1、第2章 電路的等效變換,2.1 電阻的串、 并、 混聯(lián) 2.2 形和Y形電阻電路的等效變換 2.3 兩種電源模型的等效變換 *2.4 受控源及其等效變換 小結 習題2,2.1 電阻的串、并、混聯(lián),2.1.1 電阻的串聯(lián) 若電路中有兩個或兩個以上的電阻首尾相接、中間沒有分支，在電源的作用下，通過各電阻的電流都相同，則稱這種連接方式為電阻的串聯(lián)。 圖2.1(a)為三個電阻串聯(lián)的電路。 設電壓和電流的參考方向如圖2.1(a)中所示，則根據(jù)KVL， 有,UU1+U2+U3,(2 - 1),又由歐姆定律，可得,由式(2-1)及式(2-2)可得,U(R+R+R)I,(2-3),式(2-3)表明了圖2.1(

2、a)所示電路在端鈕a、b上電壓U與電流I的關系，若用一個電阻,RR+R+R,(2-4),來替代圖2.1(a)中三個電阻之和， 如圖2.1(b)所示， 則在對外端鈕a、b上 U與I的關系不變。換言之，它們對于外電路具有相同的效果， 因此將這種替代稱為等效替代或等效變換， 電阻R稱為R1、R、R串聯(lián)的等效電阻。 稱圖2.1(b)為圖2.1(a)的等效電路。很顯然，當有n個電阻串聯(lián)時，其等效電阻等于n個電阻之和。,圖 2.1 電阻串聯(lián)及其等效電路,在串聯(lián)電路中，若總電壓U為已知， 于是根據(jù)式(2-3)和式(2-4)，各電阻上的電壓可由下式求出：,(2-5),式(2-5)為串聯(lián)電阻的分壓公式；由此可得

3、,UUU =RRR,上式說明：串聯(lián)電阻上的電壓分配與電阻大小成正比。,順便指出，使用分壓公式時，應注意各電壓的參考極性。 若給式(2-1)兩邊各乘以電流I， 則得,UI=UI+UI+UI P=P+P+P,即,上式表明，等效電阻所消耗的功率等于各串聯(lián)電阻消耗的功率之和。 各電阻消耗的功率可以寫成如下形式：,P1=I2R1， P2=I2R2 ， P3=I2R3,故有,P P P = R R R,上式說明： 電阻串聯(lián)時， 各電阻消耗的功率與電阻大小成正比。,例 2.1 有一量程為100mV，內阻為1k的電壓表。 如欲將其改裝成量程為U1=1V和U2 =10V 的電壓表，試問應采用什么措施?,圖 2.

4、2 例2.1圖,解 根據(jù)串聯(lián)電阻分壓概念，用一個電阻與電壓表相串聯(lián)， 可以分去所擴大部分的電壓。由于要求擴大為兩個量程，故應串入兩個電阻(也可以說是將一個電阻一分為二)， 其原理如圖2.2所示， 各量程標注在相應的端鈕上。 圖中Rg是電壓表的內阻，Ug是其量程，R、R為分壓電阻。 當用U1量程時，U端鈕斷開，此時R相當于沒有接入，分壓電阻只有R；而當用U量程時，U端鈕斷開，分壓電阻應為R + R2 。,根據(jù)串聯(lián)電阻分壓關系可得,則,所以,R2=99-R1=90 k,2.1.2 電阻的并聯(lián) 若電路中有兩個或兩個以上的電阻， 其首尾兩端分別連接于兩個節(jié)點之間，每個電阻兩端的電壓都相同，則稱這種連接

5、方式為電阻的并聯(lián)， 如圖2.3(a)為三個電阻并聯(lián)的電路。,圖 2.3 電阻并聯(lián)及其等效電路,設電壓和電流的參考方向如圖2.3(a)中所示，則根據(jù)KCL，有,I=I+I+I,(2-6),又由歐姆定律，可得,(2-7),上式中G、G、G分別為各電阻的電導。由式(2-6)和式(2-7)可得,I=(G+G+G)U,(2-8),若用一個電導,G=G+G+G,(2-9),來替代圖2.3(a)中三個電導并聯(lián)之和，如圖2.3(b)所示， 則在對外端鈕a、b上U與I的關系不變。換言之，它們對于外電路具有相同的效果，則電導G稱為G、G、G相并聯(lián)的等效電導。 稱圖2.3(b)為圖2.3(a)的等效電路，很顯然：當

