1、第二十二講正弦定理和余弦定理,回歸課本,1.正弦定理 (1)內(nèi)容: =2R(其中R為ABC外接圓的半徑). (2)正弦定理的幾種常見變形 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (其中R是ABC外接圓半徑),asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; a:b:c=sinA:sinB:sinC.,2.余弦定理 (1)余弦定理的內(nèi)容 c2=b2+a2-2bacosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.,(2)余弦定理的變形,(3)勾股定理是余弦定理的特殊情況 在余弦定理表達式中分別令A(yù)BC為90,則上述關(guān)系式分別化

2、為:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.,3.解斜三角形的類型 在ABC中,已知a、b和A時,解的情況如下:,4.測距離的應(yīng)用,5.測高的應(yīng)用,6.仰角俯角方位角視角 (1)在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角,在水平線下方的角叫做俯角,如下左圖所示.,(2)如上右圖所示,P點的方向角為南偏東60. (3)由物體兩端射出的兩條光線,在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角.,7.ABC的面積公式有,考點陪練,答案:C,答案:C,答案:D,4.在ABC中,角A,B,C的對邊為a,b,c,若 B=45,則角A等于( ) A.30B.30或105 C.60D.60或120,答

3、案:D,5.(2010湖南)在ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.若C=120, a,則( ) A.ab B.ab C.a=b D.a與b的大小關(guān)系不能確定 解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b= a,故選A. 答案:A,類型一正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的邊角關(guān)系,根據(jù)題目的實際情況,我們可以選擇其中一種使用,也可以綜合起來運用. 2.在求角時,能用余弦定理的盡量用余弦定理,因為用正弦定理雖然運算量較小,但容易產(chǎn)生增解或漏解.,3.綜合運用正余弦定理解三角形問題時,要注意以下關(guān)系式的運用:A+B+C=,s

4、in(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-,【典例1】在ABC中,若B=30, AC=2,求ABC的面積. 解解法一:根據(jù)正弦定理有 sinC= 由ABAC知CB,則C有兩解.,(1)當(dāng)C為銳角時,C=60,A=90,由三角形面積公式得: S= ABACsinA= 2sin90= . (2)當(dāng)C為鈍角時,C=120,A=30,由三角形面積公式得: S= ABACsinA= ABC的面積為 或,解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2 |BC| |BC|2-6|BC|+8=0,|BC|=2或

5、|BC|=4. (1)當(dāng)|BC|=2時,S= |AB|BC|sinB (2)當(dāng)|BC|=4時,S= |AB|BC|sinB ABC的面積為 或,反思感悟本題主要考查正弦定理三角形面積公式及分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時也考查了三角函數(shù)的運算能力及推理能力.,類型二判斷三角形的形狀 解題準(zhǔn)備:1.這類題型主要是利用正余弦定理及其變形,把題設(shè)條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊的簡單關(guān)系,從而進行判斷.,2.判斷三角形的形狀的思路大致有兩種:一是化邊為角,以角為著眼點,利用正余弦定理及變形,把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)之間的關(guān)系,走三角變形之路;二是化角為邊,以邊為著眼點,利用正余弦定理及變形,把已知條件轉(zhuǎn)化為

6、邊的關(guān)系,走代數(shù)變形之路.在運用這些方法對等式變形時,一般兩邊不約去公因式,應(yīng)移項提公因式,以免產(chǎn)生漏解.,【典例2】在ABC中,a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),試判斷該三角形的形狀. 分析利用正、余弦定理進行邊角互化,轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系.,解解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B). 得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B) 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2B

7、cosBsinA, 即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.,0A,0B,sin2A=sin2B 2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B= ABC是等腰三角形或直角三角形.,解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得 a2b =b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,a=b或c2=a2+b2, ABC為等腰三角形或直角三角形.,反思感悟判斷三角形形狀主要有如下兩條途徑: (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三

8、角形的形狀; (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用A+B+C=這個結(jié)論.在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.,類型三測量高度和角度問題 解題準(zhǔn)備:1.在測量高度的問題中,要正確理解仰角俯角和坡角坡度等特定的相關(guān)概念,畫出準(zhǔn)確的示意圖. 2.(1)仰角俯角:在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角. (2)坡角坡度:坡面與水平面的夾角叫做坡角;坡面的豎直高度與水平寬度的比值叫做坡度.,3.測量角度問題,首先要明確方位

9、角方向角的含義:指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的090的角叫做方向角:從指正北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角度叫做方位角. 4.方向角是解三角形實際問題中經(jīng)常出現(xiàn)的.目標(biāo)方向角一般可用“x偏x多少度”來表示,這里第一個“x”是“北”或“南”,第二個“x”是“東”或“西”.如北偏東25等.,5.在解此類應(yīng)用題時,分析題目條件,理清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)鍵最重要的一步.通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題中也要注意體會正余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點.,【典例3】在湖面上高h(yuǎn) m處,測得天空中一朵云的仰角為,測得云在湖中之影的俯角為. 試證云距湖面的高

10、度為,證明如圖,設(shè)湖面上高h(yuǎn) m處為A,測得云C的仰角為,測得C在湖中之影D的俯角為,CD與湖面交于M,過A的水平線交CD于E.,反思感悟在測量高度時,要理解仰角俯角的概念.仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi),視線與水平線的夾角,當(dāng)視線在水平線之上時,稱為仰角;當(dāng)視線在水平線之下時,稱為俯角.,解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是: 準(zhǔn)確理解題意,分清已知與所求; 依題意畫出示意圖; 分析與問題有關(guān)的三角形; 運用正余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題的答案; 注意方程思想的運用; 要把立體幾何知識與平面幾何知識綜合運用.,探究如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處 海里的B處有一艘走私船.在A

