1、1,本章主要教學內容 數(shù)值積分法的基本原理及其主要內容 快速仿真算法的基本原理及其主要內容 離散相似法的基本原理及其仿真應用 線性系統(tǒng)的仿真方法 非線性系統(tǒng)的仿真方法 采樣控制系統(tǒng)的仿真方法,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,2,本章教學目的及要求 掌握數(shù)值積分法和快速仿真算法的原理及應用 掌握離散相似法的原理應用 熟悉線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、采樣系統(tǒng)的仿真處理過程,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,3,5.1 數(shù)值積分法 系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。 設系統(tǒng)常微分方程為： （5-1） 為包含有時間t和函數(shù)y的表達式，y0為函數(shù)y在初始時刻t0時的對應初值。我們將求解方

2、程（5-1）中函數(shù) 的問題稱為常微分方程數(shù)值求解問題。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,4,5.1.1 歐拉（Euler）法 1歐拉公式的推導 將式（5-1）在小區(qū)間上進行積分可得：,第5章,其幾何意義是把,在,區(qū)間內的曲邊面積,用矩形面積近似代替，如圖5-1所示。,系統(tǒng)仿真算法分析,5,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,6,當h很小時，可以認為造成的誤差是允許的。所以有：,第5章,稱之為歐拉公式。,系統(tǒng)仿真算法分析,7,2 . 歐拉法具備以下特點： （1）歐拉法實際上是采用折線代替了實際曲線，也稱之為折線法。 （2）歐拉法計算簡單，容易實現(xiàn)。由前一點值僅一步遞推就可以求出后一點值，所以稱為單步法。 （3）

3、歐拉法計算只要給定初始值，即可開始進行遞推運算，不需要其它信息，因此它屬于自啟動模式。 （4）歐拉法是一種近似的處理，存在計算誤差，所以系統(tǒng)的計算精度較低。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,8,5.1.2 梯形法 1梯形公式 為了彌補歐拉法計算精度較低的不足，可以采用梯形面積公式來代替曲線下的定積分計算，如圖5-2所示。 依然對式（5-1）進行求解，采用梯形法作相應近似處理之后，其輸出為：,第5章,稱為梯形積分公式 。,系統(tǒng)仿真算法分析,9,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,10,從中可以看到，在計算 時，其右端函數(shù)中也含有 ，這種公式稱為隱式公式，不能靠自身解決，需要采用迭代方法來啟動，稱之為多步法?？梢?/p>

4、先采用歐拉公式進行預報，再利用梯形公式進行校正。即梯形法的預報校正公式 ：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,11,2. 梯形法具備以下特點： （1）采用梯形代替歐拉法的矩形來計算積分面積，其計算精度要高于歐拉法。 （2）采用預報校正公式，每求一個 ，計算量要比歐拉法多一倍。因此計算速度較慢。 （3）梯形公式中的右端函數(shù)含有未知數(shù)，不能直接計算左端的變量值，這是一種隱式處理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自啟動，要靠多步法來實現(xiàn)計算。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,12,5.1.3 龍格庫塔（RungeKutta）法 1龍格庫塔公式 二階龍格庫塔公式 ：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,13,第5章,四階龍格庫

5、塔公式 ：,系統(tǒng)仿真算法分析,14,2. 龍格庫塔法特點： （1）為單步法，并且可自啟動。 （2）改變仿真步長比較方便，可根據(jù)精度要求而定。 （3）仿真計算量與仿真步長h的大小密切相關，h值越小計算精度越高，但所需仿真時間也就越長。 （4）用泰勒級數(shù)展開龍格庫塔法計算公式時，只取h的一次項，即為歐拉法計算公式；若取到h2項，則為二階龍格庫塔法計算公式；若取到h4項，則為四階龍格庫塔法計算公式。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,15,第5章,5.1.4 數(shù)值積分公式的應用 【例5.1】 已知一階系統(tǒng)的微分方程為： ，初始條件 ，取仿真步長h=0.1，分別用歐拉法、梯形法和龍格庫塔法計算該系統(tǒng)仿真第一步

