1、3.1 函數(shù)與方程本節(jié)重點(diǎn)是通過(guò)用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí).在利用“二分法”求方程的近似解的過(guò)程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因此對(duì)獲得給定精確度的近似解增加了困難.要解決這一困難，需要恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具.為了提高學(xué)生對(duì)函數(shù)的廣泛應(yīng)用以及函數(shù)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，必須加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，具體體現(xiàn)在結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；根據(jù)具體函數(shù)的圖象，借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，為算法學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備等.例如，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而

2、了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系；根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，為算法的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備等.另外，還要特別注意信息技術(shù)的使用.3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)（1）從容說(shuō)課方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)新增內(nèi)容，它的引進(jìn)，使得函數(shù)與方程思想有了新的活力，該部分知識(shí)內(nèi)容較為抽象，學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.二次函數(shù)是聯(lián)系高中數(shù)學(xué)知識(shí)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要紐帶，高考函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性以及二次方程實(shí)數(shù)根的分布問(wèn)題，二次不等式的解集等問(wèn)題.考查形式靈活多樣，考

3、查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，高考在此設(shè)計(jì)的題目的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)一方面要加強(qiáng)訓(xùn)練，另一方面也要在訓(xùn)練過(guò)程中不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.會(huì)用函數(shù)圖象的交點(diǎn)解釋方程的根的意義.2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷一元二次方程的根的存在性和根的個(gè)數(shù).3.了解函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的聯(lián)系.二、過(guò)程與方法1.通過(guò)了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，滲透算法思想，為后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)算法作準(zhǔn)備.2.體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.3.通過(guò)探究、思考，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力、觀察能力以及分析問(wèn)

4、題的能力.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過(guò)學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程的根的關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性.2.在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生的相互交流，體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般地認(rèn)識(shí)事物的意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的概念.教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀.教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課（多媒體動(dòng)畫(huà)演示）從某幢建筑物10米高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀（拋物線所在平面與墻垂直，如下圖），如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米，

5、離地面米，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是多少米?如下圖建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10），M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）.由于M為最高點(diǎn)，所以可設(shè)拋物線為y=a（x1）2+，將點(diǎn)A（0，10）代入，得10=a1+，a=，即拋物線方程為y=（x1）2+.水流落地時(shí)B點(diǎn)縱坐標(biāo)y=0，代入上式，解得x=3，即水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是3米.上述解法中，落地點(diǎn)B就是拋物線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)就是二次方程（x1）2+=0的一個(gè)根.師：一般情況下，函數(shù)y=f（x）與x軸的交點(diǎn)和方程f（x）=0的根之間存在著怎樣的關(guān)系呢?由此引入新課.二、講解新課1.探究二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系師：你能快速

6、地求出一元二次方程x22x3=0的根嗎？生：由方程可得（x3）（x+1）=0，所以方程x22x3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別為3和1.師：請(qǐng)畫(huà)出二次函數(shù)y=x22x3的圖象.（生動(dòng)手畫(huà)圖，師生共同歸納畫(huà)二次函數(shù)圖象的步驟）方法引導(dǎo)：畫(huà)二次函數(shù)簡(jiǎn)圖的步驟：（1）先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)確定函數(shù)的開(kāi)口方向，即當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下.（2）再根據(jù)x0=畫(huà)出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸.（3）確定函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，成圖.師：請(qǐng)觀察你所畫(huà)的函數(shù)圖象，研究圖上的一些特殊點(diǎn)以及二次方程x22x3=0的根，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（組織學(xué)生交流，得出如下結(jié)論）（1）一元二次方程x22x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是

7、二次函數(shù)y=x22x3的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）一元二次方程x22x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即為二次函數(shù)y=x22x3的函數(shù)值等于0時(shí)的自變量x的值.師：研究一元二次方程x22x3=0的根的個(gè)數(shù)及其判別式與二次函數(shù)y=x22x3的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置，你能得到什么結(jié)論？（生交流，師及時(shí)總結(jié)，得出如下結(jié)論）結(jié)論：（1）一元二次方程x22x3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式0；（2）二次函數(shù)y=x22x3的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸下方.（3）方程x22x3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根判別式0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=x22x3的圖象開(kāi)口向上且頂點(diǎn)在x軸下方.師：你能將這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推廣嗎？（生思考，師投影顯示如下問(wèn)題

8、）合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的個(gè)數(shù)及其判別式與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置之間有什么聯(lián)系？（師生共同結(jié)合函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象的不同情形，得出如下結(jié)論）知識(shí)拓展：設(shè)二次方程為ax2+bx+c=0（a0），相應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a0），其判別式=b24ac，我們有：（1）當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）；（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1=x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有唯一的交點(diǎn)（x1，0）；（3）當(dāng)0時(shí)，一元二

