(gè)頻率的值就是該產(chǎn)品尺寸區(qū)間所對(duì)應(yīng)的頻率直方圖的面積,圖2-2-5中所有小矩形的面積之和,也就是產(chǎn)品尺寸落在各個(gè)尺寸區(qū)間內(nèi)的頻率之和,等于1.由剛才分析可知,在樣本的頻率分布圖中,隨著樣本容量的不斷擴(kuò)大,其分布越來越接近總體分布,當(dāng)樣本容量無限加大,而組距無限縮小時(shí),頻率分布直方圖的上方將演變成一條光滑的曲線.圖2-2-5 它與頻數(shù)分布直方圖的區(qū)別在于縱坐標(biāo)的意義不同，在