6、的值。,解：原方程可變?yōu)?,即,系統(tǒng)仿真算法分析,16,（1）用歐拉法計算 根據(jù)歐拉公式，將函數(shù)表達式及其初始值代入后，可得該系統(tǒng)仿真第一步的值：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,17,第5章,（2）用梯形法計算： 根據(jù)預報校正公式，將函數(shù)表達式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。 用預報公式求起始值：,系統(tǒng)仿真算法分析,18,再用校正公式得到系統(tǒng)仿真第一步的值：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,19,（3）用二階龍格庫塔法計算 根據(jù)公式先計算出兩個系數(shù)，再計算仿真第一步的值：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,20,則系統(tǒng)仿真第一步的值為：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,21,（4）用四階龍格庫塔公式計算 根據(jù)公

7、式先計算出4個系數(shù)，再計算仿真第一步的值：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,22,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,23,則系統(tǒng)仿真第一步的值為：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,24,從上述結果可以看出: 對于同一個系統(tǒng)進行仿真計算時，其值的精度是隨著數(shù)值積分公式的變化而改變的，其中歐拉法計算精度最低，其次為梯形法和二階龍格庫塔法，四階龍格庫塔法計算精度最高。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,25,5.1.5 仿真精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性 1. 仿真過程的誤差 （1）初始誤差:現(xiàn)場采集數(shù)據(jù)不一定很準，會造成仿真過程中產(chǎn)生誤差，稱為初始誤差。應對現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行準確的檢測，也可多次采集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。 （2）舍入誤差

8、:由于不同檔次的計算機其計算結果的有效值不一致，導致仿真過程出現(xiàn)舍入誤差。 應選擇擋次高的計算機，其字長越長，仿真數(shù)值結果尾數(shù)的舍入誤差就越小。 （3）截斷誤差:仿真步距確定后，數(shù)值積分公式的階次將導致系統(tǒng)仿真時產(chǎn)生截斷誤差，階次越高，截斷誤差越小。仿真時多采用四階龍格庫塔法，其截斷誤差較小。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,26,系統(tǒng)仿真算法分析,第5章,2. 仿真過程的穩(wěn)定性 計算結果對系統(tǒng)仿真的計算誤差反應不敏感，稱之為算法穩(wěn)定，否則稱算法不穩(wěn)定。對于不穩(wěn)定的算法，誤差會不斷積累，最終可能導致仿真計算達不到系統(tǒng)要求而失敗。 （1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長的關系 一個數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決于該系統(tǒng)微

9、分方程的特征根是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，在仿真時要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微分方程的解處于穩(wěn)定區(qū)域之中。,27,系統(tǒng)仿真算法分析,第5章,（2）積分步長的選擇 由于積分步長直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密切相關，所以應合理地選擇積分步長h的值。 通常遵循兩個原則： 使仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定。 使仿真系統(tǒng)具備一定的計算精度。 一般掌握的原則是：在保證計算穩(wěn)定性及計算精度的要求下，盡可能選較大的仿真步長。,28,由于工程系統(tǒng)的仿真處理采用四階龍格庫塔法居多，所以選擇仿真積分步長可參考以下公式： 時域內： ；其中ts 為系統(tǒng)過渡過程調節(jié)時間 頻域內： ；其中 為系

10、統(tǒng)的開環(huán)截止頻率,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,29,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,5.2 快速仿真算法 5.2.1 時域矩陣法 時域矩陣法是一種在時域內采用無窮矩陣進行系統(tǒng)仿真的算法，它每一步的計算量較小，而且與系統(tǒng)階次無關，適合于系統(tǒng)的快速仿真。 時域矩陣的概念 式中：Y 給定系統(tǒng)采樣時刻的輸出矩陣 G 時域矩陣 U 采樣時刻的輸入變量離散序列,30,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,2. 時域矩陣的求取 根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，經(jīng)過拉氏變換求出 ，再求出特定采樣時刻的 ，即可組成時域矩陣G。 3. 求解閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應 時域矩陣法求解閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應的基本思想是： 在特定輸入信號作用下，即R是已知的；而