6、有n個電導并聯(lián)時， 其等效電導等于n個電導之和。,若將式(2-9)用電阻形式表示， 則有,(2-10),其中， 為R、R、R并聯(lián)后的等效電阻。,在并聯(lián)電路中，若總電流I為已知，于是根據(jù)式(2-8)和式(2-9)， 各電導支路的電流由下式求出：,(2-11),式(2-11)為并聯(lián)電導的分流公式， 由此可得,III=GGG,上式說明，并聯(lián)電導中電流的分配與電導大小成正比， 即與電阻成反比。若給式(2 - 6)兩邊各乘以電壓U，則得,UI=UI+UI+UI P=P+P+P,即,上式表明，等效電導中所消耗的功率等于各并聯(lián)電導消耗的功率之和。,各電導所消耗的功率可以寫成如下形式：,故有,PPP=GGG,

7、上式說明，各并聯(lián)電導所消耗的功率與該電導的大小成正比， 即與電阻成反比。 由以上討論可知，在串聯(lián)電路中用電阻方便， 而在并聯(lián)電路中用電導比較方便。但由于電阻元件習慣于用電阻表示，因此式(2-10)也經常應用， 特別是兩個電阻并聯(lián)的情況更經常遇到。通常兩個電阻并聯(lián)時記作RR。 其等效電阻可用下式求出：,(2-12),此時的分流公式為,(2-13),順便指出，使用分流公式時， 應注意各電流的參考方向。,例 2.2 有一量程為100 A，內阻為1.6 k的電流表，如欲將其改裝成量程I1=500A和I2=5mA的電流表。試問應采取什么措施? 解 根據(jù)并聯(lián)電阻分流的概念，用一個電阻與電流表并聯(lián)， 可以分

8、去所擴大部分的電流，而使流過電流表的電流始終不超過100A。由于要擴大為兩個量程，故應將并入的電阻分成兩個部分(即由兩個電阻串聯(lián)而成)，其原理如圖2.4所示，各量程標注在相應的端鈕上。,圖2.4 例2.2圖,圖中Rg為電流表內阻，Ig為其量程，R1、R2為分流電阻。先求出量程I1的分流電阻，此時，I2端鈕斷開，分流電阻為R1+ R2 ， 根據(jù)并聯(lián)電阻分流關系，有,所以,當量程I2=5mA時，分流電阻為R2，而R1與Rg相串聯(lián)，根據(jù)并聯(lián)電阻分流關系， 有,故,R1=400-40=360 。,2.1.3 電阻的混聯(lián) 既有電阻串聯(lián)又有電阻并聯(lián)的電路稱為電阻混聯(lián)電路。 對于電阻混聯(lián)電路，可以應用等效的

9、概念， 逐次求出各串、 并聯(lián)部分的等效電路，從而最終將其簡化成一個無分支的等效電路，通常稱這類電路為簡單電路；若不能用串、并聯(lián)的方法簡化的電路， 則稱為復雜電路。,例 2.3 求圖2.5(a)所示電路中的電流I和電壓Uab。,圖 2.5 例2.3圖,解 對此種電路的分析方法可歸納為三步： 設電位點；畫直觀圖；利用串、并聯(lián)方法求等效電阻。據(jù)此可將原電路改畫成如圖2.5(b)所示，則,由分流關系，有,或,例 2.4 求圖2.6(a)所示電路中a、b兩端的等效電阻。,解 按三步處理法逐步化簡，可得圖2.6(b)、 (c)、 (d)，由此可得,Rab=2+3=5,圖 2.6 例2.4的電路,例2.5

