1、第五講 線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題,【引 例 】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解,MATLAB程序?yàn)椋?A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4； b=5;6;5； x=Ab,在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b： A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4 A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4 b=5;6;5 b = 5 6 5 然后只需輸入命令x=Ab即可求得解x： x=Ab x = 2.7674 1.1860 1.3488,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),1.零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zeros函數(shù)實(shí)現(xiàn)。zeros是MATLAB

2、內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下： zeros(m)：產(chǎn)生m m階零矩陣； zeros(m,n)：產(chǎn)生m n階零矩陣，當(dāng)m=n時(shí)等同于zeros(m)； zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。,2.幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實(shí)現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣。 【例1】 試用ones分別建立32階幺矩陣、和與前例矩

3、陣A同樣大小的幺矩陣。 用ones(3,2) 建立一個(gè)3 2階幺陣： ones(3,2) % 一個(gè)32階幺陣 ans =1 1 1 1 1 1,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),3.單位矩陣:主對(duì)角線的元素值為1、其余元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。 4.數(shù)量矩陣:主對(duì)角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時(shí)，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),5.對(duì)角陣:對(duì)角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對(duì)角陣。我們可以通過(guò)MATLAB內(nèi)部函數(shù)dia

4、g，利用一個(gè)向量構(gòu)成對(duì)角陣；或從矩陣中提取某對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)向量。使用 格式為diag(V)和diag(V,k)兩種。,6.用一個(gè)向量V構(gòu)成一個(gè)對(duì)角陣 設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)mm階對(duì)角陣，其主對(duì)角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對(duì)角陣必是方陣。,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),【例2】已知向量v，試建立以向量v作為主對(duì)角線的對(duì)角

5、陣A；建立分別以向量v作為主對(duì)角線兩側(cè)的對(duì)角線的對(duì)角陣B和C。 MATLAB程序如下：,v =1;2;3; % 建立一個(gè)已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3,% 按各種對(duì)角線情況構(gòu)成相應(yīng)的對(duì)角陣A、B和C,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),7.從矩陣中提取某對(duì)角線 我們也可以用diag從矩陣中提取某對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)向量。設(shè)A為m n階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取其主對(duì)角線產(chǎn)生

6、一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的向量。diag(A,k)的功能是： 當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對(duì)角線的上方第k條對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)具有n-k個(gè)元素的向量；當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對(duì)角線的下方第|k|條對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)具有m+k個(gè)元素的向量；當(dāng)k=0，則等同于diag(A)。,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),【例3】 已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對(duì)角線及它兩側(cè)的對(duì)角線構(gòu)成向量B、C和D。 MATLAB程序如下： A=1 2 3;4 5 6; % 建立一個(gè)已知的23階矩陣A % 按各種對(duì)角線情況構(gòu)成向量B、C和D B=diag(A) B = 1 5 C=diag(A,1) C = 2 6 D=d

7、iag(A,-1) D = 4,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),8.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k) 設(shè)A為mn階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)m n階上三角陣；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對(duì)角線第|k|條對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)mn階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu (A),一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),【例4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三

8、角部分構(gòu)成上三角陣B、C和D。 MATLAB程序如下： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一個(gè)已知的43階矩陣A % 構(gòu)成各種情況的上三角陣B、C和D B=triu(A) B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1),一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),9.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k) tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。,10.空矩陣 在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣。空矩陣在數(shù)學(xué)意義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如 A=0

9、.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6; B=find(A1.0) B = 這里 是空矩陣的符號(hào)，B=find(A1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號(hào)。當(dāng)不能滿足括號(hào)中的條件時(shí)，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個(gè)變量，如： B= B = ,一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn),二、矩陣的特征值 與特征向量,對(duì)于NN階方陣A，所謂A的特征值問(wèn)題是：求數(shù)和N維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式： A. x= x 則稱為矩陣A的一個(gè)特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。 對(duì)一般的N N階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值為實(shí)數(shù)。,二、矩陣

10、的特征值與特征向量,MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來(lái)計(jì)算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五種，其中常見的有E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三種，另外兩種格式用來(lái)計(jì)算矩陣的廣義特征值與特征向量：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。,二、矩陣的特征值與特征向量,(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成向量E； (2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成NN階對(duì)角陣D，其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量賦予NN階方陣V的對(duì)應(yīng)列，且A、V、D

11、滿足AV=V D； (3) V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對(duì)A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應(yīng)的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；,二、矩陣的特征值與特征向量,(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN階方陣A和B的N個(gè)廣義特征值，構(gòu)成向量E。 (5) V,D=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方陣A和B的N個(gè)廣義特征值，構(gòu)成N N階對(duì)角陣D，其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的廣義特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量構(gòu)成NN階滿秩矩陣，且 滿足AV=B V D。,二、矩陣的特征值與特征向量,【例5】

12、試用格式(1)求下列對(duì)稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗(yàn)證之。 A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ; 執(zhí)行eig(A)將直接獲得對(duì)稱矩陣A的三個(gè)實(shí)特征值：,二、矩陣的特征值與特征向量,eig(A) ans = -0.0166 1.4801 2.5365 而下列命令則將其三個(gè)實(shí)特征值作為向量賦予變量E： E=eig(A) E = -0.0166 1.4801 2.5365,二、矩陣的特征值與特征向量,三、行列式的值,MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來(lái)計(jì)算矩陣的行列式

13、的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計(jì)算通過(guò)構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。關(guān)于如何構(gòu)造稀疏矩陣，將在本章最后一節(jié)介紹。,三、行列式的值,【例6】利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)三階方陣A，然后計(jì)算方陣之行列式的值。 A=rand(3) A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214 det(A) ans = 0.4289,四、 矩陣求逆及其 線性代數(shù)方程組求解,1 . 矩陣求逆 若方陣A,B滿足等式 A*B = B*A = I (I為單位矩陣) 則稱A為B的逆

14、矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時(shí)A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,【例7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗(yàn)證A與A-1是互逆的。 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; B=inv(A) B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000 A*B ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000,B*A

15、 ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,2. 矩陣求逆解法 利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號(hào)兩側(cè)各左乘A-1，有： A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得： x=A-1b,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,【例8】試用矩陣求逆解法求解例6.20中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; b=2;-3;1; x=inv(A)*b x = -3.80

16、00 1.4000 7.2000,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,3. 直接解法 對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”象解一元一次方程那樣簡(jiǎn)單地求解： x=Ab 當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時(shí)，MATLAB會(huì)自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項(xiàng)b為N*1的列向量，則x=Ab可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項(xiàng)b為N*M的矩陣，則x=Ab可同時(shí)獲得同一系數(shù)矩陣A、M個(gè)方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; b1=2;-3;1; b2=3;4;-5; x=Ab1 x = -3.8000 1.4000 7.2000,y=Ab2 -3.6000 -2.2000 4.4000,得兩個(gè)線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x