1、,華中科技大學(xué)控制系：樊 慧津,自動控制原理(Automatic Control Theory),學(xué)時： 48+8/3.5 考試：閉卷考試 參考書目： 王敏，秦肖臻編 自動控制原理。 北京：化學(xué)工業(yè)出版社， 2003 孫德寶主編。自動控制原理。 北京：化學(xué)工業(yè)出版社， 2002 胡壽松主編。自動控制原理。第三版。 北京：國防工業(yè)出版社，1994 王劃一主編。自動控制原理。 北京：國防工業(yè)出版社， 2001,實驗安排 4周（332/322），8，11周（620）南一樓 0401-0402班 周一（11-12） 0403-0404班 周四（11-12） 4周（332/322），7，11周（620）

2、南一樓 0405-0406班 周二（9-10） 0407-0408班 周二（11-12） 14周 計算中心四樓401機(jī)房 0401-0408班 周五（1-2）,3,主要內(nèi)容 緒論 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性系統(tǒng)的時域分析 線性系統(tǒng)的頻域分析 線性系統(tǒng)的校正方法 線性離散控制系統(tǒng)（采樣系統(tǒng)分析） 狀態(tài)空間分析設(shè)計,4,第一章 緒論,1.1 自動控制的基本概念：明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、控制裝置和自控系統(tǒng)等概念。 1.2 自動控制理論的發(fā)展：了解自動控制理論發(fā)展的四個主要階段。 1.3 控制系統(tǒng)的分類：明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征 1.4 對控制系統(tǒng)的基本要求：明確

3、對自控系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標(biāo)的含義。,5,手動控制,人在控制過程中起三個作用： （1）觀測：用眼睛去觀測溫度計和轉(zhuǎn)速表的指示值； （2）比較與決策：人腦把觀測得到的數(shù)據(jù)與要求的數(shù)據(jù)相比較，并進(jìn)行判斷，根據(jù)給定的控制規(guī)律給出控制量； （3）執(zhí)行：根據(jù)控制量用手具體調(diào)節(jié)，如調(diào)節(jié)閥門開度、改變觸點位置。,控制：操縱，節(jié)制使不超出范圍或隨意活動。,6,1.1 自動控制的基本概念,在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的眾多領(lǐng)域中，自動控制技術(shù)起著越來越重要的作用。如數(shù)控車床按預(yù)定程序自動切削，人造衛(wèi)星準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道并回收等。 除了在工業(yè)上廣泛應(yīng)用外，近幾十年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，在宇航、機(jī)器人控制、

4、導(dǎo)彈制導(dǎo)及核動力等高新技術(shù)領(lǐng)域中，自動控制技術(shù)更具特別重要的作用。不僅如此，自動控制技術(shù)的應(yīng)用范圍現(xiàn)在已擴(kuò)展到生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)管理和其它許多社會生活領(lǐng)域中，特別在化學(xué)工業(yè)中的應(yīng)用有傳熱設(shè)備控制，反應(yīng)器控制，流體輸送設(shè)備控制，精餾塔控制等。自動控制已成為現(xiàn)代社會生活中不可缺少的一部分。,7,自動控制：自動控制，就是在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置（控制裝置），使機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過程（控制對象）的某個工作狀態(tài)或參數(shù)（被控量）自動地按照預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。,自動控制系統(tǒng)：是指能夠?qū)Ρ豢貙ο蟮墓ぷ鳡顟B(tài)進(jìn)行自動控制的系統(tǒng)。它是控制對象以及參與實現(xiàn)其被控制量自動控制的裝置或元部件的組合，一

5、般由控制裝置和被控對象組成。一般包括三種機(jī)構(gòu)：測量機(jī)構(gòu)、比較機(jī)構(gòu)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)。 自動控制系統(tǒng)的功能和組成是多種多樣的，其結(jié)構(gòu)有簡單也有復(fù)雜。它可以只控制一個物理量，也可以控制多個物理量甚至一個企業(yè)機(jī)構(gòu)的全部生產(chǎn)和管理過程；它可以是一個具體的工程系統(tǒng)，也可以是比較抽象的社會系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)或經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。,8,控制系統(tǒng)分析：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求取系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)性能指標(biāo)，并據(jù)此評價系統(tǒng)的過程稱為控制系統(tǒng)分析。 控制系統(tǒng)設(shè)計（或綜合）：根據(jù)控制對象和給定系統(tǒng)的性能指標(biāo)，合理的確定控制裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)，稱為控制系統(tǒng)設(shè)計。 被控量 ：指被控對象中要求保持給定值、要按給定規(guī)律變化的物理量。被控

6、量又稱輸出量、輸出信號 。 給定值：系統(tǒng)輸出量應(yīng)達(dá)到的數(shù)值（例如與要求的爐溫對應(yīng)的電壓）。 擾動：是一種對自動控制系統(tǒng)輸出量起反作用的信號，如電源電壓的波動、環(huán)境溫度的變化。,9,開環(huán)控制是指系統(tǒng)的被控制量（輸出量）只受控于控制作用，而對控制作用不能反施任何影響的控制方式。采用開環(huán)控制的系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。 優(yōu)點：結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉，易于實現(xiàn) 缺點：對擾動沒有抑制能力，控制精度低,控制方式,開環(huán)控制,10,閉環(huán)控制,閉環(huán)控制是指系統(tǒng)的被控制量（輸出量）與控制作用之間存在著負(fù)反饋的控制方式。采用閉環(huán)控制的系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)或反饋控制系統(tǒng)。閉環(huán)控制是一切生物控制自身運(yùn)動的基本規(guī)律。人本身就是一

