1、11.1角的概念的推廣預(yù)習(xí)課本P36，思考并完成以下問(wèn)題 (1)角是如何定義的？角的概念推廣后，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？(2)角的旋轉(zhuǎn)量的性質(zhì)是什么？(3)象限角的含義是什么？判斷角所在的象限時(shí)，要注意哪些問(wèn)題？(4)終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？1任意角(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)角的表示：如圖，OA是角的始邊，OB是角的終邊，O是角的頂點(diǎn)角可記為“角”或“”或簡(jiǎn)記為“”(3)角的分類：名稱定義圖示正角按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角負(fù)角按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角(4)角的旋轉(zhuǎn)量的性質(zhì)：各角和

2、的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和，即可化為()2象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限點(diǎn)睛象限角的條件是：角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合3終邊相同的角所有與角終邊相同的角，包括角本身構(gòu)成一個(gè)集合S|k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)30是第四象限角()(2)鈍角是第二象限的角()(3)終邊相同的角一定相等()答案：(1)(2)(3)2與45角終

3、邊相同的角是()A45B225C395 D315答案：D3下列說(shuō)法正確的是()A銳角是第一象限角 B第二象限角是鈍角C第一象限角是銳角 D第四象限角是負(fù)角答案：A4將35角的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60所得的角度數(shù)為_，將35角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周后的角度數(shù)_答案：25395任意角的概念典例下列命題正確的是()A終邊與始邊重合的角是零角B終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C在90180范圍內(nèi)的角不一定是鈍角D小于90的角是銳角解析終邊與始邊重合的角還可能是360，720，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360的整數(shù)倍，如30與330，故B錯(cuò)；由于在90180范圍內(nèi)的角包含90角，所以不

4、一定是鈍角，C正確；小于90的角可以是0，也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤答案C理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可活學(xué)活用如圖，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90到射線OB的位置，接著再旋轉(zhuǎn)30到OC的位置，則AOC的度數(shù)為_解析：AOCAOBBOC90(30)60.答案：60終邊相同角的表示典例寫出與75角終邊相同的角的集合，并求在3601 080范圍內(nèi)與75角終邊相同的角解與75角終邊相同的角的集合為S|k36075，kZ當(dāng)360

5、1 080時(shí)，即360k360751 080，解得k2.又kZ，所以k1或k2.當(dāng)k1時(shí)，435；當(dāng)k2時(shí)，795.綜上所述，與75角終邊相同且在3601 080范圍內(nèi)的角為435角和795角1終邊落在直線上的角的集合的步驟(1)寫出在0360范圍內(nèi)相應(yīng)的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；(3)根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡(jiǎn)潔2終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍(2)終邊在同一直線上的角之間相差180的整數(shù)倍(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90的整數(shù)倍活學(xué)活用分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合解：(1)在0360范圍內(nèi)，終邊在直

6、線y0上的角有兩個(gè)，即0和180，因此，所有與0角終邊相同的角構(gòu)成集合S1|0k360，kZ，而所有與180角終邊相同的角構(gòu)成集合S2|180k360，kZ，于是，終邊在直線y0上的角的集合為SS1S2|k180，kZ(2)由圖形易知，在0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)，即135和315，因此，終邊在直線yx上的角的集合為S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ.象限角的判斷典例已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角(1)75；(2)855；(3)510.解作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示：(1)由圖可知：

7、75是第四象限角(2)由圖可知：855是第二象限角(3)由圖可知：510是第三象限角象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?360之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過(guò)原點(diǎn)的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(2)將角轉(zhuǎn)化到0360范圍內(nèi)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0360范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的活學(xué)活用若是第四象限角，則180一定在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，且是第四象限角，是第一象限角而180可看成按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到，180是第三象限角.角，n(nN)所在象限的確定典例已知是第二象限角，求角所在的象限解法一：是第二象限角，k36090k

8、360180(kZ)3604536090(kZ)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k2n(nZ)，得n36045n36090，這表明是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，這表明是第三象限角為第一或第三象限角法二：如圖，先將各象限分成2等份，再?gòu)膞軸正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域，故為第一或第三象限角一題多變1變?cè)O(shè)問(wèn)在本例條件下，求角2的終邊的位置解：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上2變條件若角變?yōu)榈谌笙藿?，則角是第幾象限

9、角？解：如圖所示，先將各象限分成2等份，再?gòu)膞軸正半軸的上方起，按逆時(shí)針?lè)较?，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有三的區(qū)域即為角的終邊所在的區(qū)域，故角為第二或第四象限角倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角終邊所在的象限，確定n終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出n的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可注意不要漏掉n的終邊在坐標(biāo)軸上的情況(2)已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，分類討論法要對(duì)k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下結(jié)論幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單直觀 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1215是()A第一象限角B第二象限角C第三

