1、虛位移原理,虛位移原理建立獨立于牛頓力學(xué)體系的質(zhì)點系平衡條件。,牛頓力學(xué)體系矢量力學(xué)。描述的力學(xué)量都用矢量表示 如：矢徑，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。,分析力學(xué)體系標(biāo)量力學(xué)。描述的物理量為標(biāo)量。如廣義坐標(biāo)， 能量，功等。,虛位移原理以分析力學(xué)為基礎(chǔ)，建立系統(tǒng)平衡的充要條件， 比牛頓力學(xué)建立的平衡條件具有更廣泛的意義。,本章僅僅闡述虛位移原理在求解靜力平衡問題中的應(yīng)用。事實 上，虛位移原理建立的平衡準(zhǔn)則還應(yīng)用于動力學(xué)建立質(zhì)點系統(tǒng)運動 與受力的關(guān)系、固體力學(xué)中物體變形的分析等。,質(zhì)點系的位形、約束方程及分類,質(zhì)點系中全部質(zhì)點空間位置的坐標(biāo)描述，稱為該質(zhì) 點系的位形。,質(zhì)點系的位形

2、可以由直角參考坐標(biāo)系統(tǒng)確定，也可以由與質(zhì)點系自由度對應(yīng)的廣義坐標(biāo)確定。,虛位移原理用于建立約束系統(tǒng)的平衡條件,平面一般運動，3自由度，廣義坐標(biāo)：,定軸轉(zhuǎn)動，單自由度，廣義坐標(biāo)：,對物體運動的限制稱為約束。用數(shù)學(xué)方程表示，稱為約束方程。,約束與約束方程,滑塊滑道,質(zhì)點被限制在某曲面上運動，約束方程為該曲面方程,約束方程,滑塊 B 的約束方程,當(dāng)v=f（x，t）不可積分函數(shù)時，約束方程,約束的分類,幾何約束：只限制質(zhì)點的幾何位置的約束。,運動約束：約束方程包含質(zhì)點坐標(biāo)（對時間）的導(dǎo)數(shù)。,定常約束：約束條件與時間無關(guān)，即約束方程中不顯含時間t。,非定常約束：約束條件與時間有關(guān)，即約束方程中顯含時間t

3、。,完整約束：包括幾何約束和可化成幾何約束的運動約束。,非完整約束：不可化成幾何約束的運動約束。,理想約束：約束力做功恒等于零的約束。,自由度和廣義坐標(biāo),自由度：描述在幾何約束條件下質(zhì)點系位形的獨立參變量的個數(shù)。,對于n個自由質(zhì)點組成的質(zhì)點系，可用3n個直角坐標(biāo)（xi ，yi，zi） i=1，2，3n，描述每一個質(zhì)點所在的位置稱為質(zhì)點系的位形。整 個系統(tǒng)有3n個自由度。,對于n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系，設(shè)其有S個約束方程，表明描 述質(zhì)點系位形的3n個直角坐標(biāo)不獨立。這時，可以選取獨立的k個 參數(shù)表示質(zhì)點系的位形，而,兩個質(zhì)點組成質(zhì)點系,約束方程,自由度數(shù),廣義坐標(biāo)，取,一般地，具有n個質(zhì)點的系

4、統(tǒng)中每一個質(zhì)點用矢徑表示為,表示每個質(zhì)點的直角坐標(biāo),注意，一般情況下，廣義坐標(biāo)是時間 t 的函數(shù)。,約束方程,系統(tǒng)自由度,取廣義坐標(biāo),質(zhì)點的直角坐標(biāo):,實位移與虛位移,實位移：質(zhì)點系發(fā)生的為約束允許的真實位移。,設(shè)一個具有k個自由度的，由n個質(zhì)點組成的的質(zhì)點系統(tǒng)，每一個 質(zhì)點由矢徑 ri 表示其位置，而ri可以用廣義坐標(biāo)表示如下：,在t時刻，外力作用下，經(jīng)歷無限小時間間隔t 質(zhì)點系中每一 個質(zhì)點產(chǎn)生微小位移dri（i=1，2，n）。顯然，表示系統(tǒng)位形 的廣義坐標(biāo)也將產(chǎn)生一組微小增量 dqj （j=1，2，k）。 稱為 系統(tǒng)廣義實位移。滿足條件,（1）,（2） 位移滿足約束條件和初始條件,虛位移

5、：在實位移概念的基礎(chǔ)上，不考慮主動力的作用（產(chǎn)生位 移的動力）和初始條件，僅僅滿足約束條件的位移。,與實位移的物理意義比較，虛位移是一種假設(shè)的、可能產(chǎn)生的 位移。兩者的共同點是：在一定的條件下（定常、完整約束） 實位移必是虛位移中的一組。,虛位移與時間無關(guān)，對應(yīng)k個自由度的質(zhì)點系統(tǒng)，質(zhì)點位置矢徑,虛位移表示如下：,顯然，虛位移與時間無關(guān)。,確定系統(tǒng)中質(zhì)點間虛位移的關(guān)系,如前所述，具有k個自由度的，由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系統(tǒng)，質(zhì)點間的位置關(guān)系不是完全獨立的，因此，每一個質(zhì)點的虛位移并不完全獨立。把每一個質(zhì)點的虛位移用獨立的廣義坐標(biāo)表示，分析中通常需要建立非獨立的質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系，方法如下：,1