9、次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).也就是說(shuō)，判斷一個(gè)方程是否有解以及解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為討論對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向以及頂點(diǎn)與x軸的位置問(wèn)題.也可以通過(guò)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的二次方程的根的個(gè)數(shù)來(lái)判斷二次函數(shù)的開(kāi)口方向以及頂點(diǎn)位置.思考：當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）時(shí)，是否也有同樣的結(jié)論呢？2.函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系，可以推廣到一般情形.為此，先給出函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).有時(shí)我們也把一個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)，叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)兩個(gè)零點(diǎn)重合時(shí)，我

10、們稱(chēng)這個(gè)零點(diǎn)為二重零點(diǎn).函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn).由此可知，求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).【例1】 求證：一元二次方程2x2+3x7=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.師：根據(jù)我們前面研究的結(jié)論，你覺(jué)得應(yīng)該如何完成上題的證明呢？（生交流得出如下結(jié)論）證法一：因?yàn)橐辉畏匠?x2+3x7=0的判別式=3242（7）=650，所以方程2x2+3x7=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證法二：設(shè)f（x）=2x2+3x7，因?yàn)楹瘮?shù)

11、的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線，且頂點(diǎn)在x軸的下方，即f（）=2（）2+3（）7=70.所以，函數(shù)f（x）=2x2+3x7的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程2x2+3x7=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【例2】 求下列函數(shù)的零點(diǎn).（1）y=x2x+20；（2）y=（x22）（x23x+2）.方法引導(dǎo)：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題通?？赊D(zhuǎn)化為求相應(yīng)的方程的根的問(wèn)題，反之也成立.這是函數(shù)與方程的統(tǒng)一.解：（1）令y=0，即x2x+20=0，解得x1=5，x2=4.所求函數(shù)的零點(diǎn)為5，4.（2）令y=0，即（x22）（x23x+2）=0.解得x1=，x2=，x3=

12、1，x4=2，所求函數(shù)的零點(diǎn)為，1，2.【例3】 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如下圖所示，則A.b（，0）B.b（0，1）C.b（1，2）D.b（2，+）方法引導(dǎo)：f（0）=f（1）=f（2）=0；x=0，1，2是函數(shù)y=f（x）的三個(gè)零點(diǎn).由圖象獲取信息是解決函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的手法，是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)體現(xiàn).解法一：f（0）=f（1）=f（2）=0，d=0，a+b+c=0，4a+2b+c=0，a=，c=b.f（x）=x（x23x+2）=x（x1）（x2）.當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，b0.故選A.解法二：由圖象知x=0，1，2是函數(shù)y=f（x）的三個(gè)零點(diǎn).f（x）=ax（x1）（x

13、2），當(dāng)x2時(shí)，f（x）0.a0，比較同次項(xiàng)系數(shù)，得b=3a.b0.故選A.三、課堂練習(xí)1.若f（x）=，則方程f（4x）=x的根是A.2 B.2 C. D. 答案：D（點(diǎn)撥：f（4x）=，由=x，解得x=）2.函數(shù)y=|log2|x|1的零點(diǎn)有A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案：D（點(diǎn)撥：畫(huà)出圖象，觀察即可）3.定義在R上的奇函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x1、x2、x3，則下面關(guān)系中正確的是A.x1x2x30B.x1x2x3=0C.x1x2x30D.以上三種關(guān)系都可能成立答案：B（點(diǎn)撥：f（0）=0，x1，x2，x3中必有一個(gè)為0）4.若函數(shù)y=2|x1|m有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案：

14、0m1（點(diǎn)撥：利用函數(shù)y=2|x1|=（）|x1|的圖象可知，0y1，函數(shù)y=2|x1|m的圖象若與x軸有交點(diǎn)，必須0m1）5.已知函數(shù)f（x）=ax+2a+1，當(dāng)x1，1時(shí)，f（x）的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案：1a（點(diǎn)撥：原問(wèn)題f（1）f（1）0）6.二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)，它有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1+x2=_.答案：0（點(diǎn)撥：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）四、課堂小結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：一元二次方程的解與相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.2.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：歸納與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合與定義法、特殊與一般的意識(shí).五、布置作業(yè)1.若奇函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3滿(mǎn)足x1x2+x2x3+x3x1=2，則b+c=_.2.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，f（2）=0，f（5）=0，f（0）=1，則此二次函數(shù)為_(kāi).3.二次函數(shù)y=x2+k