10、象限角 D第四象限角解析：選B由于215360145，而145是第二象限角，則215也是第二象限角2下面各組角中，終邊相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840解析：選B33036030，75072030，330與750終邊相同3若k18045，kZ，則所在的象限是()A第一、三象限 B第一、二象限C第二、四象限 D第三、四象限解析：選A由題意知k18045，kZ，當(dāng)k2n1，nZ，2n18018045n360225，在第三象限，當(dāng)k2n，nZ，2n18045n36045，在第一象限是第一或第三象限的角4終邊在第二象限的角的集合可以表示為()A|901

11、80B|90k180180k180，kZC|270k180180k180，kZD|270k360180k360，kZ解析：選D終邊在第二象限的角的集合可表示為|90k360180k360，kZ，而選項(xiàng)D是從順時(shí)針?lè)较騺?lái)看的，故選項(xiàng)D正確5將885化為k360(0360，kZ)的形式是()A165(2)360 B195(3)360C195(2)360 D165(3)360解析：選B885195(3)360，0195360，故選B.6在下列說(shuō)法中：時(shí)鐘經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角是60；鈍角一定大于銳角；射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0；2 000是第二象限角其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)為_(錯(cuò)誤

12、說(shuō)法的序號(hào)都寫上)解析：時(shí)鐘經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，因而轉(zhuǎn)過(guò)的角為60，所以不正確鈍角的取值范圍為90180，銳角的取值范圍為090，因此鈍角一定大于銳角，所以正確射線OA按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360，所以不正確2 0006360160與160終邊相同，是第二象限角，所以正確答案：7滿足180360，5與有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么_.解析：5k360，kZ，k90，kZ.又180360，270.答案：2708若角2 016，則與角具有相同終邊的最小正角為_，最大負(fù)角為_解析：2 0165360216，與角終邊相同的角的集合為|216k360，kZ，最小正角是216

13、，最大負(fù)角是144.答案：2161449在0360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)549；(2)60；(3)50336.解：(1)549189360，而180189270，因此，549角為第三象限角，且在0360范圍內(nèi)，與189角有相同的終邊(2)60300360，而270300360，因此，60角為第四象限角，且在0360范圍內(nèi)，與300角有相同的終邊(3)50336216242360，因此，50336角是第三象限角，且在0360范圍內(nèi)，與21624角有相同的終邊10已知角的集合M|30k90，kZ，回答下列問(wèn)題：(1)集合M中大于

14、360且小于360的角是哪幾個(gè)？(2)寫出集合M中的第二象限角的一般表達(dá)式解：(1)令36030k90360，則k，又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3，集合M中大于360且小于360的角共有8個(gè)，分別是330，240，150，60，30，120，210，300.(2)集合M中的第二象限角與120角的終邊相同，120k360，kZ.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1給出下列四個(gè)結(jié)論：15是第四象限角；185是第三象限角；475是第二象限角；350是第一象限角其中正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選D15是第四象限角；180185270是第三象限角；475360115，而90115180，所以475

15、是第二象限角；35036010是第一象限角，所以四個(gè)結(jié)論都是正確的2若角2與240角的終邊相同，則()A120k360，kZB120k180，kZC240k360，kZD240k180，kZ解析：選B角2與240角的終邊相同，則2240k360，kZ，則120k180，kZ.選B.3若與終邊相同，則的終邊落在()Ax軸的非負(fù)半軸上 Bx軸的非正半軸上Cy軸的非負(fù)半軸上 Dy軸的非正半軸上解析：選Ak360，kZ，k360，kZ，其終邊在x軸的非負(fù)半軸上4設(shè)集合M|45k90，kZ，N|90k45，kZ，則集合M與N的關(guān)系是()AMN BMNCNM DMN解析：選C對(duì)于集合M，45k90452k

16、45(2k1)45，即M|(2k1)45，kZ；對(duì)于集合N，90k45245k45(k2)45，即N|(k2)45，kZ|n45，nZ2k1表示所有的奇數(shù)，而n表示所有的整數(shù)，NM，故選C.5從13：00到14：00，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角為_，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為_解析：經(jīng)過(guò)一小時(shí)，時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360，結(jié)合負(fù)角的定義可知時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角為30，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為360.答案：303606已知角2的終邊在x軸的上方，那么是第_象限角解析：由題意知k3602180k360(kZ)，故k18090k180(kZ)，按照k的奇偶性進(jìn)行討論當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，n36090n360(nZ)，在第一象限；當(dāng)

17、k2n1(nZ)時(shí)，180n360270n360(nZ)，在第三象限故是第一或第三象限角答案：一或三7試寫出終邊在直線yx上的角的集合S，并把S中適合不等式180180的元素寫出來(lái)解：終邊在直線yx上的角的集合S|k360120，kZ|k360300，kZ|k180120，kZ，其中適合不等式180180的元素為60，120.8.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OB上；(2)終邊落在直線OA上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)解：(1)終邊落在射線OB上的角的集合為S1|60k360，kZ(2)終邊落在直線OA上的角的集合為S2|30k180，kZ(3)終邊落在陰影區(qū)

