1、第二章 模糊子集,模糊子集的定義 模糊子集的運(yùn)算 分解定理擴(kuò)張定理 模糊性度量 隸屬函數(shù)的確定,本章內(nèi)容,精確數(shù)學(xué)vs模糊數(shù)學(xué),精確數(shù)學(xué)：基礎(chǔ)經(jīng)典集合論；一個(gè)對(duì)象和一個(gè)集合的關(guān)系只有兩種可能：屬于、不屬于； 模糊數(shù)學(xué)：基礎(chǔ)模糊集合論；一個(gè)對(duì)象和一個(gè)模糊集合的關(guān)系：對(duì)象隸屬于該模糊集合的程度（隸屬度）。,特征函數(shù)與隸屬函數(shù),特征函數(shù)（經(jīng)典集合） 經(jīng)典集合論中，集合通過(guò)特征函數(shù)來(lái)刻畫 每個(gè)集合A對(duì)應(yīng)一個(gè)特征函數(shù)CA(x) 特征函數(shù)的定義,特征函數(shù)與隸屬函數(shù),隸屬函數(shù) 模糊集合論中，模糊集合通過(guò)隸屬函數(shù)來(lái)刻畫 隸屬函數(shù)是將特征函數(shù)的值域從0，1推廣到0，1 特征函數(shù)記為A(u)，u論域U,1. 模糊

2、子集的定義,設(shè)給定論域U，U到0, 1的任一映射A ：U 0, 1 都確定U的一個(gè)模糊子集A A叫做A的隸屬函數(shù)， A(u) （ uU ）表示 u隸屬于模糊子集A的程度，稱之為u對(duì)A的隸屬度,模糊集合的例子,設(shè)論域U0, 100表示人的年齡，“年輕Y”與“年老O”兩個(gè)模糊集，其隸屬函數(shù)u(x)為：,u(x),Y（30）0.5 Y（35）0.2 O（55）0.5 O（80）0.8,模糊集合與普通集合,模糊集合A由隸屬函數(shù)A刻畫 普通集合由特征函數(shù)CA刻畫 什么時(shí)候模糊集合退化成普通集合？,普通集合是模糊集的特例，特征函數(shù)即為隸屬函數(shù),空集,的隸屬函數(shù)為,全集,的隸屬函數(shù)為,模糊集合與普通集合,例

3、：某小組有五個(gè)同學(xué)，亦即x1,x2,x3,x4,x5,設(shè)論域U=x1,x2,x3,x4,x5，現(xiàn)分別對(duì)每個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)定程度打分，按百分制給分再除以100，這實(shí)際上就是給定一個(gè)從U到0,1閉區(qū)間的映射，例如：,這樣就確定了一個(gè)模糊子集A，它表示出小組的同學(xué)對(duì)“性格穩(wěn)重”這個(gè)模糊概念的符合程度。,U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合類，記為F(U)，顯然有,其中 P(U) 是 U 的冪集。 （由集合 U 的所有子集所組成的集合稱為 U 的冪集，記為 ）,模糊集合與普通集合,用模糊集合描述模糊現(xiàn)象時(shí)，隸屬函數(shù)的確定是關(guān)鍵，一般都是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來(lái)去處理它。,三類隸屬函數(shù),S函數(shù)（偏大型隸屬函

4、數(shù)）,對(duì)于指定的參數(shù) 是 單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù),例如：模糊集“年老”的隸屬函數(shù)可表示為,見(jiàn)書上圖,Z函數(shù)（偏小型隸屬函數(shù)）,三類隸屬函數(shù),對(duì)指定的參數(shù) 是 的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù),例如：模糊集“年輕”的隸屬函數(shù)可表示為,見(jiàn)書上圖,三類隸屬函數(shù),函數(shù)（中間型隸屬函數(shù)）,對(duì)指定參數(shù) 是 的連續(xù)函數(shù)。且 ；當(dāng) 時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)單調(diào)遞減。,見(jiàn)書上圖,模糊集合的表示法1zadeh表示法,論域U是有限集x1, x2, , xn,U的任一模糊子集A，其隸屬函數(shù)為i =A(xi) 模糊子集A記作 A = i=1n i / xi “i=1n i / xi”不是分式求和，只是一 符號(hào)而已。 “分母”是論域U的元素 “分