11、系統(tǒng)在前一時刻的采樣值，即初始條件是已知的，這樣即可求出ERC。在求出誤差時間序列矩陣E以后，由系統(tǒng)給定的傳遞函數(shù)求其脈沖過程函數(shù),再求出系統(tǒng)的時域矩陣G，最后利用C= GE求出系統(tǒng)的最終輸出響應。,31,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,4. 時域矩陣法的特點 （1）多用于采樣控制系統(tǒng)，由于采用脈沖過程函數(shù)來計算系統(tǒng)的閉環(huán)響應，不會因系統(tǒng)階次的增加而加大計算工作量，從而提高了仿真速度；但有時求解高階系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)會有一定的難度。 （2）由于每個采樣時刻的 是準確計算出來的，所以采用時域矩陣法仿真時系統(tǒng)的采樣周期（或仿真步距）可以選得大些。 （3）時域矩陣法可推廣到非線性系統(tǒng)的快速仿真。,32,第

12、5章,系統(tǒng)仿真算法分析,5.2.2 增廣矩陣法 增廣矩陣法是將系統(tǒng)的控制量增廣到狀態(tài)變量中，使原來的非齊次常微分方程變?yōu)橐粋€齊次方程。 基本思想: 已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 其解為：,33,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,這是自由項強制項兩個部分的組合。若把控制量u(t)增廣到狀態(tài)量中去，就可以變成齊次方程，然后再利用 求出其解為:,由于系數(shù)矩陣是可求出的，這就使仿真計算變成每次只作一個十分簡單的乘法運算，從而提高了系統(tǒng)的仿真速度。,34,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,5.2.3 替換法 1. 基本思想 對于高階系統(tǒng)，如果能從它的傳遞函數(shù)直接推導出與之相匹配且允許較大采樣周期T的脈沖傳遞函數(shù)，由此獲得

13、仿真模型，將會十分有利于提高仿真速度。相匹配的含義是指若 是穩(wěn)定的，那么 也是穩(wěn)定的，同時，輸入相同外作用信號時，由 求出的響應和由 求出的響應具有相同的特征。 如果利用s與z的對應公式，將中的s替換為z，求得的表達式，這種方法稱為替換法。,35,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,2. 雙線性替換公式（圖士汀公式） 雙線性替換公式（圖士汀公式）是從梯形積分公式中推導出來的，按此公式進行替換，可以保證的穩(wěn)定性，同時也具有較高的仿真速度。 已知梯形公式為：,圖士汀公式 為:,36,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,5.2.4 根匹配法 1. 基本思想 連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)特性取決于描述該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中的開環(huán)增益及零點

14、分布。當系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,為了實現(xiàn)系統(tǒng)快速仿真，應構造一個 ，它允許較大的采樣周期T，且能保證 在零、極點分布上與 一致，動態(tài)響應也一致，這種方法稱為根匹配法。,（5-11）,37,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,即：,2. 根匹配法的一般步驟 根匹配法應滿足條件：具有相同數(shù)目的零極點；零極點相互匹配；終值應相等；具有相同的動態(tài)響應。 根匹配法處理的一般步驟： （1）給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，轉換為式（5-11）的形式。 （2）求出傳遞函數(shù)的零、極點。 （3）利用映射關系映射到Z平面上。 （4）按零、極點匹配的原則構造。 （5）用終值定理相等的原則確定Kz。 （6）附加零點的處理，即有nm個零點位于Z平面的

15、原點。,38,5.3 離散相似法 利用數(shù)字計算機對一個連續(xù)系統(tǒng)進行仿真時，得到的仿真結果實際上是各狀態(tài)變量在計算步距點上的數(shù)值，也就是時間離散點上的數(shù)值，這等效于將一個連續(xù)系統(tǒng)看作是時間離散系統(tǒng)，為此，我們引入離散相似法的有關概念。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,39,5.3.1 仿真算法描述 所謂離散相似法，就是將一個連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，從而得到與之等價的系統(tǒng)離散模型，通常，此種方法是按系統(tǒng)的動態(tài)結構圖來建立仿真模型。在計算過程中，可以按各典型環(huán)節(jié)離散相似模型的輸入來計算環(huán)節(jié)的輸出。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,40,1. 典型環(huán)節(jié)的離散化模型,第5章,圖5-5 連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化,系統(tǒng)仿真

