1、一、離散型隨機(jī)變量的分布律,二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布,三、小結(jié),2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律(2),定義1 若隨機(jī)變量 X 的全部可能取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè),則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。,一、離散型隨機(jī)變量的分布律,定義2,離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為,或,其中,分布函數(shù),分布律,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)演示,離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系,解,二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布,設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個(gè)值 , 它的分布律為,2.兩點(diǎn)分布,1.退化分布,若隨機(jī)變量X取常數(shù)值C的概率為1,即,則稱X服從退化分布.,實(shí)例1 “拋硬幣”

2、試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.,隨機(jī)變量 X 服從 (0-1) 分布.,則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點(diǎn)分布.記為Xb(1,p),兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布.,說明,3.均勻分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,實(shí)例 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X,均勻分布隨機(jī)數(shù)演示,4.二項(xiàng)分布,若X的分布律為：,稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。 記為,其中q1p,二項(xiàng)分布的圖形,圖形演示,例如 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的

3、次數(shù) X 服從 B (5,0.6) 的二項(xiàng)分布.,二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示,4. 泊松分布,泊松資料,圖形演示,泊松分布的圖形,泊松分布隨機(jī)數(shù)演示,泊松分布的背景及應(yīng)用,二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察 與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), 他們做了2608 次觀察(每次時(shí)間為7.5 秒)發(fā)現(xiàn) 放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), 其放射的粒子 數(shù)X 服從泊松分布.,地震,在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的. 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.,火山爆發(fā),特大洪水,電話呼喚次數(shù),交通事故次數(shù),商場接待的顧客

4、數(shù),在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的. 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.,泊松定理,證明,上面我們提到,單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出,設(shè)1000 輛車通過, 出事故的次數(shù)為 X , 則,可利用泊松定理計(jì)算,所求概率為,解,例2 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過, 設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率 為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通 過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?,6. 幾何分布,若隨機(jī)變量 X 的分布律為,則稱 X 服從幾何分布.,實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率

5、為 p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目 X 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 求X 的分布律.,幾何分布隨機(jī)數(shù)演示,圖形演示,所以 X 服從幾何分布.,說明 幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功” 的概率模型.,解,7.超幾何分布,設(shè)X的分布律為,超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用 到.,說明,圖形演示,離散型隨機(jī)變量的分布,兩點(diǎn)分布,均勻分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,幾何分布,二項(xiàng)分布,三、小結(jié),超幾何分布,退化分布,幾種分布比較演示,例 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一 件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時(shí), 所面

6、對的各件 產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下, 分 別求出直到取得正品為止所需次數(shù) X 的分布律. (1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回 這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每 次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中; (3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正 品放回這批產(chǎn)品中.,備份題,解,(1) X 所取的可能值是,(2) 若每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中時(shí),X 所取的可能值是,(3) 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批 產(chǎn)品中.,故 X 的分布律為,X 所取的可能值是,例 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修 工人 (工人配備多了就浪費(fèi) , 配備少了又要影響生 產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)

7、,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備 的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況 ) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障 但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,解,合理配備維修工人問題,由泊松定理得,故有,即,例6 (人壽保險(xiǎn)問題)在保險(xiǎn)公司里 有2500個(gè)同年齡同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn),在每一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí),家屬可在公司里領(lǐng)取200元.問 (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少? (2) 保險(xiǎn)公司獲利不少于一萬元的概率是多少?,保險(xiǎn)公司在1月1日的收入是 250012=300

8、00元,解 設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則,保險(xiǎn)公司這一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人時(shí)公司虧本.,于是,P公司虧本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司虧本,(2) 獲利不少于一萬元,即 30000 -200X 10000,即X10,P獲利不少于一萬元=PX10,分析,這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.,例2,解,圖示概率分布,解,因此,例3,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, S