7、個具有高度復(fù)雜控制能力的閉環(huán)系統(tǒng)。 優(yōu)點：具有自動補(bǔ)償由于系統(tǒng)內(nèi)部和外部干擾所引起的系統(tǒng)誤差（偏差）的能力，因而有效地提高了系統(tǒng)的精度。 缺點：系統(tǒng)參數(shù)應(yīng)適當(dāng)選擇，否則可能不能正常工作。,11,反饋的概念,反饋：把輸出量送回到系統(tǒng)的輸入端并與輸入信號比較的過程。若反饋信號是與輸入信號相減而使偏差值越來越小，則稱為負(fù)反饋；反之，則稱為正反饋。顯然，負(fù)反饋控制是一個利用偏差進(jìn)行控制并最后消除偏差的過程，又稱偏差控制。同時，由于有反饋的存在，整個控制過程是閉合的，故也稱為閉環(huán)控制。,12,比較以上兩種控制方式,由于開環(huán)控制的特點是控制裝置只按照給定的輸入信號對被控制量進(jìn)行單向控制，而不對控制量進(jìn)行測

8、量并反向影響控制作用。這樣，當(dāng)爐溫偏離希望值時，開關(guān)K的接通或斷開時間不會相應(yīng)改變。因此，開環(huán)控制不具有修正由于擾動（使被控制量偏離希望值的因素）而出現(xiàn)的被控制量與希望值之間偏差的能力，即抗干擾能力差。 在閉環(huán)控制中，被控量一般是由測量裝置檢測并反饋到輸入端，然后由比較裝置將它與輸入信號綜合得到偏差（誤差），有時，測量與綜合作用是由一個裝置完成的，如水銀溫度計。由于采用了接觸式水銀溫度計，可以不斷對爐溫進(jìn)行測量和比較，根據(jù)爐溫的實際偏差進(jìn)行控制，提高了控制精度和抗干擾能力。,13,是開環(huán)和閉環(huán)控制相結(jié)合的一種控制方式。它是在閉環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，附加一個輸入信號或擾動信號的順饋通路，用來提高系

9、統(tǒng)的控制精度。順饋通路通常由對輸入信號的補(bǔ)償器或?qū)_動信號的補(bǔ)償器組成。 優(yōu)點：具有很高的控制精度，可以抑制幾乎所有的可量測擾動 缺點:補(bǔ)償器的參數(shù)要有較高的穩(wěn)定性,復(fù)合控制,14,方框圖的概念,方框 控制裝置和被控對象分別用方框表示 信號線 方框的輸入和輸出以及它們之間的聯(lián)接用帶箭頭的信號線表示 輸入信號 進(jìn)入方框的信號 輸出信號 離開方框的信號,15,開環(huán)控制系統(tǒng)方框圖,（被控制量）,輸入量：加在電阻絲兩端的電壓 被控制對象：爐子 被控制量（輸出量）：爐溫 控制裝置：開關(guān)K和電熱絲，對被控制量起控制作用。,16,閉環(huán)控制的電加熱爐方框圖,17,人取書的控制過程,18,閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖,1

10、9,反饋控制系統(tǒng)方框圖,反饋控制系統(tǒng)的組成、名詞術(shù)語和定義,20,1.2 自動控制理論的發(fā)展,自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。既是一門古老的、已臻成熟的學(xué)科，又是一門正在發(fā)展的、具有強(qiáng)大生命力的新興學(xué)科。從1868年馬克斯威爾（J.C.Maxwell）提出低階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)至今一百多年里，自動控制理論的發(fā)展可分為四個主要階段： 第一階段：經(jīng)典控制理論（或古典控制理論）的產(chǎn)生、發(fā)展和成熟； 第二階段：現(xiàn)代控制理論的興起和發(fā)展； 第三階段：大系統(tǒng)控制興起和發(fā)展階段； 第四階段：智能控制發(fā)展階段。,21,經(jīng)典控制理論,控制理論的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動調(diào)節(jié)原理，主要用于工業(yè)控

11、制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設(shè)計和制造飛機(jī)及船用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)等基于反饋原理的軍用裝備，進(jìn)一步促進(jìn)和完善了自動控制理論的發(fā)展。,1868年，馬克斯威爾（J.C.Maxwell）提出了低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù) 。 1875年和1896年，數(shù)學(xué)家勞斯（Routh）和赫爾威茨（Hurwitz）分別獨立地提出了高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，即Routh和Hurwitz判據(jù)。 二戰(zhàn)期間（1938-1945年）奈奎斯特（H.Nyquist）提出了頻率響應(yīng)理論 1948年，伊萬斯（W.R.Evans）提出了根軌跡法。至此，控制理論發(fā)展的第一階段基本完成，形成了以頻率法和根軌跡法為主要方法的經(jīng)

12、典控制理論。,22,經(jīng)典控制理論的基本特征,（1）主要用于線性定常系統(tǒng)的研究，即用于常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的分析與綜合； （2）只用于單輸入，單輸出的反饋控制系統(tǒng)； （3）只討論系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而忽視系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)，是一種對系統(tǒng)的外部描述方法。 基本方法：根軌跡法，頻率法，PID調(diào)節(jié)器 （頻域）,反饋控制是一種最基本最重要的控制方式，引入反饋信號后，系統(tǒng)對來自內(nèi)部和外部干擾的響應(yīng)變得十分遲鈍，從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和控制精度。與此同時，反饋作用又帶來了系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，正是這個曾一度困擾人們的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題激發(fā)了人們對反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行深入研究的熱情，推動了自動控制理論的發(fā)展與

13、完善。因此從某種意義上講，古典控制理論是伴隨著反饋控制技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展而逐漸完善和成熟起來的。,23,現(xiàn)代控制理論,經(jīng)典控制理論只適用于單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，只注重系統(tǒng)的外部描述而忽視系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。在實際應(yīng)用中有很大局限性。 隨著航天事業(yè)和計算機(jī)的發(fā)展，20世紀(jì)60年代初，在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上，以線性代數(shù)理論和狀態(tài)空間分析法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論迅速發(fā)展起來。 1954年貝爾曼（R.Belman)提出動態(tài)規(guī)劃理論 1956年龐特里雅金（L.S.Pontryagin）提出極大值原理 1960年卡爾曼（R.K.Kalman)提出多變量最優(yōu)控制和最優(yōu)濾波理論 在數(shù)學(xué)工具、理論基礎(chǔ)和研究方法

