1、一些新的2-3混合水平的近似正交設(shè)計,陸璇 謝描 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系,正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn),因子的主效應(yīng)的估計之間是相互獨(dú)立的。 有效性(D-和Ds-等)達(dá)到最大。 對于強(qiáng)度為t的正交設(shè)計，當(dāng)投影到任一只包含t個因子的子模型時，構(gòu)成完全試驗(yàn)的若干次重復(fù)。（ 保證任一包含t個因子的子模型可以完全分析。） 數(shù)據(jù)分析（參數(shù)估計、假設(shè)檢驗(yàn)等）簡單易行。,使用正交設(shè)計時遇到的問題,對試驗(yàn)次數(shù)的要求非常嚴(yán)格 某些正交設(shè)計是不飽和的 強(qiáng)度高于2的正交設(shè)計很少 混合水平的正交設(shè)計不多 以上問題限制了正交設(shè)計的實(shí)用價值,一個例子,考慮一個試驗(yàn)，要考察7個三水平因子，假定：1）所有的交互效應(yīng)都不存在；2）受條件限制，最

2、多只能作15次試驗(yàn)。 顯然，正交設(shè)計的條件不滿足。（最小的正交設(shè)計需要作18次試驗(yàn)。） 近似正交設(shè)計的提出是由于實(shí)踐的需要。,近似正交設(shè)計的一些文獻(xiàn),J.C.Wang & C.F.J Wu (1992), Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs Nam-Ky Nguyen (1996), A Note on the Construction of Near-Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Economic Run Size Chang-Xing Ma & Kai-Tai

3、Fang & Erkki Liski (2000), A New Approach in Construction Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays“ Hong Quan Xu (2002), An Algorithom for Constructing Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs“ Lu, Fang, Xu and Yin (2002), “Balance Pattern and BP-optimal Designs” (HKBU

4、 Technical Report),近似正交設(shè)計應(yīng)滿足的性質(zhì),t-投影性質(zhì)：對于強(qiáng)度為t的近似正交設(shè)計，當(dāng)模型投影到任一個只包含t個因子的子模型時，包含一個完全試驗(yàn)。（保證任一個包含t個因子的子模型是可以完全分析的。） 近似正交性質(zhì)：對于強(qiáng)度為t的近似正交設(shè)計，任意t個因子之間在一個適當(dāng)?shù)亩攘肯缕x正交性最少。 高的有效性: 如D有效性。 其它性質(zhì)：如不正交列對的數(shù)目（用于存在不飽和正交設(shè)計的場合）。 強(qiáng)度為t 的近似正交設(shè)計：NOA(n,2k3l,t),偏離正交性的度量,設(shè)計: D(n,2k3l) 偏離強(qiáng)度t的正交性的度量B(t)：任意t個因子之間的各種水平組合出現(xiàn)的次數(shù)偏離平均值的平均平

5、方和。 B(t)越小越好。 （一般性的定義見：Lu,Fang, Xu and Yin (2002), HKBU technical report）,例：一個D(6, 2231)的B(2),B12(2)=6(1-1)2=0 B13(2)=2(1-1)2+2(2-1)2 +2(0-1)2=4 B23(2)=2(1-6/4)2 +2(2-6/4)2=1 B (2)=B12(2)+ B13(2) + B23(2)/3=5/3,關(guān)于B(t)的一些理論結(jié)果,Lu,Fang, Xu and Yin得到了B(t)的兩個下界. 其中一個與設(shè)計的行之間的Hamming距離有關(guān)，稱為“基于行的下界”。 當(dāng)行之間的H

6、amming距離都相等時，對所有的t=1,2, B(t)達(dá)到此下界。達(dá)到此下界的因子設(shè)計對應(yīng)著一個可分解的平衡不完全區(qū)組設(shè)計(RBIBD)。 這類設(shè)計包括：飽和的正交設(shè)計，最優(yōu)的超飽和設(shè)計。 類似的結(jié)果：Lu, et al, (2003), JSPI, Fang, et al, (2000). （在超飽和設(shè)計的構(gòu)造方面）,關(guān)于B(t)的一些理論結(jié)果（續(xù)）,另一個下界是：當(dāng)任意t個因子之間的各種水平組合出現(xiàn)的次數(shù)最多只相差1時， B(t)的值。此下界稱為“基于列的下界”。 當(dāng)此下界達(dá)到，同時設(shè)計滿足t-投影性質(zhì)（任意t個因子之間的各種水平組合至少出現(xiàn)一次）時，設(shè)計最接近于強(qiáng)度為t的正交設(shè)計，從而