6、、虛速度法：方法等同于“平面運動剛體上兩點間的速度關(guān)系”。把“點的虛位移”視為“點的速度”，應(yīng)用“基點法”、“速度投影定理”和“速度瞬心法”以及“復(fù)合運動速度關(guān)系”，確定兩點間的虛位移關(guān)系。,2、解析法：在固定參考系中，將確定點的位置的直角坐標(biāo)表示 為選定的獨立廣義坐標(biāo)的函數(shù)，對其求變分。,試確定D、B、E、C點虛位移與廣義坐標(biāo) 的關(guān)系。 設(shè)AD=DB=BE=EC=l,解：系統(tǒng)是單自由度，取為廣義坐標(biāo)。 1、解析法,由于AB=BC,建立圖示坐標(biāo)系統(tǒng),求變分,負(fù)號表示角增加時，虛位移方向與坐標(biāo)方向相反。,各點虛位移關(guān)系，如D點虛位移與C點虛位移的關(guān)系,（2）虛速度法,速度投影定理,各點虛位移方向

7、如圖,AB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬時OE的虛位移與O1B 虛位移之間的關(guān)系。,注意,各虛位移間關(guān)系,力和功,元功和有限功,元功,有限功,微分加“ ”表示逆過程在某些情況（如耗散系統(tǒng)）中不成立。,特殊力系做功的計算,1、匯交力系合力做功,合力主矢,合力在有限路徑做功等于分力在有限路徑上做功之和,2、內(nèi)力做功,內(nèi)力的特點：成對出現(xiàn)，大小相等，方向相反,設(shè)兩個質(zhì)點M1， M2 相互作用力F12 ，F(xiàn)21,則有,元功,剛體內(nèi)的兩點,變形體內(nèi)的兩點,3、彈性力做功,l0 彈簧原長 k 彈簧剛度系數(shù),彈性恢復(fù)力,上式表明，彈性恢復(fù)力的方向 總與變形方向相反。,彈性力大小,彈性恢復(fù)力

8、做功,或,有限功,彈性恢復(fù)力,4、約束力做功,光滑平面約束，柔繩約束,由于約束力作用線與位移方向 恒垂直，因此做功恒等于零。,光滑鉸鏈約束,固定鉸約束點處位移恒等于零，因此做功恒等于零； 活動鉸可移動方向約束力恒垂直，因此做功恒等于零。,中間鉸處約束力做功恒等于零自行分析,凡是約束反力做功恒等于零的約束稱為理想約束,有勢力做功,有勢力的大小和方向是位置的單值函數(shù)。如重力，彈性力， 萬有引力等都是有勢力。,有勢力做功僅與力作用的起止位置有關(guān)而與移動路徑無關(guān)。,有勢力的作用空間稱為有勢力場,重力：,彈性力：,有勢力作用的質(zhì)點位置的改變將引起有勢力做功稱為勢能函數(shù)。,重力勢能函數(shù)：,彈性勢能函數(shù)：,

9、有勢力做功等于負(fù)勢能函數(shù)。,當(dāng)取彈簧原長為勢能零點時,物理意義是：有勢力做正功時系統(tǒng)勢能減少； 有勢力做負(fù)功時系統(tǒng)勢能增加。,平面運動剛體上力系做功,平面運動剛體上作用力系Fi (i=1,2,n),設(shè)Fi 的作用點Di ,其元功為,以剛體上一點A為基點,則有,于是,力系Fi (i=1,2,n)的元功,力系對A點的主矩,平面運動剛體上力系的元功,當(dāng)選A點為速度瞬心 p 時,作用于平面運動剛體上力系的有限功為,特殊情況：,平動剛體,定軸轉(zhuǎn)動剛體（設(shè)A為轉(zhuǎn)動軸）,實功與虛功,實功（廣義）力在（廣義）實位移上做功。,當(dāng)力系在自身引起的實位移上做功時，實功恒為正值。 當(dāng)力系在非自身引起的實位移上做功時，

10、實功可為正值，也可為負(fù)值。,虛功（廣義）力在（廣義）虛位移上做功。,做虛功的力與位移可以毫不相關(guān)，所以虛功可以為正值， 也可以為負(fù)值。,虛功表示,表示虛元功,虛功的計算與實元功相同。有限虛功沒有意義，一般不考慮。,勻質(zhì)圓盤重P，半徑R，其輪心與一彈簧相連。彈簧剛度系數(shù)為k 初始長度為l0 。系統(tǒng)在常力偶M0 作用下，在傾角為的斜面上保 持平衡，求：系統(tǒng)虛元功。,圓盤受力分析如圖，給圓盤一個微小的虛位移,與各力對應(yīng)的虛功為,（1）,（2）,（3）,純滾動圓盤摩擦力做功等于零,（5）,建立虛位移 ， l 之間的關(guān)系,于是,虛位移原理（虛功原理）,具有定常、完整、理想約束的質(zhì)點系，保持靜止平衡的充分