11、處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以 海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時的速度,從B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.,解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時,才能最快截獲(在D點)走私船,則CD= t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2ABACcosA, ( )2+22-2( )2cos120=6, BC= 海里. 又 sinABC= ABC=45,B點在C點的正東方向上, CBD=90+30=120.,在BCD中,由正弦定理,得 sinBCD= BCD=30,緝私船沿

12、北偏東60的方向行駛. 又在BCD中,CBD=120,BCD=30, D=30,BD=BC,即 t= 小時15分鐘. 緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.,評析應(yīng)用解三角形的知識解決實際問題的基本步驟是:(1)根據(jù)題意,抽象或者構(gòu)造出三角形;(2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊和角的對應(yīng)關(guān)系;(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解;(4)給出結(jié)論.,錯源一因忽視邊角關(guān)系而致錯 【典例1】在ABC中,已知A=60, ,b=2,則角B=_. 錯解在ABC中,由正弦定理,可得 sinB= 所以B=45或B=135.,剖析上述錯解

13、中的錯誤十分明顯,若B=135,則A+B=195180,故B=135不適合題意,是個增解.這個增解產(chǎn)生的根源是忽視了ab這一條件,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系,角B應(yīng)小于角A,故B=135應(yīng)舍去.,正解在ABC中,由正弦定理可得 因為ab,所以AB,所以B=45. 答案45 評析已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角時,一定要注意根據(jù)邊角關(guān)系,確定適合題意的角是一個還是兩個.,錯源二因忽視邊角關(guān)系而致錯 【典例2】在ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么ABC是() A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形,剖析上述錯解忽視了滿足sin2A=sin2B的另一

14、個角之間的關(guān)系:2A+2B=180.,答案D,評析判斷三角形形狀時,一定要把邊或角的關(guān)系考查周全,避免遺漏.,錯源三因忽視角的范圍而致錯 【典例3】在ABC中,若A=2B,求 的取值范圍. 錯解在ABC中,由正弦定理,可得 因為0B,所以-1cosB1, 所以-22cosB2,又 , 所以02cosB2, 所以 的取值范圍是(0,2).,剖析上述錯解忽視了根據(jù)已知條件A=2B進一步考查角B的取值范圍. 正解在ABC中,由正弦定理,可得 因為A=2B,A+B,所以 所以 cosB1,所以12cosB2, 所以 的取值范圍是(1,2).,評析對于三角形的內(nèi)角,一定要注意根據(jù)三角形內(nèi)角和定理準(zhǔn)確限定

15、角的取值范圍.,錯源四因忽視隱含條件而致錯 【典例4】在ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角為120,求最大邊長. 錯解由 可得b-c=4, 所以abc,即最大邊長為a, 所以A=120, 因為b=a-4,c=b-4=a-8,所以在ABC中由余弦定理,得 解得a=14或a=4, 所以最大邊長為4或14. 剖析上述錯解忽視了已知條件a=4+b中隱含的a4這一要求.,正解由 可得b-c=4, 所以abc,即最大邊長為a, 所以A=120, 因為b=a-4,c=b-4=a-8, 所以在ABC中由余弦定理,得,解得a=14或a=4, 因為a=4+b,所以a4, 所以最大邊長為14.,評析對于

16、題目中的隱含條件,尤其是范圍條件,一定要善于挖掘.,錯源五忽視內(nèi)角和定理的限制,答案A,技法一方程思想 【典例1】如圖,D是直角ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記CAD=,ABC=. (1)證明:sin+cos2=0; (2)若AC= ,求的值.,方法與技巧第(2)問借助正弦定理得到“sin= sin”,結(jié)合第(1)問的結(jié)論消去角,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin的一元二次方程,通過解方程求得.此題靈活運用了消元思想和方程思想.,技法二分類討論思想 【典例2】如圖,有兩條相交成60的直線xx,yy,其交點為O,甲、乙兩輛汽車分別在xx,Oy上行駛,起初甲離O點30 km,乙離O點10 km,后來兩車均

17、用60 km/h的速度,甲沿xx方向,乙沿yy方向行駛(設(shè)甲、乙兩車最初的位置分別為A,B).,(1)起初兩車的距離是多少? (2)用包含t的式子表示,t小時后兩車的距離是多少?,解(1)由余弦定理,知 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60 =302+102-23010 =700. 故AB= (km). 即起初兩車的距離是,(2)設(shè)甲乙兩車t小時后的位置分別為P,Q,則AP=60t,BQ=60t. 當(dāng)0t 時,POQ=60. 此時OP=30-60t,OQ=10+60t. 由余弦定理,得 PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60 =10800t2-3600t+700.,當(dāng) 時,POQ=120. 此時OP=60t-30,OQ=10+60t. 由余弦定理,得 PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120 =10800t2-3600t+700. 綜上知PQ2=10800t2-3600t+700. 則 故t小時后兩車的距離是,方法與技巧本題是一個解三角形的實際問題,由于兩車的行駛方向?qū)е乱設(shè)點為起點的兩線段的夾角發(fā)生變化,因此必須對兩種情況進行分類討論.,技法三數(shù)形結(jié)合思想 【典例3】在斜度一定的山坡上的