18、域內(nèi)(含邊界)的角的集合為S3|30k18060k180，kZ11.2弧度制和弧度制與角度制的換算預(yù)習(xí)課本P711，思考并完成以下問(wèn)題(1)1弧度的角是如何定義的？(2)如何求角的弧度數(shù)？(3)如何進(jìn)行弧度與角度的換算？(4)以弧度為單位的扇形弧長(zhǎng)、面積公式是什么？1度量角的兩種制度(1)角度制：定義：用度作單位來(lái)度量角的制度1度的角：把圓周360等分，則其中1份所對(duì)的圓心角是1度(2)弧度制：定義：以弧度為單位來(lái)度量角的制度1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角弧度數(shù)的計(jì)算公式：在半徑為r的圓中，若弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為 rad，則.點(diǎn)睛用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩個(gè)字可

19、以省略不寫，如2 rad的單位“rad”可省略不寫，只寫2.2角度與弧度的互化(1)180 rad.(2)常用的角度數(shù)與弧度數(shù)的互化：度030456090120135150180225270315360弧度023.弧長(zhǎng)與扇形面積公式公式度量制弧長(zhǎng)公式扇形面積公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)點(diǎn)睛由扇形的弧長(zhǎng)及面積公式可知：對(duì)于，r，l，S“知二求二”，它實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)用1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)1弧度1.()(2)每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)()(3)用弧度制度量角，與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)()答案：(1)(2)(3)2若k，kZ

20、，則所在的象限是()A第一、二象限B第二、三象限C第一、三象限 D第一、四象限答案：C3半徑為1，圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)是()A. BC. D.答案：C4(1)_；(2)210_.答案：(1)120(2)角度與弧度的換算典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)弧度數(shù)，弧度數(shù)度數(shù)活學(xué)活用將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)855.解：(1)18015 330.(2)180105.

21、(3)1010.(4)855855.用弧度制表示角的集合典例已知角2 005.(1)將改寫成2k(kZ,02)的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在5，0)內(nèi)找出與終邊相同的角解(1)2 0052 005 ，又，角與終邊相同，是第三象限的角(2)與終邊相同的角為2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)內(nèi)與終邊相同的角是，.用弧度制表示終邊相同的角2k(kZ)時(shí)，其中2k是的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用活學(xué)活用1將1 125表示成2k，02，kZ的形式為_解析：因?yàn)? 1254360315，315315，所以1 1258.答案：82用弧度表示終邊落在陰影部

22、分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合解：如題圖，330角的終邊與30角的終邊相同，將30化為弧度，即，而7575，終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式題點(diǎn)一：利用公式求弧長(zhǎng)和面積1已知扇形的半徑為10 cm，圓心角為60，求扇形的弧長(zhǎng)和面積解：已知扇形的圓心角60，半徑r10 cm，則弧長(zhǎng)lr10(cm)，于是面積Slr10(cm2)題點(diǎn)二：利用公式求半徑和弧度數(shù)2扇形OAB的面積是4 cm2，它的周長(zhǎng)是8 cm，求扇形的半徑和圓心角解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02)，弧長(zhǎng)為l cm，半徑為r cm，依題意有由，得r2，l82r4，2.故所求扇形的半徑為2、圓心角為2

23、 rad.題點(diǎn)三：利用公式求扇形面積的最值3已知扇形的周長(zhǎng)是30 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為(02)，半徑為r，面積為S，弧長(zhǎng)為l，則l2r30，故l302r，從而Slr(302r)rr215r2，所以，當(dāng)r cm時(shí)，2，扇形面積最大，最大面積為 cm2.弧度制下涉及扇形問(wèn)題的攻略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是Slr|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，r是扇形的半徑，是扇形的圓心角)(2)涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解提

24、醒運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式的前提是為弧度 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1把50化為弧度為()A50B.C. D.解析：選B5050.2扇形的周長(zhǎng)是16，圓心角是2弧度，則扇形的面積是()A16 B32C16 D32解析：選C弧長(zhǎng)l2r,4r16，r4，得l8，即Slr16.3角的終邊落在區(qū)間內(nèi)，則角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C3的終邊在x軸的非正半軸上，的終邊在y軸的非正半軸上，故角為第三象限角4時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為()A. BC. D解析：選B顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了周，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為2.5下列

25、表示中不正確的是()A終邊在x軸上的角的集合是|k，kZB終邊在y軸上的角的集合是C終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是D終邊在直線yx上的角的集合是解析：選D終邊在直線yx上的角的集合應(yīng)是.6135化為弧度為_，化為角度為_解析：135135，180660.答案：6607扇形的半徑是，圓心角是60，則該扇形的面積為_解析：60，扇形的面積公式為S扇形r2()2.答案：8設(shè)集合M，N|，則MN_.解析：由，得k.kZ，k1,0,1,2，MN.答案：9一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則2Rl4.根據(jù)扇形面積公式SlR，得1lR.聯(lián)立解得R1，l2，2.10將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第幾象限角(1)1 725；(2)60360k(kZ)解：(1)1 7257553605210，是第一象限角(