14、上不僅能提供系統(tǒng)的外部信息（輸出量和輸入量），而且還能提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的信息。它無論對線性系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)或時變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)或多變量系統(tǒng)，都是一種有效的分析方法。 基本方法：狀態(tài)方程 （時域）,大系統(tǒng)理論,20世紀(jì)70年代開始，現(xiàn)代控制理論繼續(xù)向深度和廣度發(fā)展，出現(xiàn)了一些新的控制方法和理論。如（1）現(xiàn)代頻域方法 以傳遞函數(shù)矩陣為數(shù)學(xué)模型，研究線性定常多變量系統(tǒng)；（2）自適應(yīng)控制理論和方法 以系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計為基礎(chǔ)，在實時辨識基礎(chǔ)上在線確定最優(yōu)控制規(guī)律；（3）魯棒控制方法 在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性和其它性能基礎(chǔ)上，設(shè)計不變的魯棒控制器，以處理數(shù)學(xué)模型的不確定性。,25,隨著控制理論應(yīng)

15、用范圍的擴(kuò)大，從個別小系統(tǒng)的控制，發(fā)展到若干個相互關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的大系統(tǒng)進(jìn)行整體控制，從傳統(tǒng)的工程控制領(lǐng)域推廣到包括經(jīng)濟(jì)管理、生物工程、能源、運(yùn)輸、環(huán)境等大型系統(tǒng)以及社會科學(xué)領(lǐng)域。 大系統(tǒng)理論是過程控制與信息處理相結(jié)合的系統(tǒng)工程理論，具有規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、功能綜合、目標(biāo)多樣、因素眾多等特點。它是一個多輸入、多輸出、多干擾、多變量的系統(tǒng)。大系統(tǒng)理論目前仍處于發(fā)展和開創(chuàng)性階段。,智能控制,是近年來新發(fā)展起來的一種控制技術(shù)，是人工智能在控制上的應(yīng)用。智能控制的概念和原理主要是針對被控對象、環(huán)境、控制目標(biāo)或任務(wù)的復(fù)雜性提出來的，它的指導(dǎo)思想是依據(jù)人的思維方式和處理問題的技巧，解決那些目前需要人的智

16、能才能解決的復(fù)雜的控制問題。被控對象的復(fù)雜性體現(xiàn)為:模型的不確定性，高度非線性，分布式的傳感器和執(zhí)行器，動態(tài)突變，多時間標(biāo)度，復(fù)雜的信息模式，龐大的數(shù)據(jù)量，以及嚴(yán)格的特性指標(biāo)等。智能控制是驅(qū)動智能機(jī)器自主地實現(xiàn)其目標(biāo)的過程,27,智能控制是從“仿人”的概念出發(fā)的。其方法包括學(xué)習(xí)控制、模糊控制、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)控制和專家控制等方法。,28,1.3 控制系統(tǒng)的分類 恒值系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)（按參考輸入形式分類） 恒值系統(tǒng)是指參考輸入量保持常值的系統(tǒng)。其任務(wù)是消除或減少擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響，使被控制量（即系統(tǒng)的輸出量）保持在給定或希望的數(shù)值上。 隨動系統(tǒng)是指參考輸入量隨時間任意變化的系統(tǒng)。其任務(wù)是要求輸出量

17、以一定的精度和速度跟蹤參考輸入量，跟蹤的速度和精度是隨動系統(tǒng)的兩項主要性能指標(biāo)。,29,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)（按照組成系統(tǒng)的元件特性分類） 線性系統(tǒng)是指構(gòu)成系統(tǒng)的所有元件都是線性元件的系統(tǒng)。其動態(tài)性能可用線性微分方程描述，系統(tǒng)滿足疊加原理。 非線性系統(tǒng)是指構(gòu)成系統(tǒng)的元件中含有非線性元件的系統(tǒng)。其只能用非線性微分方程描述，不滿足疊加原理。同時把可以進(jìn)行線性化處理的系統(tǒng)或元件特性稱為非本質(zhì)非線性特性。反之，稱之為本質(zhì)非線性，它只能用非線性理論分析研究。,30,連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)（按照系統(tǒng)內(nèi)信號的傳遞形式分類） 連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)各處的信號都是以連續(xù)的模擬量傳遞的系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)內(nèi)某處或數(shù)處信號是以

18、脈沖序列或數(shù)碼形式傳遞的系統(tǒng)則稱為離散系統(tǒng)。其脈沖序列可由脈沖信號發(fā)生器或振蕩器產(chǎn)生，也可用采樣開關(guān)將連續(xù)信號變成脈沖序列，這類控制系統(tǒng)又稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。而用數(shù)字計算機(jī)或數(shù)字控制器控制的系統(tǒng)又稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機(jī)控制系統(tǒng)。,31,1.4 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),32,穩(wěn)定性 系統(tǒng)在受到擾動作用后自動返回原來的平衡狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)受到擾動作用（系統(tǒng)內(nèi)或系統(tǒng)外）后，能自動返回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特征是其輸出量具有非發(fā)散性；反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,33,動態(tài)性能 當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動的影響或者參考輸入發(fā)生變化時，被控量會隨之發(fā)生變化，經(jīng)過一段時間，被

19、控量恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或到達(dá)一個新的給定狀態(tài)，稱這一過程為過渡過程 在時域中，常用單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出的超調(diào)量p ,上升時間Tr ，峰值時間Tp ,過渡過程時間（或調(diào)整時間）Ts和振蕩次數(shù)N等特征量表示。,34,穩(wěn)態(tài)誤差 指穩(wěn)定系統(tǒng)在完成過渡過程后的穩(wěn)態(tài)輸出偏離希望值的程度。開環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常與系統(tǒng)的增益或放大倍數(shù)有關(guān)，而反饋控制系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）的控制精度主要取決于它的反饋深度。穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)的精度越高，它由系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出來。,35,作 業(yè) Page 6. 2, 3 Due date: 29th Sep. 周六,36,小 結(jié) 明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、控