11、 必要條件是：作用于質(zhì)點系的主動力在平衡位置附近的虛位移上 所做的虛功之和等于零。,與牛頓力學(xué)不同之處在于，虛位移原理給出質(zhì)點系統(tǒng) （包括剛體系統(tǒng)）保持平衡的充分必要條件。,虛位移原理在求解靜力學(xué)平衡問題中的應(yīng)用,圓盤半徑R，AB桿長l ，桿與墻面光滑接觸，圓盤做純滾動。 在桿處于水平位置時保持平衡。 求：所加力偶 M 的大小。,虛功,虛位移之間的關(guān)系,代入虛功方程,系統(tǒng)虛元功,虛位移原理,得,于是,設(shè)：AE=AB=l ，DB=CE=2l ，初始位置角度為0 ，E點只能 沿Y軸運動，彈簧剛度系數(shù)為k， 當(dāng)= 0時，彈簧為原長。 求：保持平衡狀態(tài)時P、Q與的關(guān)系。,解：應(yīng)用解析法,A點縱坐標(biāo)：,

12、B點橫坐標(biāo)：,C點橫坐標(biāo)：,求變分（給一個虛位移）,求虛功,彈性力虛功，設(shè),方向如圖,虛位移原理,已知:OA=AB=l ,C為AB中點, 彈簧OB的剛度系數(shù)為k 。AB上作用 主動力偶M和主動力F, 方向垂直向上, 作用點C ，不計桿件自重。 設(shè)系統(tǒng)在圖示位置處于平衡狀態(tài), 求彈簧變形量。,解:系統(tǒng)單自由度,其中AB作平面一般運動,p為速度瞬心,以AB桿轉(zhuǎn)動角為廣義坐標(biāo),寫出M, F和Fe 所做的虛功:,虛位移原理:,虛位移原理用于求解約束反力,試求圖示結(jié)構(gòu)A截面的約束反力。,解：,A截面約束反力如圖。結(jié)構(gòu)自由度為零，為求解約束反力， 逐個解除對應(yīng)約束反力的約束。,求解FAx 解除對應(yīng)約束后，

13、給一個與FAx 對應(yīng)的虛位移,各點虛位移,系統(tǒng)虛功,解除對應(yīng)FAy 的約束，給一個與之對應(yīng)的虛位移,對應(yīng)各力虛功,注意各點虛位移之間的關(guān)系,虛功方程,解除與MA 對應(yīng)的約束，各點虛位移如圖,虛功方程,即,虛位移間的關(guān)系,應(yīng)用虛位移原理求解靜力學(xué)平衡問題分析過程,1）確定系統(tǒng)自由度數(shù)，選定與之對應(yīng)的廣義坐標(biāo)。,若求解約束力（這時系統(tǒng)自由度數(shù)為零），則放松與之 對應(yīng)的約束，代之以約束力并將其視為主動力。,3）給廣義坐標(biāo)一個虛位移 qj，建立與（廣義）主動力對應(yīng)的（廣義）虛位移rp 和qj 的關(guān)系。,4）求（廣義）主動力在對應(yīng)的（廣義）虛位移rp 上做的虛功。,5）建立系統(tǒng)虛功方程。,2）分析系統(tǒng)中

14、每一個剛體（約束許可）的運動狀態(tài)。,求圖示結(jié)構(gòu)C截面的約束反力,解：1）求C截面水平約束力,放松C截面水平方向約束，代之以約束力XC,AB桿不動，DK桿E點虛位移 rE方向如圖,C為DK桿速度瞬心， DK桿 角位移DK,虛功方程,即,大小,求C截面垂直約束力YC,放松C截面垂直方向約束，代之以約束力YC,A點為CB桿速度瞬心，于是D點虛位移rD方向如圖,另一方面，由基點法,？,？,于是,注意：,向軸投影：,解出：,注意：,得：,于是,虛功方程,有勢力場中質(zhì)點系的平衡條件和平衡的穩(wěn)定性,有勢力做功僅與力作用的起止位置有關(guān)而與移動路徑無關(guān)。,當(dāng)系統(tǒng)所受主動力為有勢力，系統(tǒng)將具有勢能V ，并且有勢力做功 W 與勢能V有關(guān)系,V=-W,如：重力勢能,彈性勢能,符號的意義是：彈簧變形量1 2 時彈性勢能為正,勢能增加; 反之勢能減小。,有勢力與勢能函數(shù)的關(guān)系,n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系受有勢力作用，則勢能可以表示為質(zhì)點 位置的單值函數(shù)，即,第i個質(zhì)點上作用的有勢力Fi,則Fi 在廣義坐標(biāo)qj的虛位移上做虛功,這時，給系統(tǒng)一個虛位移,系統(tǒng)總虛功,系