1、郭躍華 朱月萍 主編 高等教育出版社,數理學院 蘇 霞,2012年5月,總復習,概率論與數理統計,第一章、主要內容,隨機 現象,隨機 試驗,事件的 獨立性,隨 機 事 件,基 本 事 件,必 然 事 件,對 立 事 件,概 率,古典 概型,幾何 概率,乘法 定理,事件的關系和運算,全概率公式與貝葉斯公式,性 質,定 義,條件 概率,不可能事件,復 合 事 件,可以在相同的條件下重復地進行;,每次試驗的可能結果不止一個,并且能事 先明確試驗的所有可能結果;,進行一次試驗之前不能確定哪一個結果 會出現.,在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.,隨機試驗,樣本空間的元素 ,即試驗E 的每

2、一個結果, 稱為樣本點.,隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為樣本空間,記為 S.,隨機試驗 E 的樣本空間 S 的子集稱為 E 的隨機事件, 簡稱事件.,隨機事件,不可能事件 隨機試驗中不可能出現的結果.,必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件 的對立面是必然事件,它們互稱為對立事件.,基本事件 由一個樣本點組成的單點集.,必然事件 隨機試驗中必然會出現的結果.,重要的隨機事件,事件的關系和運算,(1) 包含關系,若事件 A 出現，必然導致事件 B 出現，,則稱事件 B 包含事件 A，記作,圖示 B 包含 A .,S,B,(2) A等于B,(3) 事件A與B的并(和事件),圖示事件 A與

3、 B 的并.,S,A,若事件 A 包含事件 B , 而且事件 B 包含事件 A, 則稱事件 A 與事件 B 相等,記作 A=B.,(4) 事件A與B的交(積事件),圖示事件 A 與 B 的積.,S,A,B,AB,(5) 事件A與B互不相容 (互斥),若事件 A 的出現必然導致事件 B 不出現 , B 出現也必然導致 A 不出現,則稱事件 A 與 B互不相容,即,圖示 A 與 B 互不相容（互斥） .,S,(6) 事件A與B的差,由事件A出現而事件B不出現所組成的事件稱為事件A與B的差.記作 A- B.,圖示 A 與 B 的差.,S,A,B,設A表示“事件A出現”, 則“事件A不出現”稱為事件A

4、的對立事件或逆事件.記作,圖示 A 與 B 的對立 .,S,B,若 A 與 B 互逆,則有,(7) 事件A的對立事件,說明對立事件與互斥事件的區(qū)別,S,S,B,A，B 對立,A，B 互斥,互斥,對立,事件運算的性質,概率的定義,概率的可列可加性,概率的性質,n 個事件和的情況,定義,等可能概型 (古典概型),設試驗 E 的樣本空間由n 個樣本點構成, A為E 的任意一個事件,且包含 m 個樣本點, 則事件 A 出現的概率記為:,古典概型中事件概率的計算公式,稱此為概率的古典定義.,條件概率,同理可得,為在事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.,(1) 條件概率的定義,(2) 條件概率

5、的性質,乘法定理,樣本空間的劃分,全概率公式與貝葉斯公式,全概率公式,貝葉斯公式,稱此為貝葉斯公式.,事件 A 與 B 相互獨立是指事件 A 的概率與事件 B 是否出現無關.,說明,事件的相互獨立性,(1)兩事件相互獨立,(2)三事件兩兩相互獨立,注意,三個事件相互獨立,三個事件兩兩相互獨立,(3)三事件相互獨立,重要定理及結論,第二章、主要內容,隨 機 變 量,離 散 型 隨機變量,連 續(xù) 型隨機變量,分 布 函 數,分 布 律,密 度 函 數,均 勻 分 布,指 數 分 布,正 態(tài) 分 布,兩 點 分 布,二 項 分 布,泊 松 分 布,隨機變量 的函數的 分 布,定 義,離散型隨機變量的

6、分布律,(1)定義,(2)說明,設隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為,則稱 X 服從(0-1)分布或兩點分布.,兩點分布,稱這樣的分布為二項分布.記為,二項分布,兩點分布,二項分布,(2)說明,隨機變量的分布函數,(1)定義,分布函數主要研究隨機變量在某一區(qū)間內取 值的概率情況.,即任一分布函數處處右連續(xù).,(3)性質,連續(xù)型隨機變量的概率密度,(1)定義,(2)性質,均勻分布,(1)定義,(2)分布函數,分布函數,指數分布,正態(tài)分布(或高斯分布),(1)定義,標準正態(tài)分布的概率密度表示為,標準正態(tài)分布的分布函數表示為,(2)標準正態(tài)分布,(3)重要公式,隨機變量的函數的分布

7、,(1)離散型隨機變量的函數的分布,(2)連續(xù)型隨機變量的函數的分布,定理,定 義,聯 合 分 布 函 數,聯 合 分 布 律,聯 合 概 率 密 度,邊 緣 分 布,條 件 分 布,兩 個 隨 機 變 量 的 函 數 的 分 布,隨 機 變 量 的 相 互 獨 立 性,定 義,性 質,二 維 隨 機 變 量,推 廣,第三章、主要內容,(1) 定義,二維隨機變量的分布函數,且有,(2) 性質,二維隨機變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為:,二維離散型隨機變量的分布律,離散型隨機變量 ( X,Y ) 的分布函數為,二維連續(xù)型隨機變量的概率密度,(1) 定義,(2) 性質,(3) 兩個常用的分