20、制裝置和自控系統(tǒng)等概念。 了解自動控制理論發(fā)展的四個主要階段。 明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征 明確對自控系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標(biāo)的含義。,37,預(yù)備知識,復(fù)變函數(shù)：Laplace變換（拉氏變換）, Z變換 常微分方程解法：Laplace變換和反變換 電路理論 基本的電子學(xué)和力學(xué)知識,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1 基本概念：數(shù)學(xué)模型及常見的系統(tǒng)。 2.2 時域模型 - 微分方程：微分方程的建立及線性化。 2.3 復(fù)域模型 傳遞函數(shù)：借助拉氏變換，給出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。經(jīng)典控制理論中引用最廣泛的一種模型。 2.4 控制系統(tǒng)方塊圖：掌握方塊圖的建立及化簡。 2.5

21、 狀態(tài)空間模型：控制系統(tǒng)的內(nèi)部模型，描述了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)、系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)輸入之間的關(guān)系，深入地揭示了系統(tǒng)的動態(tài)特性，是現(xiàn)代控制理論分析、設(shè)計系統(tǒng)的基礎(chǔ)。掌握系統(tǒng)的狀態(tài)變量表達(dá)式的求取及它與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。,2.1 基本概念,定義：數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的目的 是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。 自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。通過數(shù)學(xué)模型來研究自控系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律。 建立方法 解析法（機(jī)理模型）：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量

22、之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 實驗法（實驗建模 ）：對系統(tǒng)施加典型測試信號（脈沖、階躍或正弦信號），記錄系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線或頻率響應(yīng)曲線，從而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率特性,常見的控制系統(tǒng),1、集中參數(shù)系統(tǒng) 變量僅僅是時間的函數(shù)。這類系統(tǒng)建立的動態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是微分方程。 2、分布參數(shù)系統(tǒng) 變量不僅是時間函數(shù)，而且還是空間的函數(shù)。這類系統(tǒng)建立的動態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程。如很大的蒸餾罐，溫度隨空間位置不同是有梯度變化的。在實際系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)都是分布式參數(shù)系統(tǒng)，但由于偏微分方程求解比較困難，因此在一定誤差允許范圍內(nèi)，對系統(tǒng)作一個近似，近似為集中參數(shù)系統(tǒng)，這樣就可以用

23、微分方程進(jìn)行分析。,41,3、線性系統(tǒng) 能夠用線性數(shù)學(xué)模型(線性的代數(shù)方程、微分方程、差分方程等)描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的基本特性，即輸出響應(yīng)特性、狀態(tài)響應(yīng)特性、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性等均滿足線性關(guān)系。 對于控制系統(tǒng)而言，由線性元件構(gòu)成的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，其運(yùn)動方程一般為線性微分方程。若其各項系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)。 在動態(tài)研究中，如果系統(tǒng)在多個輸入作用下的輸出等于各輸入單獨作用下的輸出和（可加性），并且當(dāng)輸入增大倍數(shù)時，輸出相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)（均勻性），就滿足疊加原理，因而系統(tǒng)可以看成線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)：描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，其特性是不能應(yīng)用疊加原理。,42,4、非線

24、性系統(tǒng) 不滿足疊加原理的系統(tǒng)，就是非線性系統(tǒng)。因此非線性系統(tǒng)對兩個輸入量的響應(yīng)不能單獨進(jìn)行計算，因此系統(tǒng)分析將比較困難，很難找到一般通用方法。但在實際系統(tǒng)中，絕對線性的系統(tǒng)是不存在的，通常所謂的線性系統(tǒng)也是在一定的工作范圍內(nèi)才保證線性的，如放大器，在小信號時可能出現(xiàn)“死區(qū)”，在大信號時，又可能出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，如圖所示即為幾種常見的非線性的關(guān)系曲線。,顯然上面的微分方程不容易求解，系統(tǒng)分析很困難，所以常常需要引入“等效”線性系統(tǒng)來代替非線性系統(tǒng)，這種等效線性系統(tǒng)僅在有限的工作范圍內(nèi)是正確的。我們下面研究的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)或能等效為線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)。,非線性微分方程：,43,5、線性定常系統(tǒng) 如

25、果描述一個線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為常數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。 如,6、線性時變系統(tǒng) 如果描述一個線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時間的函數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。 如,44,建立合理的數(shù)學(xué)模型,建立的數(shù)學(xué)模型既有準(zhǔn)確性，又有簡化性 一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)及要求的計算精度，略去一些次要因素，使模型既能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的 動態(tài)本質(zhì)，又能簡化分析計算的工作。 除非系統(tǒng)含有強(qiáng)非線性或參數(shù)隨時間變化較大，一般盡可能采用線性定常數(shù)學(xué)模型描述自動控制系統(tǒng),2.2 時域模型 - 微分方程,2.2.1. 建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟,確定元件輸入量和輸出量 根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出元件的原始方程 在可能

26、條件下，對各元件的原始方程進(jìn)行適當(dāng)簡化，略去一些次要因素或進(jìn)行線性化處理 消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關(guān)系的微分方程 對微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量相關(guān)的各項置于等號左側(cè)，而與輸入量相關(guān)的置于等號右邊；等號左右各項均按降冪排列；將各項系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式,46,例2.1 機(jī)械位移系統(tǒng),如圖表示一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)。f (t)為一作用在運(yùn)動部件上 的外加作用力，系統(tǒng)產(chǎn)生的位移為y(t)，運(yùn)動部件質(zhì)量用M表示，B為阻尼器的阻尼系數(shù)， K為彈簧的彈性系數(shù)。要求寫出系統(tǒng)在外力f (t)作用下的運(yùn)動方程式。, 選擇f (t)為系統(tǒng)的輸入，y(t)為系統(tǒng)的輸出。 列出原始方程式。