10、求圖2.7所示電路中R4上的功率P。 解ab端口的等效電阻,由分流關系可知,圖2.7 例2.5圖,練 習 與 思 考,2.1-1 求圖2.8所示各電路中的等效電阻Rab。,圖 2.8 題2.1-1圖,2.1-2 有一個120 V電源與100 電阻串聯(lián)的電路， 為了使電阻上的功率不超過100W， 問至少應再串入多大的電阻R ? 電阻R上所消耗的功率為多少? 2.1-3 3A電流源通過2電阻和一未知電阻R相并聯(lián)的電路， 要使流過電阻R的電流為2/3A，試問R取值應為多少? 本節(jié)內容對應習題為2.12.7。,. 形和Y形電阻電路的等效變換,在復雜電路中有一種無源三端電路, 如圖2.9所示， 其中圖(

11、a)為形連接，稱為形電路，圖(b)為Y形連接，稱為Y形電路。 形或Y形電路通常是復雜電路中的一部分， 例如對角線上接有電阻的電橋電路（見圖2.10(a)）。對這種電路直接進行求解是比較麻煩的。 而在一定條件下， 它們之間可以相互進行等效變換，經過變換之后，并不影響電路中未經變換部分的電壓和電流，但可以用串、并聯(lián)的方法求其等效電阻，從而大大簡化了電路的計算。,圖 2.9 無源三端電路,形和Y形電路都是通過三個端鈕與外部相連，它們之間的等效變換則應滿足外部特性不變的原則，即必須使兩種電路的任意對應端加相同的電壓時，流經任一對應端的電流也相同，也就是必須使任意兩對應端鈕間的電阻相等。對上述原則具體地

12、說， 就是當?shù)谌蒜o斷開時，兩種電路中每一對相對應的端鈕間的總電阻應當相等。 例如圖2.9(a)和(b)中，當端鈕3斷開時， 兩種電路中端鈕1、 2間的總電阻應相等， 即,(2-14),同理有,(2-15),(2-16),將形電路變換成Y形電路，就是已知 形電路中的三個電阻R12、 R23 、 R31 ，待求量為等效Y形電路中的三個電阻R1、 R2 、 R3 。為此，只需將式(2-14)、 (2 - 15)和式(2-16)相加后除以2， 可得,(2-17),從式(2-17)中分別減去式(2-15)、 (2-16)和式(2-14)， 可得,(2-18),(2-19),(2-20),以上三式就是形

13、電路變換為等效Y形電路的公式。 三個公式可概括為,當形電路的三個電阻相等時，即,R12=R23=R31=R,則,(2-21),將Y形電路變換成形電路，就是已知Y形電路中的三個電阻R、R、R，待求量為等效形電路中的三個電阻R、 R、R。為此，只需將式(2-18)、 (2-19)和式(2-20)兩兩相乘后再相加， 經化簡后可得,(2-22),將式(2-22)分別除以式(2-20)、 (2-18)和式(2-19)， 可得,(2-23),(2-24),(2-25),以上三式就是Y形電路變換為等效形電路的公式。 三個公式可概括為,當Y形電路的三個電阻相等時， 即,R=R=R=RY,(2-26),則 R1

14、2=R23=R31=3RY 。 應當指出， 上述等效變換公式僅適用于無源三端電路。,例 2.6 在圖2.10(a)所示電路中，已知R=10, R=30, R=22, R=4, R=60，U=22V, 求電流I。,圖 2.10 例2.6圖,解 這是一個電橋電路，既含有形電路又含有Y形電路，因此等效變換方案有多種，現(xiàn)僅選一種，如圖2.10(b)所示。 根據(jù)式(2-18)、 (2-19)和式(2-20)可得,再用串、并聯(lián)的方法求出等效電阻Rbd,則電流,例 2.7 求圖2.11(a)所示電路中a、b兩端的等效電阻。,圖2.11 例2.7圖,解 將三個1 電阻組成的Y形連接等效變換成形連接，如圖(b)