16、算法分析,41,第5章,使用零階保持器，可得到離散化狀態(tài)方程的解：,若使用三角保持器，離散化狀態(tài)方程解的形式為：,系統(tǒng)仿真算法分析,42,環(huán)節(jié)的離散系數(shù)為:,第5章,已知系統(tǒng)A、B系數(shù)矩陣后，可求出各環(huán)節(jié)的離散系數(shù),，帶入相應差分方程，再根據(jù)狀態(tài)變量的初值，,就可以求出不同采樣時刻的各狀態(tài)變量數(shù)值。,系統(tǒng)仿真算法分析,43,5.3.2 典型環(huán)節(jié)的離散模型 1. 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：,第5章,環(huán)節(jié)離散系數(shù)為：,系統(tǒng)仿真算法分析,44,第5章,離散方程為：,系統(tǒng)仿真算法分析,45,2. 比例積分環(huán)節(jié) 比例積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：,第5章,環(huán)節(jié)離散系數(shù)為:,系統(tǒng)仿真算法分析,46,第5章,

17、離散方程為：,系統(tǒng)仿真算法分析,47,第5章,3. 慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：,環(huán)節(jié)離散系數(shù)為：,系統(tǒng)仿真算法分析,48,第5章,離散方程為：,系統(tǒng)仿真算法分析,49,第5章,4. 比例慣性環(huán)節(jié) 比例慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：,環(huán)節(jié)離散系數(shù)：,系統(tǒng)仿真算法分析,50,離散方程為：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,51,5.4 線性系統(tǒng)仿真 5.4.1 線性系統(tǒng)的數(shù)值積分法仿真 1. 面向系統(tǒng)方程的仿真原理分析 采用數(shù)值積分法對系統(tǒng)進行仿真時，描述系統(tǒng)的數(shù)學模型通?？梢杂孟到y(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)等形式，下面我們針對圖5-6中所示的典型系統(tǒng)進行分析。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,52,第5章,圖5-6

18、仿真系統(tǒng)模型結構,系統(tǒng)仿真算法分析,53,該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 變換后的狀態(tài)方程為：,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,54,在圖5-6系統(tǒng)模型結構基礎上，編制相應的仿真計算程序，將傳遞函數(shù)中的分子和分母多項式系數(shù)、輸入輸出變量初始值送入程序中，完成模型由傳遞函數(shù)向狀態(tài)方程的轉換；再根據(jù)系統(tǒng)仿真的要求，分別輸入仿真步長、打印間隔和次數(shù)、外部輸入信號幅值等，然后，調用數(shù)字積分子程序完成仿真計算，最后將仿真結果送到指定的設備輸出。該仿真工作過程及邏輯結構示意于圖5-7中。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分析,55,第5章,圖5-7 面向方程的線性系統(tǒng)仿真框圖,56,第5章,2. 面向系統(tǒng)結構圖的仿真原理分析 基

19、本思想：把一個復雜的高階線性系統(tǒng)化成由若干典型環(huán)節(jié)組成的模擬結構圖表示；將各典型環(huán)節(jié)參數(shù)以及系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接關系輸入計算機；仿真程序將輸入的系統(tǒng)模型自動轉化為狀態(tài)空間描述，即狀態(tài)方程形式；調用數(shù)值積分法求解并輸出仿真結果。 （1）典型環(huán)節(jié)的確定及算法描述：根據(jù)控制理論可知，在實際控制系統(tǒng)中比較常見的動態(tài)環(huán)節(jié)主要有以下五種：,系統(tǒng)仿真算法分析,57,積分環(huán)節(jié)； 比例積分環(huán)節(jié)； 慣性環(huán)節(jié)； 一階超前（或滯后）環(huán)節(jié)； 二階振蕩環(huán)節(jié)； 5種動態(tài)環(huán)節(jié)中，一階超前（或滯后）環(huán)節(jié)最具代表性，即選用 作為典型環(huán)節(jié)，可表示出其余常見的動態(tài)模型。面向結構圖的線性系統(tǒng)仿真邏輯結構見圖5-8。,第5章,系統(tǒng)仿真算法分

20、析,58,第5章,圖5-8 面向結構圖的線性系統(tǒng)仿真流程框圖,59,第5章,5.3.2 線性系統(tǒng)的離散相似法仿真 1. 仿真原理及處理過程 采用離散相似法對線性系統(tǒng)進行仿真程序面向系統(tǒng)動態(tài)結構圖；按控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)離散相似原則建立仿真模型；系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的關系由連接矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣表示；程序中規(guī)定采用4種典型環(huán)節(jié)，即積分環(huán)節(jié)、比例積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、比例慣性環(huán)節(jié)，其余環(huán)節(jié)可經(jīng)過轉換得到典型描述；輸入各環(huán)節(jié)類型、參數(shù)、初值、連接矩陣等，可求出特定信號作用下各環(huán)節(jié)的輸出結果。,系統(tǒng)仿真算法分析,60,第5章,圖5-9 面向結構圖的線性系統(tǒng)離散相似法仿真框圖,61,第5章,5.5 非線性系統(tǒng)

