1、二用數(shù)學歸納法證明不等式,第四講用數(shù)學歸納法證明不等式,學習目標 1.會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式. 2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式. 3.體會歸納猜想證明的思想方法.,問題導學,達標檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導學,知識點用數(shù)學歸納法證明不等式,思考1用數(shù)學歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？,答案(1)歸納奠基：驗證初始值nn0. (2)歸納遞推：在假設(shè)nk(kn0，kN)成立的前提下，證明nk1時問題成立.,思考2證明不等式與證明等式有什么不同？,答案證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”.,梳理(1)利用數(shù)學歸納法證明不等式 在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由nk

2、時命題成立，推導nk1命題成立時，常常要與其他方法，如 、 、 、 等結(jié)合進行. (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，則有 .,比較法,分析法,綜合法,放縮法,(1x)n1nx,(3)貝努利不等式的推廣 事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)時， 仍有類似不等式成立. 當是實數(shù)，并且滿足1或者0時，有(1x)1x(x1)； 當是實數(shù)，并且滿足01時，有(1x)1x(x1).,題型探究,類型一數(shù)學歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式,證明,(2)假設(shè)當nk(kN，k2)時，命題成立，,即當nk1時，命題成立. 由(1)(2)可知，不等式對一切nN

3、，n2都成立.,反思與感悟在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學歸納法證明不等式問題時常用的方法之一.,左邊右邊，不等式成立. (2)假設(shè)當nk(k1，kN)時，不等式成立，,則當nk1時，,所以當nk1時，不等式成立.,由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立.,證明,類型二利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式,當n2時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.,解答,證明,證明當n1時，,假設(shè)當nk(k1)時，不等式成立，,由可知，對任意nN不等式都成立.,反思與感悟(1)首先掌握好數(shù)學歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ). (2)此類題型

4、通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學歸納法證明.,證明,當nk1時，,達標檢測,1.用數(shù)學歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步驗證 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4,1,2,3,4,解析由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗證n3是否成立.,解析,答案,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,解析當nk1時，目標不等式為,解析,答案,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,又aN，正整數(shù)a的最大值為25.,(1)當n1時，不等式顯然成立.,1,2,3,4,當nk1時，有,1,2,3,4,即nk1時不等式也成立.,數(shù)學歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時，由nk到nk1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時的假設(shè)，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一. (