15、所示，故可得,練 習 與 思 考,2.2-1 求圖2.12所示電路中的等效電阻Rab。,圖2.12 題2.2-1圖,2.2-2 利用電路的對稱性求圖2.13所示電路中的等效電阻Rab。,圖2.13 題2.2-2圖,2.2-3 如果要將圖2.14(a)所示電路，利用Y形等效變換成圖2.14(b)所示電路，從何處著手比較方便? 為什么?,圖2.14 題2.2-3圖,. 兩種電源模型的等效變換,第1章已經介紹了電壓源和電流源, 我們知道, 電壓源模型是電壓源和電阻串聯(lián)， 而電流源模型是電流源和電阻并聯(lián)。 如圖2.15所示。,圖 2.15 兩種電源模型 (a) 電壓源模型； (b) 電流源模型,為了方

16、便電路的分析和計算, 往往需要將電壓源模型與電流源模型進行等效互換。 所謂等效互換是指在兩種電源模型的外部特性完全相同的原則下進行的相互變換。 對于圖2.15(a)，根據(jù)KVL, 有,U=USRI,(2-27),對于圖2.15(b), 根據(jù)KCL, 有,即,U=RSIIS-RSII,(2-28),比較式(2-27)和式(2-28)， 若,(2-29),則這兩種電源模型的外部電壓、電流關系完全相同，因此，對外電路而言, 它們是等效的。 式(2-29)也可以寫成另一種形式， 即,(2-30),式(2-29)和式(2-30)是兩種電源模型等效的條件。 在滿足上述條件的情況下，兩種電源模型可以相互變換

17、，而對外電路不會產生任何影響。這里需要指出的是：兩種電源模型進行等效變換時，其參考方向應滿足圖2.15的關系，即IS的參考方向由US的負極指向正極。 兩種電源模型之間的相互變換只是其外部等效， 而對電源的內部是不等效的。例如，在開路狀態(tài)下， 電壓源既不產生功率，內阻也不消耗功率，而電流源則產生功率，并且全部被內阻所消耗。,理想電壓源與理想電流源不能相互等效變換。 即理想電壓源不存在與之相對應的等效電流源，這是因為對理想電壓源(RS=0)而言, 其端口短路電流ISC=，這是沒有意義的。同樣理想電流源也不存在與之對應的等效電壓源， 這是因為對理想電流源(RS =)而言，其端口開路電壓UOC=，這也

18、是沒有意義的。 故兩者之間不存在等效變換的條件。 最后需要說明， 兩種電源模型的等效變換可以進一步理解為含源支路的等效變換, 即一個電壓源與電阻相串聯(lián)的組合和一個電流源與電阻相并聯(lián)的組合也可以相互等效變換, 而這個電阻不一定就是電源的內阻。,例 2.8 將圖2.16(a)所示電路簡化成電壓源和電阻的串聯(lián)組合。,解 利用電源的串、并聯(lián)和等效變換的方法， 按圖2.16(b)、 (c)、 (d)所示的順序逐步化簡， 便可得到等效電壓源和電阻的串聯(lián)組合。,圖2.16 例2.8圖,例 2.9 如圖2.17(a)所示電路，求電位A。,圖 2.17 例2.9圖,解 對于有幾個接地點的電路，可以將這幾個接地點

19、用短路線連接在一起，這樣做以后與原電路是等效的。 然后應用電阻串、并聯(lián)及電源等效變換原理可將圖2.17(a)依次等效變換為圖2.17(b)、 (c) ，由圖2.17(c)可得,故,A=4I=42.5=10V,例 2.10 試求圖2.18(a)所示電路的電流I和I。,圖 2.18 例2.10圖,解 根據(jù)電源模型的等效變換， 可將圖2.18(a)依次變換為圖2.18(b)、(c)、 (d)，根據(jù)圖2.18(d)可得,由圖2.18(b)及分流關系得,練 習 與 思 考,2.3-1 兩種電源模型等效互換的條件是什么? 如何確定等效后的US和IS的參考方向? 2.3-2 將圖2.19所示各電路化成單個電