21、仿真 5.5.1 典型非線性特性 1. 飽和非線性 常見的飽和非線性特性 如右圖所示： 數(shù)學描述為：,系統(tǒng)仿真算法分析,62,第5章,計算飽和非線性特性的子程序流程圖：,系統(tǒng)仿真算法分析,63,第5章,飽和非線性特性對系統(tǒng)過渡過程的影響主要有： （1）使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好； （2）過渡過程時間增長，快速性能降低； （3）超調量下降，動態(tài)的平衡性有所改善。,系統(tǒng)仿真算法分析,64,第5章,2. 死區(qū)非線性 死區(qū)非線性特性如圖所示。 數(shù)學描述為：,系統(tǒng)仿真算法分析,65,第5章,計算死區(qū)非線性特性的仿真子程序流程圖 ：,系統(tǒng)仿真算法分析,66,第5章,死區(qū)非線性對系統(tǒng)性能的影響主要有： （1） 增大

22、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度； （2） 延長過渡過程時間，使動態(tài)性能下降。,系統(tǒng)仿真算法分析,67,第5章,3. 滯環(huán)非線性 滯環(huán)（齒輪間隙）非線性特性見圖所示。 數(shù)學描述為：,系統(tǒng)仿真算法分析,68,第5章,滯環(huán)非線性特性的計算子程序框圖：,系統(tǒng)仿真算法分析,69,第5章,滯環(huán)非線性特性對系統(tǒng)的性能影響主要有： （1）增加系統(tǒng)靜差，降低定位精度 （2）在穩(wěn)態(tài)值附近以某一幅度進行振蕩，會產(chǎn)生自振，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響。,系統(tǒng)仿真算法分析,70,第5章,5.5.2 非線性系統(tǒng)的仿真過程及應用 基本思想：給定非線性系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)、非線性特性和系統(tǒng)連接情況，按照典型環(huán)節(jié)的形式對線性部

23、分進行編號，非線性特性從屬于相應的線性環(huán)節(jié)，將系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的系數(shù)、變量初值、連接關系、仿真參數(shù)等數(shù)據(jù)置入程序中，通過離散相似法處來解出該系統(tǒng)在特定函數(shù)作用下的動態(tài)響應性能。 非線性系統(tǒng)離散相似法仿真的處理過程、邏輯結構示意如圖5-17。,系統(tǒng)仿真算法分析,71,第5章,圖5-17 非線性系統(tǒng)離散相似法仿真框圖,72,第5章,5.6 采樣系統(tǒng)仿真 5.6.1 采樣控制系統(tǒng)的算法描述 1. 系統(tǒng)差分方程的求解 典型的數(shù)字采樣控制系統(tǒng)結構如圖所示。,系統(tǒng)仿真算法分析,73,第5章,該系統(tǒng)中包含兩種不同的環(huán)節(jié)，一種是數(shù)字化的控制器，可以方便地采用計算程序模擬，另一種是時間連續(xù)的受控過程，經(jīng)過采樣器和保持器與數(shù)字控制器相連。,系統(tǒng)仿真算法分析,74,第5章,差分方程描述的就是離散各量在采樣時刻點上的相互關系和變化情況，因此當仿真步長取采樣系統(tǒng)的實際采樣周期T時，求取的結果無截斷誤差，從理論上說算法是精確的。該方法簡便易行，只要已知D(z)、G(z)，就可以進行仿真處理。,系統(tǒng)仿真算法分析,75,第5章,2. 連續(xù)部分的離散化處理 當采樣系統(tǒng)連續(xù)部分較復雜時，不必去化簡和求取G(z)，只要按照連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)離散化仿真方法，將連續(xù)部分中各環(huán)節(jié)經(jīng)離散化處理后與采樣部分一并考慮進行仿真。,系統(tǒng)仿真算法分析,76,第5章,5.6.