1、1,隨機(jī)事件及其概率,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第一章,2,序 言,?,概率論是研究什么的？,隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性,概率論研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué),3,第一章 概率論的基本概念,第一節(jié) 樣本空間、隨機(jī)事件,第二節(jié) 概率、古典概型,第三節(jié) 條件概率、全概率公式,第四節(jié) 獨(dú)立性,在一定條件下必然發(fā)生 的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.,“太陽不會從西邊升起”,(1) 確定性現(xiàn)象,“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例,自然界所觀察到的現(xiàn)象:,確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象,4,在一定條件下，試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，但事先又 不能預(yù)測是哪一種結(jié)果的現(xiàn)象稱隨機(jī)現(xiàn)象。,實(shí)例1 在相同條件下擲一枚均勻的硬

2、幣，觀察 正反兩面出現(xiàn)的情況.,(2) 隨機(jī)現(xiàn)象,結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.,5,結(jié)果有可能為:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,實(shí)例3 拋擲一枚骰子,觀 察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).,實(shí)例2 用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點(diǎn)的情況.,結(jié)果: 彈落點(diǎn)會各不相同.,6,實(shí)例4 從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品.,其結(jié)果可能為:,正品 、次品.,實(shí)例5 過馬路交叉口時, 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈.,7,實(shí)例6 出生的嬰兒可 能是男,也可能是女.,實(shí)例7 明天的天氣可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,8,隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性, 但在

3、大量試驗(yàn)或觀察中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.,隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.,問題 什么是隨機(jī)試驗(yàn)?,如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?,說明,9,一、隨機(jī)試驗(yàn),在概率論中,把具有以下三個特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。,（1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；,（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；,（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。,10,說明,隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn), 是一個廣泛的術(shù)語. 它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn), 也包括對客觀 事物進(jìn)行的 “調(diào)查”、“觀察”或 “測量” 等.,11,實(shí)例 “拋擲一枚硬幣,觀 察

4、正面、反面出現(xiàn)的情況”.,分析,(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;,(2) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:,正面、反面;,(3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,故為隨機(jī)試驗(yàn).,12,(1) 拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).,(2) 從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記 錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).,同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn).,(3) 記錄某公共汽車站 某時刻的等車人數(shù).,13,樣本空間與隨機(jī)事件,隨機(jī)事件（簡稱事件）： 在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生,而在大量試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件（或偶然事件）。通常用大寫字母A、B,表示。,基本結(jié)果： （1）每次試驗(yàn)必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)

5、其中一個基本結(jié)果。 （2）任何結(jié)果，都是由其中一些基本結(jié)果組成，每個基本結(jié)果稱樣本點(diǎn)。,14,隨機(jī)事件中有兩個極端情況： 每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件 。 每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件 。,基本事件是樣本空間的單點(diǎn)集。 復(fù)合事件是由多個樣本點(diǎn)組成的集合。 必然事件包含一切樣本點(diǎn)，它就是樣本空間。 不可能事件不含任何樣本點(diǎn)，它就是空集 。,樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的全體基本事件組成的集合稱為樣本空間。記為。,15,1事件的包含,事件發(fā)生,事件發(fā)生,設(shè)、 為兩個事件，如果中的基本事件都是的基本事件，則稱包含于，記為，或包含，記為 .,事件之間的關(guān)系和運(yùn)算,實(shí)例 A=“長度不合格”

6、 必然導(dǎo)致 B=“產(chǎn)品不合格”,所以,事件之間的關(guān)系,（事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生）,16,welcome,17,2.事件的相等,若兩個事件和相互包含，則稱這兩個事件相等。記為 .,和同時發(fā)生或者同時不發(fā)生,即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同,3.事件的和（并）,將事件的基本事件和的基本事件合在一起組成的一個新事件，稱為 和的和事件，記為，可讀成并或加.有時也可記為 .,實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此 C=“產(chǎn)品不合格”是A=“長度不合格”與B=“直徑不合格”的并，,即,A和B兩個事件至少有一個發(fā)生 AB,19,4.事件的積（交）,將事件的和共有基本事件合在一起組