20、源的電路。,圖 2.19 題2.3-2圖,2.3-3 求圖2.20所示電路中的電流I及圖(b)中的Uab。,圖 2.20 題2.3-3圖,*. 受控源及其等效變換,第1章所介紹的電壓源和電流源, 其電壓和電流都是定值或是確定的時間函數(shù)，通常把這類電源稱為獨立源。 電源除獨立源外， 還有受控源。 受控源的電壓或電流不是獨立的， 而是受電路中某支路的電壓或電流控制的, 因此，受控源也稱為非獨立源。其符號用菱形代替圓形。 受控源有輸入和輸出兩對端鈕。輸出端的電壓或電流受輸入端施加的電壓或電流的控制，按照控制量和輸出量(即被控制量)的組合情況， 理想受控源電路應有四種，如圖2.21所示。,圖 2.21

21、 四種理想受控源 (a) VCVS; (b) CCVS; (c) VCCS; (d)CCCS,圖2.21(a)為壓控電壓源(VCVS)，電壓u為其控制量，u為被控制量；圖2.21(b)為流控電壓源(CCVS)，電流i為其控制量，i為被控制量；圖2.21(c)為壓控電流源(VCCS), 電壓u為其控制量, gu為被控制量；圖2.21(d)為流控電流源(CCCS) , i為被控制量。受控源符號用菱形表示，以與獨立源的符號相區(qū)別。、g和為相關控制系數(shù)，其中=u2/u1稱為電壓放大系數(shù)，無量綱；=u2/i1 稱為轉移電阻， 具有電阻量綱；g=i2/u1稱為轉移電導，具有電導量綱；=i2/i1稱為電流放

22、大系數(shù)，無量綱。當這些控制系數(shù)為常數(shù)時，被控制量與控制量成正比， 則稱為線性受控源。我們今后所提到的受控源均指線性受控源。,對理想受控源可以從兩方面去理解：從輸入端來看，電壓控制的受控源， 其輸入電阻為無限大，而電流控制的受控源， 其輸入電阻為零； 從輸出端來看， 受控電壓源的內阻為零, 而受控電流源的內阻為無限大。實際受控源的輸入電阻和內阻均為有限值。 四種實際受控源如圖2.22所示。,圖 2.22 四種實際受控源 (a) VCVS; (b) CCVS; (c) VCCS; (d)CCCS,受控源實際上是有源器件(晶體管、 電子管、 場效應管、 運算放大器等)的電路模型。 例如圖2.23(a

23、)所示的晶體管共射組態(tài)電路， 在低頻小信號情況下的簡化等效電路就可用圖2.23(b)所示的CCCS來表征， 其輸出特性反映了基極電流ib對集電極電流ic的控制作用，其數(shù)值關系為ic=ib，其中為晶體管共射組態(tài)的電流放大系數(shù)。 圖中ri為晶體管的輸入電阻。,圖 2.23 受控源舉例,應當指出，受控源與獨立源雖然同為電源，但它們卻有著本質的不同。獨立源在電路中直接起“激勵”作用，因為有了它才能在電路中產生電壓和電流(可稱為響應)； 而受控源則不是直接起激勵作用，它的電壓或電流反而受電路中其它電壓或電流的控制。 控制量存在， 則受控源就存在， 當控制量為零時， 則受控源也為零。 因此它僅表示這種“控

24、制”與“被控制”的關系， 是一種電路現(xiàn)象而已。 同獨立源一樣，受控源也可以進行等效變換，當然這種等效變換也僅限于實際受控源之間(即理想受控源也不存在等效變換的條件)， 其等效條件及其計算也和獨立源完全相同。但應特別注意的是，在對電路進行化簡時，不要把含控制量的支路消除掉。,例 2.11 試求圖2.24所示電路中的US。 解 0.2I電流源(CCCS)與4電阻相串聯(lián)，流經4電阻的電流為,此電流應與CCCS的電流相等，即,0.2=0.2I,所以,根據(jù)KCL有,所以,根據(jù)KVL有,所以,圖2.24 例2.11圖,例 2.12 化簡圖2.25所示的電路。,圖 2.25 例2.12圖,解 將0.4I與1

