1、,Shanghai University,材料力學,第9章,材料力學,扭轉,桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對轉動，這種受力與變形形式稱為扭轉（torsion）。本章主要分析圓軸扭轉時橫截面上的剪應力以及兩相鄰橫截面的相對扭轉角，同時介紹圓軸扭轉時的強度與剛度設計方法。,第9章 扭轉, 圓軸扭轉橫截面上, 圓軸扭轉破壞與強度條件, 引言, 剪應力互等定理與剪切胡克定律,第9章 扭轉, 動力傳遞與扭矩, 極慣性矩與抗扭截面系數(shù), 圓軸扭轉變形與剛度條件, 引言,第9章 扭轉,請判斷哪一桿件 將發(fā)生扭轉？,當兩只手用力相等時，擰緊螺母的工

2、具桿將產生扭轉。,（a）,更多的實例,變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對的轉動。,受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內，作用著一對力偶，其力偶矩相等、方向相反。,扭轉角：任意兩橫截面間相對轉過的角度。, 動力傳遞與扭矩,第9章 扭轉,作用于構件的外扭矩與機器的轉速、功率有關。在傳動軸計算中，通常給出傳動功率P和轉速n，則傳動軸所受的外加扭力矩Me可用下式計算：,其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉速，單位為轉/分（r/min）。,如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5 Nm/s），則,外加扭力矩Me確定后，應用截面法可以確定橫截面上的內力扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時

3、，橫截面上將產生分布剪應力，這些剪應力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twist moment），用Mx表示。,如果只在軸的兩個端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。,扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagram of torsion moment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。,當在軸的長度方向上有兩個以上的外力偶矩作用時，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。,例題 1,圓軸受有四個繞軸線轉動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位

4、為mm。,試 ：畫出圓軸的扭矩圖。,解：1確定控制面,外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。,2應用截面法，由平衡方程,確定各段圓軸內的扭矩 。,3建立Mxx坐標系，畫出扭矩圖 建立Mxx坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標在Mxx坐標系中，得到相應的點，過這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。, 剪應力互等定理與剪切胡克定律,第4章 扭轉,薄壁圓筒：壁厚,（r0為平均半徑）,一、薄壁圓筒扭轉時的切應力（實驗）：,1.實驗前：,繪縱向線，圓周線； 施加一對外力m。,薄壁圓管的扭轉應力,2、實驗后：,圓周線不變；縱向線傾斜同一個角度，變成平

5、行的螺旋線。,3、結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,5、薄壁圓筒剪應力 大小： 假定平均分布 ,方向垂直于半徑.,A0：平均半徑所作圓的面積。,4、 分析 矩形變成平行四邊形,各邊長不變,所以兩側截面上只有切應力,無正應力.(實際上與扭矩對應的應力只能是切應力),根據(jù)力偶平衡理論,剪應力成對定理,在兩個互相垂直的平面上，剪應力必然成對存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應力成對定理（pairing principle o

6、f shear stresses）。,剪切胡克定律,當在彈性范圍內加載時，剪應力與剪應變成正比:,這種線性關系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。, 圓軸扭轉橫截面上的應力,第9章 扭轉,應用平衡方法可以確定圓桿扭轉時橫截面上的內力分量扭矩，但是不能確定橫截面上各點剪應力的大小。為了確定橫截面上各點的剪應力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應力是怎樣分布的。,應力分布,應力公式,變 形,應變分布, 平面假定, 變形協(xié)調方程, 物性關系剪切胡克定律, 靜力學方程, 圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式, 平面假定,假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相

7、互轉過一角度。這一假定稱為平面假定。, 變形協(xié)調方程,若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結論，在dx長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產生的剪應變各不相同，半徑越小者剪應變越小。,設到軸線任意遠處的剪應變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關系：, 物性關系剪切胡克定律,剪切胡克定律, 靜力學方程,式中 GIP扭轉剛度；,IP橫截面的極慣性矩。, 圓軸扭轉時橫截面上的 剪應力表達式,最大剪應力,Wp 扭轉截面系數(shù)。, 極慣性矩與抗扭截面系數(shù),極慣性矩p,扭轉截面系數(shù)p, 圓軸扭轉破壞與強度條件,受扭圓軸的強度設計準則,與抗壓桿的強度設計相似，為了保證

8、圓軸扭轉時安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應力max限制在一定的數(shù)值以下，即：,這一關系式稱為受扭圓軸的強度設計準則，或稱圓軸扭轉的強度條件。,受扭圓軸的強度設計準則, 為許用剪應力；, max 是指圓軸所有橫截面上最大剪應力中的最大者，對于等截面圓軸，最大剪應力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點；,對于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面，這時需要根據(jù)扭矩Mx和相應扭轉截面系數(shù)WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。,已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各軸

9、橫截面上的最大切應力。,例 題 3,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：計算各軸的功率與轉速,Mx1=T1=1114 N.m,Mx2=T2=557 N.m,Mx3=T3=185.7 N.m,解：計算各軸的扭矩,解：計算各軸的橫截面上的最大切應力, 圓軸扭轉變形與剛度條件,第9章 扭轉,受扭圓軸的相對扭轉角,圓桿受扭矩作用時，dx微段的兩截面繞軸線相對轉動的角度稱為相對扭轉角,沿軸線方向積分，得到,受扭圓軸的相對扭轉角,對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，兩端面的相對扭轉角為：,對于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的階梯狀圓軸，軸兩端面的相對扭轉

10、角為：,單位長度的相對扭轉角,在很多情形下，兩端面的相對扭矩角不能反映圓軸扭轉變形的程度，因而更多采用單位長度扭轉角表示圓軸的扭轉變形，單位長度扭轉角即扭轉角的變化率。單位長度相對扭轉角為：,受扭圓軸的剛度設計準則,為了機械運動的穩(wěn)定和工作精度，機械設計中要根據(jù)不同要求，對受扭圓軸的變形加以限制，亦即進行剛度設計。,扭轉剛度設計是將單位長度上的相對扭轉角限制在允許的范圍內，即必須使構件滿足剛度設計準則或稱剛度條件：,對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，剛度設計準則又可以寫成：,受扭圓軸的剛度設計準則,其中， 為單位長度上的許用相對扭轉角，其數(shù)值根據(jù)軸的工作要求而定。例如，精密機械的軸 (0.25

11、0.5) ()m；一般傳動軸 (0.51.0) ()m；剛度要求不高的軸 2 （）m。,需要注意的是：剛度設計中要注意單位的一致性。上式不等號左邊的單位為rad/m；而右邊通常所用的單位為()m。因此，在實際設計中，若不等式兩邊均采用radm，則必須在不等式右邊乘以（180）；若兩邊均采用()m，則必須在左邊乘以（180）。,受扭圓軸的剛度設計準則,鋼制空心圓軸的外直徑D100 mm，內直徑d50 mm。若要求軸在2m長度內的最大相對扭轉角不超過1.5，材料的剪切彈性模量G80.4 GPa。,例 題 5,解：1確定軸所能承受的最大扭矩 根據(jù)剛度設計準則，有,1. 求該軸所能承受的最大扭矩； 2. 確定此時軸橫截面上的最大剪應力。,例 題 5,解：1確定軸所能承受的最大扭矩 根據(jù)剛度設計準則，有,由已知條件，許用的單位長度上相對扭轉角為,空心圓軸截面的極慣性矩,軸所能承受的最大扭矩為,例 題 5,軸所能承受的最大扭矩為,9.688103 N.m9.688 kN.m,例：兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C受外力偶矩m作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。,扭轉靜不定問題,解：,靜力平