7、成的一個新事件，稱為和的和事件，記為，可讀成交或乘 . 有時也可記為.,實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,設(shè)“產(chǎn)品合格” ,“長度合格”,“直徑合格”,20,21,和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì),22,5.事件的差,從事件中將屬于事件的基本事件除去,剩下的基本事件組成的新事件稱為和的差事件,記為 .,事件發(fā)生而事件不發(fā)生,實(shí)例 設(shè) “長度合格但直徑不合格” , “長度合格”, “直徑合格”.,23,事件、 不可能同時發(fā)生,6.事件的互斥（互不相容）,若事件和沒有共同的基本事件，則稱和互斥，也稱互不相容，記為 .,注意 基本事件是兩兩互斥的 .,24,7.事件的逆（對立事件

8、）,稱必然事件和事件的差為的逆事件，記為 ，,如果和互逆，則也可稱和互為對立事件,事件不發(fā)生,實(shí)例 “骰子出現(xiàn)1點(diǎn)” “骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”,若事件A1,A2,An為兩兩互不相容的事件，并且A1+A2+,+An=，稱A1,A2,An構(gòu)成一個完備事件組。,25,26,事件的運(yùn)算規(guī)律,由集合的運(yùn)算律，,易給出事件間的運(yùn)算律.,設(shè),則有,(1),交換律,(2),結(jié)合律,(3),分配律,27,(4),自反律,(5),對偶律,注：,上述各運(yùn)算律可推廣到,件的情形.,有限個或可數(shù)個事,28,(6),吸收律,(7),替換律,29,例1.1 設(shè)A,B,C為3個事件，用A,B,C的運(yùn)算式表示下列事件： （1） A發(fā)

9、生而B與C都不發(fā)生： （2） A，B都發(fā)生而C不發(fā)生： （3） A，B，C至少有一個事件發(fā)生： （4） A，B，C至少有兩個事件發(fā)生： （5） A，B，C恰好有兩個事件發(fā)生： （6） A，B，C恰好有一個事件發(fā)生： （7） A，B至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生： （8） A，B，C都不發(fā)生：,例1.2 從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)（每次取出的產(chǎn)品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。試用事件的運(yùn)算符號表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有兩次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,30,解： 三次中全取到合格品：A1A2A3; 三次中至少

10、一次取到合格品: A1+A2+A3; 三次中恰有兩次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品。,31,32,甲,乙,丙三人各射一次靶,記 “甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,則可用上述三,個事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件:,(1),(3),(4),(2),“甲未中靶”,“甲中靶而乙未中靶”,“三人中只有丙未中靶”,“三人中恰好有一人中靶”,(5),“三人中至少有一人中靶”,或,33,(10),(9),(8),“三人中至少有兩人中靶”,“三人中均未中靶”,“三人中至多一人中靶”,(11),“三人中至多兩人中靶”,或,(6),(7),“三人中至少有一人未中靶”,“三人中恰有兩人中靶”,或,34,3

11、5,一、概率的統(tǒng)計意義,三、概率的幾何定義,二、概率的古典定義,1.2 隨機(jī)事件的概率,五、概率的性質(zhì),四、概率的公理化定義,36,研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是隨機(jī)事件 發(fā)生可能性大小 的度量,事件發(fā)生的可能性 越大，概率就 越大！,37,一、概率的統(tǒng)計意義,定義,顯然,次數(shù)為,頻率.,則稱,為事件 發(fā)生的,試驗(yàn) 序號,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.