25、k并聯(lián)的受控電流源等效變換成400I與1k 相串聯(lián)的受控電壓源，如圖2.25(b)所示，其中U與I的關系為 U = 400I+2000I+16 = 1600I+16 令上式中的I=0，則U=16就是電壓源的開路電壓UOC，該電壓源的內阻為,據(jù)此關系式可得到等效電路如圖2.25(c)所示。,例 2.13 求圖2.26(a)所示電路的輸入電阻Ri。,圖 2.26 例2.13圖,解 由于電路中含有受控源， 不能直接應用電阻串、并聯(lián)的方法進行化簡，因此可以設想在入口兩端施加一個電壓源US， 則會產生端鈕電流IS，如圖2.26(b)所示。故Ri可由下式計算：,對于圖2.26(b)，有,則,Ri為負值，意

26、味著Ri所消耗的功率為負，說明該電路是向外電路提供能量的。,例 2.14 求圖2.27(a)所示電路中的電流I1及電壓U。,圖 2.27 例2.14圖,解 將圖2.27(a)電路等效變換成圖2.27(b)所示電路，根據(jù)圖2.27(b)所示電路, 于是有,解得I1=2A，所以U=3I1=6 V。,練 習 與 思 考,2.4-1 求圖2.28所示電路中的輸入電阻Rab。 2.4-2 求圖2.29所示電路中的輸入電阻Rab 。 2.4-3 在圖2.30所示電路中， 能否將受控源3I1與10電阻等效變換成一個受控電壓源? 如果可以，受控量I1應如何處理?,圖2.28 題2.4-1圖,圖2.29 題2.

27、4-2圖,圖2.30 題2.4-3圖,小 結,本章內容始終貫穿著“等效”這條主線， 這是電路理論中一個非常重要的概念。所謂兩個結構和元件參數(shù)完全不同的電路“等效”， 是指它們對外電路的作用效果完全相同， 即它們對外端鈕上的電壓和電流的關系完全相同。因此將電路中的某一部分用另一種電路結構與元件參數(shù)代替后，不會影響原電路中留下來未作變換的任何一條支路中的電壓和電流。據(jù)此便可推出各種電路的等效變換關系，從而極大地方便了電路分析和計算。,1. 電阻串聯(lián)電路 (1) 通過各電阻的電流相同。 (2) 等效電阻等于各電阻之和， 即 =R+R+R+ (3) 電路的總電壓等于各電阻上電壓之和， 即 =U+U+U

28、+ (4) 分壓公式,2. 電阻并聯(lián)電路 (1) 各電阻兩端的電壓相同。 (2) 等效電導等于各電導之和， 即 =G+G+G+ 當只有兩個電阻并聯(lián)時，等效電阻為,(3) 電路中的總電流等于各電流之和， 即,=+3+,(4) 分流公式,當只有兩個電阻并聯(lián)時，其分流公式為,=Y 或,進行兩種電路之間的相互變換尤顯方便。,4. 兩種電源模型的等效變換 一個具有內阻的實際電源，可以選用電壓源模型或電流源模型來表征，即兩種電源模型對外電路可以等效互換。這是在等效原則下得出的又一結論。這一結論將使我們在求解電路時， 思路更廣闊、 辦法更多樣。,5. 受控源及其等效變換 受控源與獨立源雖有本質的不同，既然也被稱作電源， 則它們之間的等效互換與獨立源完全相同，只需做到在整個變換過程中，控制量所在的支路保持不動即可。,習 題 2,. 電位計分壓電路如圖所示。 已知，輸入電壓Ui=，R1=350, Rp=200，R2=450，試求輸出電壓Uo的變化范圍。 ,題2.1圖,. 有一磁電式微安表，內阻為1500，量程為100， 今欲將其改裝成量程為30V、100V的電壓表，試計算分壓電阻R1和R2。,題2.2圖,. 兩個電阻串聯(lián)接到1