27、根據(jù)牛頓第二定律，有：,式中 f 1(t)阻尼器阻力； f 2(t)彈簧力。,在忽略彈簧質(zhì)量的情況下,2.2.2. 微分方程,47,f1(t)和f2(t)為中間變量，消去中間變量，整理得,方程兩邊同時除以 K,令,則有,例2.2 RLC電路,設(shè)回路電流為 ,由克?；舴蚨蓪懗龌芈贩匠虨椋?確定元件的輸入、輸出 Input： ur(t) Output: uc(t),消去中間變量 ，得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為,例2.3,設(shè)流體是不可壓縮的，應(yīng)滿足物質(zhì)守恒定律，可得：,由流量公式得,圖2-4 液位流體系統(tǒng),50,具有相同結(jié)構(gòu)微分方程的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng) 例如：R-L-C電路與彈簧-質(zhì)量-阻尼

28、器系統(tǒng)，雖然這兩個系統(tǒng)就系統(tǒng)本質(zhì)而言完全不同，但其具有相同結(jié)構(gòu)的微分方程。,拉氏變換法求解步驟： 1. 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3. 對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。,2.2.3. 線性定常微分方程的求解,求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。,拉氏(laplace)變換 定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t=0時有定義，而且積分 存在，其中s是復(fù)數(shù),則稱F(s)是f(t)的象函數(shù),即f(t)的拉氏變換。記為 f(t)稱為 F(s)的原函數(shù)。,拉氏反變換為,53,單位階躍函數(shù)1(

29、t) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 單位脈沖函數(shù) 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為,54,幾個重要的拉氏變換,55,拉氏變換的基本性質(zhì) (1) 線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2) 微分性質(zhì) 若 ，則有 f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。,(3) 積分性質(zhì) 若 則 式中 為積分 當(dāng)t=0時的值。,56,(4) 終值定理 即原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。,(5) 初值定理： (6) 位移定理： a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其 象函數(shù)應(yīng)乘以 b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng) 乘以 ，即,57,例2.4：用拉氏變換解微分方

30、程,58,59,練習(xí),方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得 整理得,方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得 若 則,系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示,重點 建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式 例如：牛頓第二定律、克?；舴蚨?、質(zhì)量守恒定律，剛體旋轉(zhuǎn)定律等 建立的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 特點： 方法直觀，但是微分方程的求解麻煩，尤其是高階系統(tǒng)。,2.3 復(fù)域模型 傳遞函數(shù),2.3.1. 傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì),定義： 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比。 問題的提出 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且還可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響,所謂零初始條件是指 1）輸入量在t

31、0時才作用在系統(tǒng)上，即在 時系統(tǒng)輸入及各項導(dǎo)數(shù)均為零； 2）輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在 時系統(tǒng)輸出及其所有導(dǎo)數(shù)項為零。,62,設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值為0，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，可得s的代數(shù)方程為： 由定義得系統(tǒng)得傳遞函數(shù)為,設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述： 式中c(t)為系統(tǒng)輸出量，r(t)為系統(tǒng)輸入量，ai(i=1，2，3n)和 bj (j= 1,2,3.m )是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù),分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次，該系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。,試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s).,例2.5 如圖RLC電路，,

32、解: 零初始條件下取拉氏變換：,傳遞函數(shù)：,64,性質(zhì) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項式的次數(shù)m 低于或等于分母多項的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實數(shù)； 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換； 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性.） 只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，不能表征內(nèi)部所有狀態(tài)的特征。 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 服從不同動力學(xué)規(guī)律的系統(tǒng)可有同樣的傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)，因此傳遞函

33、數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。,65,傳遞函數(shù)的物理意義 顯然，在零初始條件下，若線性定常系統(tǒng)的輸入的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為 系統(tǒng)的輸出為 由于單位脈沖輸入信號的拉氏變換為 所以，單位脈沖輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為,66,單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為g(t),則 可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。,67,作 業(yè) Page 41. 2-5, Due date: 29th Sep. 周六,68,2.3.2. 典型環(huán)節(jié)的傳遞

34、函數(shù),比例環(huán)節(jié): 輸出量無滯后，按比例復(fù)現(xiàn)輸入量,電位器,69,慣性環(huán)節(jié) 該環(huán)節(jié)存在儲能元件，典型慣性環(huán)節(jié)的微分方程為一階常微分方程，其特點是當(dāng)系統(tǒng)輸入有階躍變化時，系統(tǒng)輸出是由零逐漸跟上，如圖所示。(a)為系統(tǒng)的輸入變化，(b)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。輸出按單調(diào)指數(shù)規(guī)律上升.,70,積分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量對時間的積分成正比,微分環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成正比,積分放大器原理,71,例2.6：如圖所示衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng),對偏航角的控制,其中A、B為斜對稱配置的噴氣發(fā)動機(jī)，推力均為F/2，成對工作。每個發(fā)動機(jī)到質(zhì)心的距離為l，那么產(chǎn)生的力矩為T=Fl，假設(shè)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量為J，角位移(t)為輸出量，產(chǎn)

35、生的力矩T為輸入量，那么根據(jù)牛頓第二定律，注意到在衛(wèi)星周圍的環(huán)境中不存在摩擦，所以有,其中TJ/l,這是由兩個積分環(huán)節(jié)組成的。,72,振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)） 該環(huán)節(jié)存在兩個儲能元件，且所儲兩種能量可以互相轉(zhuǎn)換，故動態(tài)過程表現(xiàn)出振蕩特性,73,：無阻尼自然振蕩頻率 ：阻尼比,延滯環(huán)節(jié) 延滯時間（死區(qū)時間） 輸出量相對于輸入量滯后一個恒定時間,75,關(guān)于典型環(huán)節(jié)的幾點說明,一個不可分割的裝置或元件可能含有若干典型環(huán)節(jié) 例如：無源網(wǎng)絡(luò) 同一元部件，若選擇不同的輸入量和輸出量，將由不同的典型環(huán)節(jié)組成,C,R,ur（t）,uc（t）,76,有理分式形式 傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式 傳遞函數(shù)的分

