1、函數(shù)的變化率,如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？,H,A,B,C,D,F,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如圖，是一座山的剖面示意圖: A是登山者的出發(fā)點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示 ； 問題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置， 函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？,登山問題,x,選取平直山路AB放大研究 : 若,自變量的改變量,函數(shù)值的改變量,直線AB的斜率:,D1,X3,O,y,x,x0,x1,y0,y1,A(x0,y0),B(x1,y1),O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2),D1(x3,y3),直線AB的斜率:,直線CD1的斜率:

2、,x,y0,x0,x1,y1,B(x1,y1),y2,C(x2,y2),y3,D(x3,y3),y4,E(x4,y4),平均變化率,曲線陡峭程度,數(shù),形,變量變化的快慢,建構(gòu)數(shù)學(xué),華羅庚,數(shù)缺形少直觀,形缺數(shù)難入微,函數(shù)的平均變化率,已知函數(shù) 在點 及其附近有定義， 令 , 則當(dāng) 時,比值 叫做函數(shù) 在 到 之間的平均變化率,思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？,O,A,B,x,y,Y=f(x),x0,X0+x,f(x0),f(X0+x),x,直線AB的斜率,函數(shù)平均變化率:,函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,觀察函數(shù)f(x)的圖象,過曲線 上的點 割線的斜率。,思考：（1） x 、 y的符號是

3、怎樣的？ （2）該變量應(yīng)如何對應(yīng)？ 理解： 2、 對應(yīng)性： 若,美國康乃大學(xué)曾經(jīng)做過一個有名的“青蛙試驗”。試驗人員 把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險， 拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋 中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉， 毫無戒備。一段時間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青 蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險，最后，一只活蹦 亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。,閱讀材料,例1.求函數(shù) 在 到 之間的平均變化率,解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時候,函數(shù)的平均變化率為,分析:當(dāng) 取定值, 取不同數(shù)值時, 該函數(shù)的平均變化率也不一樣.,( 2 )

4、 求函數(shù) 在 到 之間的平均變化率,解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時候,函數(shù)的平均變化率為,課堂練習(xí)： 甲乙二人跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示， （1）甲乙二人哪一個跑得快？ （2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？,知識運用,再做兩個題吧!,1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x,D,y=kx+b在區(qū)間 上的平均變化率有什么特點？,2.求下列函數(shù)的在區(qū)間 平均變化率： （1）y=1（2）y=2x

5、+1 （3）y=-2x,例3：已知函數(shù) ，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。,解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時候,函數(shù)的平均變化率為,瞬時速度,導(dǎo)數(shù)的概念,也可記作, 若這個極限不存在，則稱在點x0 處不可導(dǎo)。,設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點 x=x0 的附近有定義，當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得增量 x ( 點 x0 +x 仍在該定義內(nèi)）時， 相應(yīng)地函數(shù) y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y與x之比當(dāng) x0的極限存在，則稱函數(shù) y = f(x)在點 x0 處可導(dǎo) ，并稱這個極限為函數(shù) y = f(x)在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)記為,即,例: 高臺跳水運動中， 秒 時運動

6、員相 對于水面的高度是 （單位： ），求運動員在 時的瞬時 速度，并解釋此時的運動狀態(tài);在 呢?,同理，,運動員在時的瞬時速度為 ，,上升,下落,這說明運動員在附近，正以大約 的速率 。,割線PQ的的變化情況,在,的過程中，,請在函數(shù)圖象中畫出來,你能描述一下嗎？,P,Q,M,求已知曲線的切線.,作業(yè),課本82.B2 報紙A14,一是:根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度. 二是:求已知曲線的切線.,3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,一是:根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度. 二是:求已知曲線的切線.,課堂小結(jié)：,函數(shù)的平均變化率,函數(shù)的瞬時變化率,3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,的切線方

7、程為,即,圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線可以 用在點P處的切線近似代替 。,大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲” （以簡單的對象刻畫復(fù)雜的對象）,1.在函數(shù) 的 圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義.,(2)請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。 在 附近呢？,(2)請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情

8、況。 在 附近呢？,增（減):,增（減）快慢：,=切線的斜率,附近：,瞬時,變化率,（正或負）,即：瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）,（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）,畫切線,即：導(dǎo)數(shù),的絕多值的大小,=切線斜率的絕對值的 大小,切線的傾斜程度 （陡峭程度）,以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象,(2) 曲線在 時，切線平行于x軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降,曲線在 處切線 的斜率 0 在 附近，曲線 ，函數(shù)在 附近單調(diào),如圖，切線 的傾斜程度大于切線的 傾斜程度，,大于,上升,遞增,上升,這說明曲線在 附近比在附近 得迅速,遞減,下降,小于,下降,2如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t) （單位：mg/ml）隨時間t

9、（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時，血管中 藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的形式列出。(精確到0.1),血管中藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度,從圖象上看,它表示,曲線在該點處的切線的斜率.,函數(shù)f(t)在此時刻的導(dǎo)數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）,以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象,抽象概括：,是確定的數(shù),是的函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的概念：,小結(jié)： .函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義，就是函數(shù) 的圖像在點 處的切線AD的斜率（數(shù)形結(jié)合）,切線 AD的斜率,3.導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)),2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結(jié)合”，“以直代曲”的數(shù)學(xué) 思想方法。,以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象,課堂小結(jié),今天這節(jié)課，你學(xué)到了 哪些知識？,小結(jié)：,1.函數(shù)的平均變化率定義 2.函數(shù)的平均變化率的幾何意義,3.函數(shù)的平均變化率的求法,是曲線上兩點對應(yīng)割線的斜率,美國康乃大學(xué)曾經(jīng)做過一個有名的“青蛙試驗”。試驗人員 把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險， 拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋 中，然后開始慢慢加熱水