1、第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,已知隨機變量( X ,Y )的概率分布,將關(guān)于 Z 的事件轉(zhuǎn)化為關(guān)于( X ,Y )的事件,求 Z = g( X ,Y )的概率分布,g(x, y) 為已知的二元函數(shù),當(dāng)( X ,Y )為離散型隨機變量時, Z 也是離散型.,當(dāng)( X ,Y )為連續(xù)隨機變量時，,其中,例1 設(shè)二維隨機變量( X,Y )的概率分布為,求,的概率分布,1、離散型二維隨機變量的函數(shù),解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：,X +Y,X Y,XY,Y / X,( X,Y ),(1, 1),(1,0),(1, 1),(1,0),(2, 1),(2,0),2 1 0 1 1 2,

2、0 1 2 1 3 2,1 0 1 0 2 0,1 0 1 0 1/2 0,由此可得,2 1 0 1 2,1 0 1 2 3,設(shè) X b (n, p), Y b (m, p), 且相互獨立，,具有可加性的兩個離散分布,則 X + Y b( n+m, p).,證,則由已知得Z=X+Y 的所有可能取值為,顯然,依題意,上式右端各事件互不相容, 由概率的可加性及X, Y,的相互獨立性,有,由此知,服從參數(shù)為n+m的二項分布.,注： 在上面的證明中用到了以下組合恒等式：,設(shè),且相互獨立, 則,設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x, y)，,為求Z的概率密度，可先求出 Z 的分布函數(shù),2、二

3、維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布,又Z = g(X, Y),情況下，Z是一連續(xù)型隨機變量。,g(x, y)為一已知的連續(xù)函數(shù),在大部分,求出Z的概率密度,求解過程中，關(guān)鍵在于將事件 Zz 等價地轉(zhuǎn)化為用,其中,( X,Y )表示的事件,如果求得了,那么可通過,例2 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為,求 Z = 2X Y 的分布函數(shù) FZ ( z ) 和概率密度 fZ (z).,解,采用分布函數(shù)法,如圖所示.,當(dāng) 0 z 2 時，,當(dāng) z 0 時, 有,當(dāng)z 2 時，有,求導(dǎo)可得 Z = 2X Y 的概率密度為,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)，現(xiàn)求Z=X+Y的概,(1)和的分布,固定

4、z和y對積分 作換元法，令x+y=u得,于是：,由概率密度定義，即得 Z 的概率密度為,由 X 與 Y 的對稱性，又可得,當(dāng)X與Y相互獨立時，有,其中 分別是X和Y的密度函數(shù)。,例3 設(shè) X 和 Y 相互獨立,且都服從 N(0, 1), 求,解,從而Z=X+Y的概率密度為,Z = X + Y 的概率分布.,由題意知, X和Y的概率密度函數(shù)分別為,由于 X與 Y相互獨立,令 ，則,這說明,定理1 設(shè)X,Y 相互獨立, 且,則 仍然服從正態(tài)分布,且,則,推廣,例4 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,令Z = X + Y ,求 f Z (z).,解法一公式法,利用和的概率密度公式，有,由

5、的定義，可知,只有 x ，z 滿足,時，上述積分的被積函數(shù)不等于零，由上圖可知：,當(dāng)0 z 1 時，,當(dāng)z 0 時，,解法二 從分布函數(shù)出發(fā),當(dāng)1 z 2 時，,z-1,當(dāng)2 z 時，,所以,*2. 乘積的分布,設(shè)隨機變量(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量, 其聯(lián)合,概率密度函數(shù)為 ，,由分布函數(shù)的定義, 有,令,如圖所示, 當(dāng)z0時，有,在上式第一個積分的內(nèi)層積分中作積分變量代換,，有,對第二個積分作類似的處理, 有,由此得Z 的分布函數(shù)為,將上式兩邊對z求導(dǎo)，得,在z0時有相同的結(jié)論, 由此得到 的概率,密度函數(shù)為,例5 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且分別具有密度函數(shù),證明: Z = XY 服從

6、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,證,密度函數(shù)為,由于隨機變量X與Y相互獨立, 所以其聯(lián)合概率,則,令,則有,*3. 商的分布,設(shè)隨機變量(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量, 其聯(lián)合,概率密度函數(shù)為 ，,由分布函數(shù)的定義, 有,令,對以上積分的內(nèi)層積分作變量代換 ，可得,將上式兩邊對z求導(dǎo)，得,特別地，如果X與Y相互獨立，則,其中X與Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為,求 的概率密度函數(shù).,解,則,由此知Z是服從柯西分布的隨機變量.,因為,設(shè)(X, Y) 的分布函數(shù)為 F(x, y) ,現(xiàn)求 M 與N 的,分布函數(shù),其中,的分布函數(shù)為,當(dāng) X 與 Y 獨立時有,則,的分布函數(shù)為,則,的分布函數(shù)為,則有,例7 設(shè)系統(tǒng) L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng) L1和 L2 聯(lián)接,而成，其聯(lián)接方式分別為（1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)，如圖,所示，設(shè) L1 和 L2 的壽命分別為 X 和 Y , 已知它們的密,度函數(shù)分別為,其中,試分別就以上兩種聯(lián)接方式求出系統(tǒng) L,的壽命 Z 的概率密度函數(shù)。,解: (1)串聯(lián)情況,當(dāng) L1 和 L2 中有一個損壞時，系統(tǒng) L 就停止工作，所,以，這時 L 的壽命為,則Z的分布函數(shù)為,(2)并聯(lián)情況,若系統(tǒng)L1與L2采用如圖所示的