36、母多項式 D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項式, D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。 分母多項式的階次定義為系統(tǒng)的階次。對于實際的物理系統(tǒng)，多項式D(s)、N(s)的所有系數(shù)為實數(shù)，且分母多項式的階次 n高于或等于分子多項式的階次m，即 nm。,2.3.3.傳遞函數(shù)的表示方式,77,零極點形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検剑缓笤趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得 nm （2.66）,式中 ，稱為系統(tǒng)的零點； 為系統(tǒng)的極點； 為系統(tǒng)的根軌跡增益。 系統(tǒng)零點、極點的分布決定了系統(tǒng)的特性，因此，可以畫出傳遞函數(shù)的零極點圖，直接分析系統(tǒng)特性。在零極點圖上，用“ ”表示

37、極點位置，用“ ”表示零點,78,例如，傳遞函數(shù) 的零極點圖如圖2.9所示。,79,時間常數(shù)形式 將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槲惨欢囗検?，然后在?fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，得,式中， 為傳遞系數(shù)，通常也為系統(tǒng)的放大系數(shù)； 為系統(tǒng)的時間常數(shù)。,2.4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的基本組成 微分方程、傳遞函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，都是用純數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述系統(tǒng)特性，不能反映系統(tǒng)中各元部件對整個系統(tǒng)性能的影響。 定義: 由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 結(jié)構(gòu)圖又稱為方框圖、方塊圖等，既能描述系統(tǒng)中各變量間的定量關(guān)系，又能明顯地表示系統(tǒng)各部件對系統(tǒng)性能的影響。,

38、方框（環(huán)節(jié)） 方框表示對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)輸出的象函數(shù)等于輸入的象函數(shù)乘以方框中的傳遞函數(shù)或者頻率特性 信號線 信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁邊標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點.,綜合點（比較點） 比較點表示對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算，“”表示相加，“”表示相減。進(jìn)行相加或相減的量應(yīng)具有相同的量綱單位 分支點（引出點） 引出點表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。,82,結(jié)構(gòu)圖特點,結(jié)構(gòu)圖是方塊圖與微分方程（傳函）的結(jié)合。一方面它直觀反映了整個

39、系統(tǒng)的原理結(jié)構(gòu)（方塊圖優(yōu)點），另一方面對系統(tǒng)進(jìn)行了精確的定量描述（每個信號線上的信號函數(shù)均可確定地計算出來） 能描述整個系統(tǒng)各元部件之間的內(nèi)在聯(lián)系和零初始條件下的動態(tài)性能，但不能反映非零條件下的動態(tài)性能 結(jié)構(gòu)圖最重要的作用：計算整個系統(tǒng)的傳函 對同一系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖具有非唯一性；簡化也具有非唯一性。但得到的系統(tǒng)傳函是確定唯一的. 結(jié)構(gòu)圖中方塊實際元部件，因為方框可代表多個元件的組合，甚至整個系統(tǒng),83,結(jié)構(gòu)圖的繪制,建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程 對各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的方框圖和比較點。 置系統(tǒng)輸入量于左端，輸出量于右端，便得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 從與系統(tǒng)輸入量有關(guān)的比較點開始，

40、依據(jù)信號流向，把各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。,例2.8 繪制如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 中間變量：i, i1, i2; 信號量：ur, uc 根據(jù)電路定律，得到以下方程,84,按照上述方程，可以 分別繪制相應(yīng)元件的結(jié)構(gòu)圖，如圖 (a) (d)所示。然后，根據(jù)相互關(guān)系將這些結(jié)構(gòu)圖在相同信號處連接起來，就得到整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,練習(xí) 繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。,為了便于系統(tǒng)分析和設(shè)計，常常需要對系統(tǒng)的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖作等價變換，或者通過變換使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化，求取系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。因此，結(jié)構(gòu)圖變換是控制理論的基本內(nèi)容。,2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的化簡,等效變換的原則 結(jié)構(gòu)圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對結(jié)構(gòu)

41、圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前后輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變 結(jié)構(gòu)圖的基本組成形式 串聯(lián)連接 并聯(lián)連接 反饋連接,87,等效變換的法則,串聯(lián)連接的等效變換傳遞函數(shù)的串聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的積。,上述結(jié)論可以推廣到多個傳遞函數(shù)的串聯(lián)，即n個傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個傳遞函數(shù)的乘積。,88,并聯(lián)連接的等效變換 傳遞函數(shù)的并聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的和。,上述結(jié)論可以推廣到多個傳遞函數(shù)的并聯(lián)，即n個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個傳遞函數(shù)的和。,89,反饋連接的等效變換,90,比較點（綜合點）和引出點的移動在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化的過程中，有時為了便于進(jìn)行方框的串

42、聯(lián)、并聯(lián)或者反饋連接的計算，需要移動比較點或引出點的位置。 比較點前后移動,91,引出點前后移動,92,注意,對綜合點和分支點進(jìn)行移動位置，消除交叉回路。但在移動中一定要注意以下幾點： 必須保持移動前后信號的等效性； 相鄰綜合點可以互相換位和合并； 相鄰分支點可以互相換位； 綜合點和分支點之間一般不宜交換位置。,93,94,95,例2.9,97,例2.10：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s),顯然若不移動比較點或引出點的位置就無法化簡。,98,首先將 間的引出點后移到方框的輸出端 接著將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其等效傳遞函數(shù)為,99,得到圖為 然后將 組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡化，其

43、等效傳遞函數(shù)為：,100,得到圖為 最后將求得其傳遞函數(shù)為：,101,作 業(yè) Page 42. 2-6(繪制(a).(b).的方框圖）, 2-12 Due date: 11th Oct. 周四,102,練習(xí)：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s),顯然化簡該結(jié)構(gòu)圖也需要移動比較點和引出點，需要注意得是，引出點和比較點之間是不宜隨便移動的。因此我們將比較點前移，將引出點后移。 得到圖為,103,將兩個比較點合并，并將求出 的等效傳遞函數(shù)： 得到圖為 得到系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)：,2.4.3 閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)常采用反饋結(jié)構(gòu)，又稱閉環(huán)控制系統(tǒng)。通常，控制系統(tǒng)會受到兩類外作

