1、第6講一元二次方程及其應(yīng)用,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)一一元二次方程及其解法 1.如果一個(gè)方程通過(guò)整理可以使右邊為0,而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式,那么這樣的方程叫一元二次方程,一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù),a0),其中a,b,c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,2.解法,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根,則x1+x2=-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)四一元

2、二次方程的應(yīng)用 1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟 2.一元二次方程實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型 平均增長(zhǎng)率(下降率)問(wèn)題: (1)增長(zhǎng)率=(增量基礎(chǔ)量)100%; (2)設(shè)a為原來(lái)量,m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù),b為增長(zhǎng)后的量,則a(1+m)n=b;當(dāng)m為平均下降率,n為下降次數(shù),b為下降后的量,則a(1-m)n=b.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)1解一元二次方程 1.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)2一元二次方程根的判別式定理 2.(2018安徽,7,4分)若關(guān)于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的

3、值為( A) A.-1B.1 C.-2或2D.-3或1,解析:原方程可變形為x2+(a+1)x=0. 該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, =(a+1)2-410=0,解得a=-1.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用,3.(2018安徽,6,4分)據(jù)省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布,2017年我省有效發(fā)明專(zhuān)利數(shù)比2016年增長(zhǎng)22.1%.假定2018年的平均增長(zhǎng)率保持不變,2016年和2018年我省有效發(fā)明專(zhuān)利分別為a萬(wàn)件和b萬(wàn)件,則( B) A.b=(1+22.1%2)aB.b=(1+22.1%)2a C.b=(1+22.1%)2aD.b=22.1%2a,解析:在增長(zhǎng)率問(wèn)題中,若增長(zhǎng)率設(shè)為x,在a

4、的基礎(chǔ)上連續(xù)兩次增長(zhǎng)后可用代數(shù)式a(1+x)2表示,故選B.,4.(2017安徽,8,4分)一種藥品原價(jià)每盒25元,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元.設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x,則x滿足(D) A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,5.(2015安徽,6,4分)我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4億件,受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素,快遞業(yè)迅速發(fā)展,2014年增速位居全國(guó)第一.若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4.5億件,設(shè)2014年與2015年這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則下列方程正確的是( C ) A

5、.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5 C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5,解析:由于2015年的快遞業(yè)務(wù)量可用1.4(1+x)2表示,又2015年的快遞業(yè)務(wù)量是4.5億件,可列方程是1.4(1+x)2=4.5,故選C.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法1一元二次方程的解法,例1(2012安徽)解方程:x2-2x=2x+1. 解:原方程化為x2-4x=1. 配方,得x2-4x+4=1+4. 整理,得(x-2)2=5.,方法總結(jié)本題考查了解一元二次方程的解法,熟練掌握一元二次方程的四種特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵,通常情況下,未知數(shù)全部

6、在平方里面用直接開(kāi)方法,二次項(xiàng)系數(shù)為1考慮用因式分解法或配方法,其他情況考慮用公式法.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練1(2018山東臨沂)一元二次方程y2-y- =0配方后可化為( B),對(duì)應(yīng)練2(2018湖南益陽(yáng))規(guī)定ab=(a+b)b,如:23=(2+3)3=15,若2x=3,則x=-3或1.,對(duì)應(yīng)練3(2018江蘇淮安)一元二次方程x2-x=0的根是x1=0,x2=1.,解析:2x=3,(2+x)x=3,x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法2一元二次方程根的判別式的應(yīng)用,例2(2017北京)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3

7、)x+2k+2=0. (1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根; (2)若方程有一根小于1,求k的取值范圍. (1)證明:=-(k+3)2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)20,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (2)解:x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,x1=2,x2=k+1. 方程總有一個(gè)根小于1,k+10方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有實(shí)數(shù)根0.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練4(2018上海)下列對(duì)一元二次方程x2+x-3=0根的情況的判斷,正確的是( A) A.有兩