8、布,設 D 是平面上的有界區(qū)域, 其面積為 S, 若二 維隨機變量 ( X, Y ) 具有概率密度,則稱( X,Y )在D上服從均勻分布.,若二維隨機變量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布.,邊緣分布函數,為隨機變量 ( X,Y ) 關于 Y 的邊緣分布函數.,離散型隨機變量的邊緣分布,隨機變量關于X 和 Y 的邊緣分布函數分別為,聯合分布,邊緣分布,連續(xù)型隨機變量的邊緣分布,同理得 Y 的邊緣概率密度,(1) 離散型隨機變量的條件分布,隨機變量的條件分布,同理可定義,(2) 連續(xù)型隨機變量的條件分布,聯合分布、邊緣分布、條件分布的關系,聯合分布,隨機變

9、量的相互獨立性,隨機變量函數的分布,(1)離散型隨機變量函數的分布,當 X, Y 獨立時,(2)連續(xù)型隨機變量函數的分布,則有,二、主要內容,數學期望,方 差,離散型,連續(xù)型,性 質,協方差與相關系數,二維隨機變量的數學期望,定 義,計 算,性 質,隨機變量函數的數學期望,定 義,協方差的性質,相關系數定理,離散型隨機變量的數學期望,連續(xù)型隨機變量的數學期望,隨機變量函數的數學期望,離散型隨機變量函數的數學期望為,則有,則有,數學期望的性質,1. 設C是常數, 則有,2. 設X是一個隨機變量, C是常數, 則有,3. 設X, Y 是兩個隨機變量, 則有,4. 設X, Y 是相互獨立的隨機變量,

10、 則有,二維隨機變量的數學期望,同理可得,則,則,方差的定義,方差的計算,離散型隨機變量的方差,連續(xù)型隨機變量的方差,方差的性質,1. 設 C 是常數, 則有,2. 設 X 是一個隨機變量, C 是常數, 則有,協方差與相關系數的定義,協方差的性質,相關系數定理,大數定律,二、主要內容,中心極限定理,定 理 一,定理二,定理三,定理一的另一種表示,定理一,定理二,定理三,契比雪夫定理的特殊情況,定理一的另一種表示,伯努利大數定理,辛欽定理,獨立同分布的中心極限定理,李雅普諾夫定理,則隨機變量之和的標準化變量,德莫佛拉普拉斯定理,總 體,個 體,樣本,常用統計量的分布,分位點,概率密度函數,二、

11、主要內容,統計量,常用統計量,性質,關于樣本和方差的定理,t 分布,F 分布,分布,關于樣本和方差的定理,統計量,常用統計量,(1)樣本平均值:,(2)樣本方差:,(3)樣本標準差:,常用統計量,(4)樣本 k 階(原點)矩:,(5)樣本 k 階中心矩:,常用統計量的分布(一),分布的性質,性質1,性質2,常用統計量的分布(二),t 分布又稱學生氏(Student)分布.,常用統計量的分布(三),關于正態(tài)總體的樣本和方差的定理,定理一,定理二,定理三,關于正態(tài)總體的樣本和方差的定理,矩估計量,估計量的評選,截尾樣本的最大似然估計,截尾壽命試驗,第七章、主要內容,最大似然估計量,最大似然估計的性

12、質,似然函數,無偏性,正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限,有效性,置信區(qū)間和上下限,求置信區(qū)間的步驟,相合性,矩估計量,用樣本矩來估計總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數來估計總體矩的連續(xù)函數,這種估計法稱為矩估計法.,矩估計法的具體做法:,最大似然估計量,似然函數,正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限,單個正態(tài)總體,無偏性,有效性,由于方差是隨機變量取值與其數學期望的偏離程度, 所以無偏估計以方差小者為好.,相合性,置信區(qū)間和置信上限、置信下限,求置信區(qū)間的一般步驟,原假設與備擇假設,常見的假設檢驗,單邊檢驗拒絕域,單邊、雙邊檢驗,第八章、主要內容,檢驗統計量,拒絕域與臨界點,兩類錯誤,正態(tài)總體均值的檢驗,正態(tài)總體均值差的檢驗,正態(tài)總體方差的檢驗,置信區(qū)間,特 征 函 數,原假設與備擇假設,假設檢驗問題通常敘述為:,檢驗統計量,拒絕域與臨界點,當檢驗統計量取某個區(qū)域 C 中的值時, 我們拒絕原假設 H0, 則稱區(qū)域 C 為拒絕域, 拒絕域的邊界點稱為臨界點.,兩類錯誤,1. 當原假設H0為真, 觀察值卻落入拒絕域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯誤, 又叫棄真錯誤, 這類錯誤是“以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是顯著性水平,2. 當原假設H0不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受H0的判斷, 稱做第二類錯誤, 又叫取偽錯誤, 這類