5、子”是相應(yīng)元素的隸屬度 當(dāng)隸屬度為0時(shí)，該項(xiàng)可以不寫入,注意,模糊集合的表示法1,模糊集合表示方法 1Example. 論域 = Bill, John, Einstein, Mike, Tom smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60 則論域中元素對(duì)“smart”這模糊概念的符合程度可以用模糊子集A來(lái)表示 A = 0.85/Bill + 0.75/John+ 0.98/Einstein + 0.30/Mike + 0.60/Tom,那么,為方便記為,例1： 表示“圓糊糊的物體”,模糊集合的表示法1,模糊集合的表示法2、3,序偶表示法 A(x1 ,1),(x2 ,2),(

6、xn ,n) A = (Bill, 0.85), (John, 0.75), (Einstein, 0.98), (Mike, 0.30), (Tom, 0.60) 向量表示法 A1, 2 , ,n A = 0.85,0.75,0.98,0.30,0.60,模糊集合的表示法-無(wú)限集,當(dāng)論域U為無(wú)限集時(shí)，A = xU A(x) / x 這里的積分號(hào)不表示積分，也不表示求和，而是表示各個(gè)元素與隸屬度對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)總括。 這種表示法可以推廣到有限、無(wú)限、離散、連續(xù)等各種情況。,注意,模糊集合的表示法-無(wú)限集,設(shè)論域U0,100表示人的年齡，“年輕Y”與“年老O”兩個(gè)模糊集。,定義模糊集合的運(yùn)算方法，

7、與定義普通集合的 運(yùn)算方法一樣，是利用參與模糊集合的隸屬函 數(shù)，來(lái)定義運(yùn)算結(jié)果所得新模糊集合的隸屬函 數(shù)。 兩模糊集合的具體運(yùn)算，實(shí)際上就是逐點(diǎn)地對(duì) 隸屬度作相應(yīng)的運(yùn)算。包括： 交 并 補(bǔ),2. 模糊子集的運(yùn)算,設(shè)A、B為論域U上的模糊集 A= 對(duì)任何 uU，A(u) = 0 A = B 對(duì)任何 uU，A(u) =B(u) A B 對(duì)任何 uU，A(u) B(u) A B 對(duì)任何 uU，A(u) B(u) A B 對(duì)任何 uU，A(u) B(u) Ac 對(duì)任何 uU，1A(u),2. 模糊子集的運(yùn)算,模糊集合的并、交、補(bǔ)集合,模糊集合的運(yùn)算,Example 1. 論域U=x1 , x2 , x

8、3 , x4 , x5 A, B是論域U的兩個(gè)模糊子集， A = 0.2/x1+ 0.7/x2 + 1/x3 + 0.5/x5 B = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.1/x4+0.7/x5 請(qǐng)您：計(jì)算A,B的余集，AB，AB,模糊集合的運(yùn)算,運(yùn)算的含義,若U表示商品集合，A表示商品質(zhì)量好，B表示商品質(zhì)量壞。則， Ac表示商品質(zhì)量不好，可見(jiàn)AcB，即，商品質(zhì)量不好，并不代表商品質(zhì)量壞。模糊集合能夠很好的表現(xiàn)這些概念的差異。,例2：設(shè)論域 U=a,b,c,d,e 是一個(gè)5人組成的集合， 表示 “高個(gè)子” 的集合， 表示“胖子”的集合，,則“或高或胖”,則“又高又胖”,則“不高”,模糊集合的

9、運(yùn)算,Example3,設(shè)論域U0,100表示人的年齡，“年輕Y”與“年老O”兩個(gè)模糊集。給出模糊集合YO，YO的隸屬函數(shù)曲線.,Example3,解：先求兩曲線的交點(diǎn)，即解方程,得近似解 ，于是,Example3,模糊集合運(yùn)算性質(zhì),（1）冪等律：AAA , AA=A; （2）交換律：AB=BA, AB=BA; （3）結(jié)合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);,模糊集合運(yùn)算性質(zhì),（6）0-1律：AA, A; UA=U,UA=A; （7）還原