8、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根,解析:根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,即可得出=130,進(jìn)而即可得出方程x2+x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練5(2017湖南益陽(yáng))關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1=1,x2=-1,那么下列結(jié)論一定成立的是( A) A.b2-4ac0B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0D.b2-4ac0,對(duì)應(yīng)練6(2018四川瀘州)已知關(guān)于x的一元一次方程x2-2x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( C) A.k2B.k0 C.k2D.k

9、0,解析:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1=1,x2=-1,說(shuō)明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以b2-4ac0,因此選A.,解析:由題可知,0,即(-2)2-4(k-1)0,解得k2.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法3一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,例3(2018四川眉山)若,是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根,則 的值是(),答案:C,方法總結(jié)本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求含一元二次方程根的代數(shù)式常常利用根與系數(shù)的關(guān)系 ,可以方便快捷的解題.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練7(2018寧夏)若2- 是方程x2-4x+c=0的一個(gè)根

10、,則c的值是( A),考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練8(2018湖北咸寧)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的兩個(gè)根為x1,x2,且x1x2,下列結(jié)論正確的是( D) A.x1+x2=1B.x1x2=-1 C.|x1|x2|D.,故A、B錯(cuò)誤;由x1+x20,x1|x2|,故C錯(cuò)誤; x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一個(gè)根,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練9(2018江蘇南京)設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1,則x1=-2,x2=3.,解析:x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1,m=1.原方程為x2-

11、x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得:x1=-2,x2=3.故答案為:-2,3.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法4一元二次方程的應(yīng)用,例4(2018貴州安順)某地2015年為做好“精準(zhǔn)扶貧”,投入資金1 280萬(wàn)元用于異地安置,并規(guī)劃投入資金逐年增加,2017年在2015年的基礎(chǔ)上增加投入資金1 600萬(wàn)元. (1)從2015年到2017年,該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少? (2)在2017年異地安置的具體實(shí)施中,該地計(jì)劃投入資金不低于500萬(wàn)元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定前1 000戶(含第1 000戶)每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元,1 000 戶以后每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)5元,按租房400

12、天計(jì)算,求2017年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得1 280(1+x)2=1 280+1 600, 解得x=0.5或x=-2.5(舍). 答:從2015年到2017年,該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為50%. (2)設(shè)2017年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì), 81 000400=3 200 0001 000. 根據(jù)題意得1 0008400+(a-1 000)54005 000 000,解得a1 900. 答:2017年該地至少有1 900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).,考法1,考法2,

13、考法3,考法4,方法總結(jié)本題考查了增長(zhǎng)(或降低)率問(wèn)題,是列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題最常見(jiàn)的題型之一,對(duì)于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題,弄清基數(shù)a、增長(zhǎng)(減少)后的量a(1+x)n及增長(zhǎng)(減少)次數(shù)n是解題關(guān)鍵,正確理解有關(guān)增長(zhǎng)問(wèn)題的一些詞語(yǔ)的含義對(duì)解答這類(lèi)問(wèn)題也很重要,常見(jiàn)的詞語(yǔ)有:增加、增加到、增加了幾倍、增長(zhǎng)到幾倍、增長(zhǎng)率等.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練10(2013安徽,7,4分)目前我國(guó)建立了比較完善的經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助體系.某校去年上半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389元,今年上半年發(fā)放了438元,設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長(zhǎng)率為x,則下面列出的方程中正確的是( B) A.438(1+x

14、)2=389B.389(1+x)2=438 C.389(1+2x)2=438D.438(1+2x)2=389,解析:設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長(zhǎng)率為x,則去年下半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389(1+x)元,今年上半年發(fā)放給每個(gè)經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生389(1+x)2元,由題意,得389(1+x)2=438.,考法1,考法2,考法3,考法4,對(duì)應(yīng)練11(2018黑龍江龍東地區(qū))某中學(xué)組織初三學(xué)生籃球比賽,以班為單位,每?jī)砂嘀g都比賽一場(chǎng),計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽,則共有多少個(gè)班級(jí)參賽?( C) A.4B.5C.6D.7,解析:設(shè)有x個(gè)班級(jí)參賽,依題意列方程得 x(x-1)=15,解得x1=-5(舍去),x2=6,有6個(gè)班級(jí)參賽.,考法1,考法2,考法3,考法4,