1、貝努利不等式的幾個(gè)推論及應(yīng)用貝努利不等式是： （，為正整數(shù)） （1）當(dāng)為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立為拓寬貝努利不等式的應(yīng)用，本文給出了貝努利不等式的幾個(gè)推論，并通過一些典型例題探討了貝努利不等式及其推論的應(yīng)用推論1 設(shè)，0，則有， （2）或， （）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2）和（）取等號(hào)（2）的證明可由恒等式直接推出易見，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2）和（）取等號(hào)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（1）取等號(hào)在（1）中令，則（1）可變?yōu)椋?）或（）因此，不等式（1）與（2）或（）是等價(jià)的因此，不等式（1）與（2）或（）都可以稱為貝努利不等式推論2 設(shè)，0，則， （3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（3）取等號(hào)證明 由（2）得，由（2）的等號(hào)

2、成立的條件易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（3）取等號(hào)推論3 設(shè)，0，則， （4）， （5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（4）和（5）取等號(hào)證明 由（2）得，由（2）的等號(hào)成立的條件易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（4）和（5）取等號(hào)推論4 設(shè)，0，則， （6）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（6）取等號(hào)證明 由（2），得，所以 由（2）的等號(hào)成立的條件易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（6）取等號(hào)不等式（1）（6）有廣泛的應(yīng)用，利用貝努利不等式和上面幾個(gè)推論可以簡(jiǎn)捷明快地解決一些數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)看下面幾例例1（2020年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科21題）已知，為正整數(shù)（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（）對(duì)于，已知，求證：，；（）求出滿足等式的所有正整數(shù)解：（）證明從略 （）證明：當(dāng)，時(shí)，由（1

3、）得，于是，（）解：由（）知，當(dāng)時(shí)，所以，即，即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形逐一檢驗(yàn)可得，所求的只有例2（算術(shù)幾何平均值不等式）設(shè)，均為正數(shù)，則 （7）證明 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（7）：當(dāng)時(shí)，（2）變?yōu)?，從而，所以?）成立假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，由（3）知，即 ，從而，這表明，當(dāng)時(shí)（7）也成立故對(duì)一切，（7）都成立由例2的證明可以看出，貝努利不等式是算術(shù)幾何平均值不等式的一個(gè)充分條件，也就是說，凡是能用算術(shù)幾何平均值不等式解決的問題都可以利用貝努利不等式予以解決，因此，貝努利不等式的應(yīng)用是極為廣泛的例3 設(shè)，0，求證：證明 由，并在（3）中取得例4 （權(quán)方和不等式）設(shè)，則 證明 令，則原不等式等價(jià)于1由（2），有=則，此即 注：權(quán)方和不等式的應(yīng)用極廣，已有多篇文章探討例5 （第36屆IMO試題）設(shè)為正數(shù)，且滿足試證 （8）證明 由知，（8）等價(jià)于 （9）由（4）及，得，所以（9）成立，故（8）成立例6 設(shè)，均為正數(shù)，求證：證明 由（6），及，得由于貝努利不等式的形式簡(jiǎn)單、內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛，加之