7、具有最高的有效性。,構(gòu)造方法,基本算法：最小化B(t)，采用在設(shè)計構(gòu)造中常用的“列-對”置換法。基本步驟如下： Step 1：產(chǎn)生一個初始設(shè)計D0， Step 2：選D0中一列，當(dāng)它去掉后B(t)減小幅度最大， Step 3：對此列中的元素作隨機(jī)置換，使B(t)達(dá)到最小，記設(shè)計為D1， Step 4：對D1重復(fù)Step 2, 3， 以上4步反復(fù)進(jìn)行，直到無法改進(jìn)，或迭代步達(dá)到指定值。 產(chǎn)生多個初始設(shè)計，重復(fù)以上過程，從中選擇一個最理想的設(shè)計（達(dá)到或接近兩個下界之一）。,構(gòu)造方法（續(xù)）,保證所構(gòu)造的設(shè)計具有t-投影性質(zhì)是非常重要的。一般t=2, 3。 當(dāng)行數(shù)和列數(shù)（包括2水平因子數(shù)和3水平因子數(shù)

8、）選擇適當(dāng)時，構(gòu)造出的設(shè)計通常滿足t-投影性質(zhì)。 當(dāng)行數(shù)和列數(shù)選擇不適當(dāng)時，經(jīng)過大量的計算也得不到t-投影性質(zhì)。此時要減少因子數(shù)，再計算。 還嘗試了其它幾種不同的算法。效果有好有壞。,例1：NOA(15, 37,2),(Table 14) 任意兩個因子處于最佳組合狀態(tài)：所有水平組合各出現(xiàn)1或2次。 B(2)= 2（達(dá)到基于列的下界） 當(dāng)要考察7個三水平因子，而最多只能作15次試驗(yàn)時，可用此設(shè)計。,例2： NOA(36, 2533,3),(Table 27) 任意三列(2-2-2, 2-2,3, 2-3-3, 3-3-3)包含一個完全試驗(yàn)。（具有3-投影性質(zhì)） 而一個強(qiáng)度為3的2533正交設(shè)計至

9、少需要2333=216次試驗(yàn)。 結(jié)論：要保證高維的投影性質(zhì)，用近似正交設(shè)計可以大大節(jié)省試驗(yàn)成本。,一些NOA的列表,NOA(n,2k31,2) ：n=0(mod 6), n6. 取n=12, k=9, 8, 7. (Table 1-6. 其中k=9的有四個，具有不同的非正交對結(jié)構(gòu).) NOA(n,2k3l,2) ：l2. n=0(mod 6), n9. 取n=12, (k,l)=(7,2), (6,2), (4,2), (4,3), (3,4), (1,5) (Table 7-12), n=18, (k,l)=(1,8) (Table 16). NOA(n, 3l,2): n=0(mod 3)

10、, n9. 取n=12, l=6 (Table 13), n=15, l=8 (Table 14), n=21, l=10 (Table 19), n=24, l=11 (Table 20).,一些NOA的列表（續(xù)）,NOA(n,2k31,3) ：n=0(mod 6), n12. 當(dāng)n=12 ，存在一個唯一的OA(12, 2331,3),取n=18, k=9, (Table 17), n=24, k=10 (Table 21), n=30, k=12 (Table 23), n=36, k=16 (Table 25). NOA(n,2k32,3) ：n=0(mod 6), n18. 取n=18

11、, k=4 (Table 18), n=24, k=7(Table 22), n=30, k=8 (Table 24), n=36, k=9 (Table 26). NOA(n,2k33,3) ：n=0(mod 6), n30. 取n=30, k=4 (Table 25), n=36, k=5 (Table 27).,NOA(12, 2931,2)的比較,W-W用不正交列對的數(shù)量來衡量偏離正交性的程度。以下是一些結(jié)果的比較。,NOA與UD的關(guān)系,UD強(qiáng)調(diào)的是試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)散布的均勻性。NOA強(qiáng)調(diào)的是因子水平組合出現(xiàn)的均衡性。二者之間有一定的聯(lián)系。 在UD中，有一類設(shè)計稱為U-型設(shè)計，要求試

12、驗(yàn)點(diǎn)只出現(xiàn)在格子點(diǎn)上。 兩個常用的均勻性度量：CD2和WD2. Fang, Lu and Winker (2003)證明了：對于2水平的U-型設(shè)計，CD22可以表示為B(1), , B(k)的凸函數(shù)；對于2或3水平的U-型設(shè)計，WD22可以表示為B(1), , B(k)的凸函數(shù).,NOA與UD的關(guān)系（續(xù)）,根據(jù)上述關(guān)系，得到了：對于2水平的U-型設(shè)計，CD22的兩個下界；對于2或3水平的U-型設(shè)計，WD22的兩個下界。 用上述的下界作為bench mark，最優(yōu)化CD22或WD22，得到了一批具有均勻性的2或3水平的U-型設(shè)計。 我們的NOA設(shè)計可以看成是具有均勻性的U-型設(shè)計，同時還具有指定的投影性質(zhì)。,NOA設(shè)計的分析,