44、用信號的影響。一類是有用信號，或稱為輸入信號、給定值、參考輸入等，常用r(t)表示；另一類則是擾動，或稱為干擾、噪聲等，常用n(t)表示。 通過對反饋控制系統(tǒng)建立微分方程模型，直接在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，可求取反饋控制系統(tǒng)的傳函。 通過對反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化也能求傳函。,反饋通道傳遞函數(shù) 從輸出端反送到參考輸入端的信號通道，稱為反饋通道,前向通道傳遞函數(shù) 前向通道是指從輸入端到輸出端的通道,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 上圖中將反饋的輸出通路斷開，反饋信號對于參考輸入信號的傳遞函數(shù)稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。這時前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令

45、，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)輸出為：,作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令 ，這時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如上圖，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)輸出為：,108,系統(tǒng)總輸出 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各外作用引起輸出的綜合因而得到系統(tǒng)總輸出為：,109,閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 誤差定義為被控量的測量輸出 和給定輸入 之差 或 作用下的誤差，輸入結(jié)構(gòu)圖 誤差傳遞函數(shù),n(t)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) ，輸入結(jié)構(gòu)圖 誤差傳遞函數(shù) 總誤差,110,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程,上面導(dǎo)出閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)雖然各不相同，但是他們的分母卻是一樣的。均為： 令 并稱其為閉環(huán)特征方程。將其改寫為如下形式： 對

46、給定的系統(tǒng)而言，特征多項式是唯一的，即閉環(huán)極點的分布是唯一的。 閉環(huán)系統(tǒng)的極點與控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān) 特征多項式與開環(huán)傳函相關(guān)，因此其動態(tài)特性可用開環(huán)傳函分析,這是閉環(huán)控制系統(tǒng)各種傳遞函數(shù)都具有的的規(guī)律性，稱其為特征多項式,可以是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，稱為特征方程的根，或稱為閉環(huán)系統(tǒng)的極點,111,例2.11 如圖所示位置隨動系統(tǒng)的方塊圖，求系統(tǒng)在給定值r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)及在負(fù)載力矩ML作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并求兩信號同時作用下，系統(tǒng)總輸出c(t)的拉氏變換式。,解,（1）求 作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),令ML=0，運(yùn)用串聯(lián)及反饋法則，可求得：,r(t),112,（2）求

47、ML作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),令r(t) =0，系統(tǒng)以ML為輸入的方塊圖如圖(a)所示。,經(jīng)方塊圖變換后如圖(b)所示可求得：,(a),(b),113,（3）系統(tǒng)在給定值r(t)作用及在負(fù)載力矩ML作用下的總輸出為兩部分迭加，即,114,2.5 狀態(tài)空間模型（現(xiàn)代控制理論）,定義 在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型（內(nèi)部表達(dá)）。 優(yōu)點 能完全表達(dá)出系統(tǒng)的全部狀態(tài)和性能（內(nèi)部和外部） 能了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特性 容易考慮初始條件 適用范圍廣: 時變系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)，多輸入多輸出 便于設(shè)計,115,預(yù)備知識有關(guān)矩陣的微分,1、向量函數(shù)對數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2、矩陣函

48、數(shù)對數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3、數(shù)量函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù) 4、向量函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù) 5、矩陣函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù),116,1、向量函數(shù)對數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2、矩陣函數(shù)對數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),117,3、數(shù)量函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù),4、向量函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù),118,5、矩陣函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù),119,2.5.1. 狀態(tài)變量表達(dá)式相關(guān)概念,如圖所示的RLC電路，其輸入電壓為ur(t)，該電路中的四個物理量i(t)、uR(t)、uL(t)、uC(t)反映著系統(tǒng)各方面的特征，根據(jù)線性電路知識，這個電路有兩個儲能元件，即電感L和電容C，因此只能有兩個物理量是獨立的，而其余的物理量必能用這兩個獨立的物理量來表示。當(dāng)選i(t)、Uc(t)

49、為獨立變量時，則其它變量可表示為：,由解微分方程可知，如果已知初始條件i(0)、uc(0)以及t0的ur(t),那么在t0后的任一時刻的解就完全被確定了。,120,如方程組采用狀態(tài)向量表示時,令 為系統(tǒng)輸入，,( 狀態(tài)方程 ),如果以uC(t)為系統(tǒng)輸出，用y 表示，則有,( 輸出方程 ),系統(tǒng)輸出也可能并不一定是狀態(tài)變量，但前面提到，其它的量如uR(t)或uL(t)等一定能用狀態(tài)變量來表示。即輸出可以寫成狀態(tài)變量的線性組合,因此輸出方程一定是代數(shù)方程,121,寫為矩陣形式如,狀態(tài)空間模型,122,基本概念 狀態(tài)：系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。 狀態(tài)變量：狀態(tài)變量指能確定系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最少數(shù)目的

50、一組變量。 狀態(tài)向量：若以n個狀態(tài)變量 做為向量 的分量，則稱 為狀態(tài)向量。 狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量 為基構(gòu)成的n維空間。 狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。,123,狀態(tài)方程的一般形式 單輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng) 式中常系數(shù) 與系統(tǒng)特性有關(guān)。 上式可以寫成向量矩陣形式： 其中,124,多輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng) 向量矩陣形式為： 其中,125,輸出方程：系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系稱為輸出方程。輸出量由系統(tǒng)任務(wù)確定或給定 單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出方程的一般形式為 式中常系數(shù) 與系統(tǒng)特性有關(guān)。 其向量矩陣形式為：,多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出方程的一般形式為 其