12、4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,實(shí)例 將一枚硬幣拋擲 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.,隨n的增大, 頻率 fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,38,從上述數(shù)據(jù)可得,(2) 拋硬幣次數(shù) n 較小時, 頻率fn(A)的隨機(jī)波動幅度較大,但隨 n 的增大, 頻率fn(A) 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng) n 逐漸增大時頻率fn(A)總是在 0.5 附近擺動, 且逐漸穩(wěn)定于 0.5.,(1) 頻率有隨機(jī)波動性,即對于同樣的 n, 所得的fn(A)不一

13、定相同;,39,實(shí)驗(yàn)者,德 摩根,蒲 豐,40,重要結(jié)論,當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) n 較小時,事件發(fā)生的頻率波動幅度比較大,當(dāng) n 逐漸增大時,頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的概率,41,概率的統(tǒng)計定義,定義,在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),若事件A,發(fā)生的頻率,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而,穩(wěn)定地在某個常數(shù)P附近擺動,則稱P為事件A的概,率，記為P(A).,42,2、概率的古典定義,定義1.4： 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足如下條件: 試驗(yàn)的樣本空間只有有限個樣本點(diǎn)，即 (2) 每個樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，即 則稱試驗(yàn)為古典概型，也稱為等可能概型。,古典概型 中事件A的概率

14、計算公式為,43,一個袋子中裝有 10 個大小相同的球,其中 3,個黑球,7 個白球,求:,(1),從袋子中任取兩球,剛好一個白球一個黑球的,概率,解,以及兩個球全是黑球的概率.,(1),10 個球中任取兩球的取法有,種,其中,種取法,兩個球均是黑球的取法有,種,好取到一個白球一個黑球”,為,為黑球”,則,事件“剛,事件“兩個球均,44,例2 12名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個班中去，試求： （1） 每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率； （2） 3名優(yōu)秀生分配到同一個班的概率.,解 12名新生平均分配到三個班的可能分法總數(shù)為,（1） 設(shè)A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”,45,（2）

15、 設(shè)B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”，故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學(xué)生分法總數(shù)為 ，故由乘法原理，B包含樣本總數(shù)為,46,例3 兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號為、的4個郵筒投寄，求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率。 解：設(shè)事件A表示第二個郵筒只投入1封信。兩封信隨機(jī)地投入4個郵筒共有42種等可能的投法，而組成事件A的不同投法只有C21C31種。有古典概型公式 P(A)= C21C31/ 42=3/8,47,3、幾何概型,若試驗(yàn)具有如下特征:,48,例 兩人相約在某天下午200300在預(yù)定地方見面，先到者要等候20分鐘，過時則離去.如果每人在這指定的一小時內(nèi)任一時刻到達(dá)是等可能的，求約會的兩人

16、能會到面的概率.,解 設(shè)x,y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時刻，那么，兩人到達(dá)時間的一切可能結(jié)果落在邊長為60的正方形內(nèi)，這個正方形就是樣本空間,而兩人能會面的充要條件是x-y20，即x-y20且y-x20.,49,例 兩人約定上午9:0010:00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率。 解：設(shè)兩人到達(dá)時刻分別為X、Y ，則 0X、Y 60，事件一人要等另一人半小時以上等價于 如圖陰影部分所示,50,練習(xí) 甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜到達(dá)的時刻是等可能的，如果甲船的停泊時間是1小時，乙船的停泊時間是2小時，求它們中的任何一艘船都不需要等候碼頭空出的概率。,

17、51,解：,設(shè)甲、乙兩艘輪船到達(dá)碼頭的時刻分別是x、y，由題意0 x 24， 0 y 24,x,y,0,2,1,24,24,設(shè)事件A表示兩艘輪船中的任何一艘都不需要等候碼頭空出，等價以下2種可能情況,（1）若甲先到碼頭（即x y）,則 有y - x1; （2）若乙先到碼頭（即y x ）,則 有 x - y 2； 事件A包含的基本事件可以用圖中陰影部分表示,52,在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進(jìn)一步的內(nèi)容.,4、概率的公理化定義,53,即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.,下面介紹用公理給出的概率定義.,1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.,柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單， 但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.,54,定義:,設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,對于,E的每一件事件A 賦予一個實(shí)數(shù),記為P(A),若P(A)滿,足下列三個條件:,1.,非負(fù)性:,對每一個事件A,有,2.,完備性:,3.,完全可加性:,對任意可數(shù)個兩兩互不相容的,則稱 P(A)為事件A的概率.,55,1,特別地，當(dāng)A與B互不相容時，,56,特別地，,57,例1 設(shè)A,B