51、向量矩陣形式為：,126,狀態(tài)空間表達(dá)式： 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱動態(tài)方程。,A(t):系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣） B(t):控制矩陣（輸入矩陣） C(t):觀測矩陣（輸出矩陣） D(t):直接傳遞矩陣,多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為,單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為,127,對于一般的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程可能還是狀態(tài)和輸入的非線性函數(shù),因此狀態(tài)方程和輸出方程可用如下向量方程表示,128,對于本節(jié)主要討論的線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式是,線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式動態(tài)結(jié)構(gòu)圖,129,對于本節(jié)主要討論的線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)空間模型

52、的標(biāo)準(zhǔn)形式是,130,2.5.2 由微分方程建立狀態(tài)變量表達(dá)式 步驟： 直接根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立相應(yīng)的微分(連續(xù)系統(tǒng)）或差分（離散系統(tǒng)）方程組。 針對微分方程，定義一組狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程，并根據(jù)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的輸出方程 。,狀態(tài)變量的選取,1. 狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 2. 選取方法 （1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 （2）可選取獨立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc 、質(zhì)量m 和速度v 等。,131,例2.14：試確定下圖中兩個電網(wǎng)絡(luò)的獨立狀態(tài)變量。圖中 分別為輸入

53、電壓、電流， 為輸出電壓， 為電容端或電感電流。 圖(a) 由于 因此三個變量中只有兩個 是獨立的，系統(tǒng)的狀態(tài)變 量可以是三者中的任意兩 個。,132,圖(b) 由于(b) 中有 ， 因此，它只有 一個獨立的狀態(tài)變 量，任意取 中 的一個即可。,133,例2.15：由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖示,有力F及阻尼器汽缸速度V兩種外作用，另輸出量為：質(zhì)量塊位移、速度和加速度。試寫出該雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧的彈性模量、阻尼系數(shù)，x為位移。,解：根據(jù)牛頓力學(xué)得到該系統(tǒng)的微分方程為： 它是二階系統(tǒng)，選擇質(zhì)量塊的位移和速度為狀態(tài)變量。令 系統(tǒng)

54、的三個輸出量為，,134,由系統(tǒng)的微分方程可導(dǎo)出下列狀態(tài)方程：,其向量矩陣形式為,狀態(tài)變量一般選可反映儲能元件能量變化的量（eg：電感電流、電容電壓、位置、速度）,135,線性微分方程中不含有輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 選取狀態(tài)變量： 則有：,136,系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,137,根據(jù)上式繪制的狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖如圖所示，每個積分器的輸出都是對應(yīng)的一個狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由積分器的輸入輸出關(guān)系確定，輸出方程在輸出端給出 ：,138,例2.16：,設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)過程用微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。 解：選取狀態(tài)變量為 則有：,1

55、39,將上式寫成矩陣微分方程形式,140,系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項,其一般形式為： 若選取狀態(tài)變量 則得到,在狀態(tài)方程中將會出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項,141,應(yīng)選擇以下n個變量作為一組狀態(tài)變量 則狀態(tài)變量如下,式中 是n個待定常數(shù).,142,輸出方程,狀態(tài)方程,對最后一個方程處理，,143,并將y (n）用下式代入,得到：,144,將上式中所有的輸出項以及輸出的導(dǎo)數(shù)項都用狀態(tài)和輸入的各階導(dǎo)數(shù)項表示有,145,令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為零，則有,令 則有,146,將上式改為矩陣向量形式為： 其中,d=h0bn,147,繪制出狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖如圖所示,148,例2.17：,設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)過程用

56、微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：選擇狀態(tài)變量為,149,150,根據(jù)上式寫出控制系統(tǒng)空間表達(dá)式為,d=0,151,例2.18：,設(shè)一控制系統(tǒng)的動態(tài)過程用微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 解：由題得,152,寫出狀態(tài)空間表達(dá)式為 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下,153,一般形式： 當(dāng)式中bn=0 時，還可以按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量。設(shè),154,則得到,155,因此可以得到（n-1）個狀態(tài)方程,輸出方程為,156,對下式求導(dǎo),并將y (n)用 代入后整理得,狀態(tài)方程為,157,d = 0,15

57、8,狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖,159,例2.19,試求 的狀態(tài)空間表達(dá)式。,因為此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，而b3=0，所以可以選擇狀態(tài)變量,160,所以狀態(tài)空間表達(dá)式為,對于一個給定的系統(tǒng)而言，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。,161,2.5.3 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)變量表達(dá)式,1、設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為有理真分式 (bn為零),162,163,為非有理真分式時：（bn不為零）,由,可知：bn就等于狀態(tài)方程中的直接矩陣d,而 為有理真分式,因此我們只要能由一個有理真分式的傳遞函數(shù)求相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的話，那么對非有理真分式求狀態(tài)空間表達(dá)式，只需增加一個直接矩陣d即可,164,bn,165,這種形式的狀

58、態(tài)空間表達(dá)式被稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。,166,由于 為有理真分式，即對應(yīng)的微分方程中輸入導(dǎo)數(shù)項的最高階 等于零,因此也可以采用式 的方式選擇狀態(tài)變量，那么狀態(tài)空間表達(dá)式為,167,這種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式被稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型,168,2、傳遞函數(shù)以極點形式給出,系統(tǒng)傳遞函數(shù)只有單實極點（沒有重極點）,系統(tǒng)特征方程可表示為,通過部分分式展開成下列形式,169,為G(s)在極點i 處的留數(shù),因此有,選擇狀態(tài)變量為,輸出為,以上兩式整理后，取反拉氏變換得：,170,寫成矩陣形式有對角陣標(biāo)準(zhǔn)型,171,如果狀態(tài)變量選擇為,那么系統(tǒng)輸出則為,同樣，經(jīng)過反拉氏變換并展成矩陣形式有 對角陣標(biāo)準(zhǔn)型,172,系統(tǒng)傳遞函數(shù)含有重實極點情況,假設(shè)極點1為三重極點，其它均為單實極點，即4、 5 、 n ，那么系統(tǒng)特征方程可表示為,傳遞函數(shù)可以通過部分分式展開成下列形式,那么系統(tǒng)輸出為,173,如果選擇狀態(tài)變量為,輸出為,174,整理得,175,對上式反拉氏變