10、律：(Ac)c=A; （8）對(duì)偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 互余律不成立！ AcA U, AAc ,注意,模糊集合的運(yùn)算,推廣到有限個(gè)模糊集： 對(duì)任意多個(gè)模糊集：,模糊集合的其它運(yùn)算,環(huán)和、乘積算子： 運(yùn)算性質(zhì)： 滿足：交換律、結(jié)合律、還原律、0-1律、對(duì)偶律 不滿足：分配律、吸收律、冪等律、排中律,模糊集合的其它運(yùn)算,有界算子： 運(yùn)算性質(zhì)： 滿足：交換律、結(jié)合律、還原律、 0-1律、對(duì)偶律、排中律 不滿足：分配律、吸收律、冪等律、,模糊集合的其它運(yùn)算,取大乘積算子 有界和、取小算子 有界和、乘積算子 Einstain算子 Hamacher算子 Yager算子,例1

11、、設(shè)有論域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊概念“大數(shù)”。 解：設(shè)A表示“大數(shù)”的模糊集，A為其隸屬函數(shù)。 則有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中： A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5， A(4)=0.8，A(5)=1,舉例,例2、設(shè)有論域：U= 高山，劉水，秦聲 確定一個(gè)模糊集A，以表示他們分別對(duì)“學(xué)習(xí)好”的隸屬程度 解：假設(shè)他們的平均成績(jī)分別為：98分，72分，86分，設(shè)映射為平均成績(jī)除以100。則有隸屬度： A(高山)=0.98，A(劉水)=0.72，A(秦聲)=0.86 模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 ,舉例,例3、設(shè)U=

12、u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：AB, AB及Ac. 解：AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2 +(0.6 0.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2+(0.6 0.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3,舉

13、例,3. 模糊集的分解（分解定理）,模糊集合與經(jīng)典集合的聯(lián)系,由模糊集合理論可知，模糊集合是通過(guò)隸屬函數(shù) 來(lái)定義的。 如果模糊集合 的任意元素x對(duì)于 的隸屬度達(dá)到 或超過(guò)一個(gè)常量 者，就算做經(jīng)典集合B的成員 的話，那么模糊集合 就變成了經(jīng)典集合A。 例如，“高個(gè)子”是個(gè)模糊集合，而“身高175cm以 上的人”卻是個(gè)經(jīng)典集合。 為此便引出了“ ”的概念。,3. 模糊集的分解（分解定理）,引例：,若要求至少應(yīng)達(dá)到0.5 水平，則有夏、商、西周、春秋、戰(zhàn)國(guó),若要求至少應(yīng)達(dá)到0.7 水平，則有夏、商、西周、春秋,定義：設(shè) 是論域，,例如：,3. 模糊集的分解（分解定理）,稱為閾值,稱為,強(qiáng)截集；,的強(qiáng)

14、,稱為,-,A,奴隸社會(huì)，,夏，商，西周，春秋，戰(zhàn)國(guó),夏，商，西周，春秋,顯然，,一個(gè)模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函數(shù)為：,3. 模糊集的分解（分解定理）,例：設(shè)論域U=a,b,c,d,e,f上的模糊集合A為：,則：,根據(jù) 截集定義，得：,截集（例）,例：設(shè)模糊集合A，隸屬函數(shù)為 A(x)=exp-(x-a)2/2 , xR, 其中aR,0, 稱A為以(a,)為參數(shù)的正態(tài)模糊集, 對(duì)于01, 求,3. 模糊集的分解（分解定理）,含義:正態(tài)模糊集表示”在數(shù)a左右”,這是一個(gè)區(qū)間， 當(dāng) 時(shí)，,3. 模糊集的分解（分解定理）,截集的三個(gè)性質(zhì)：,A，B為模糊集 (AB)= AB，(AB)= A

15、B 若A B，則A B 若, 0，1，且，則,只證明性質(zhì)1,證明：,截集的三個(gè)性質(zhì)：,性質(zhì)1推廣,所以,證明：,注：,例如：,截集的三個(gè)性質(zhì)：,截集的三個(gè)性質(zhì)：,由性質(zhì)3可知，越大， A越小。 什么時(shí)候A最?。?例題：,設(shè),求：,解：,上例說(shuō)明：,截集性質(zhì)補(bǔ)充：,截集（幾個(gè)定義）,稱集合SuppA=xA(x)0為A的支集，記SuppA=A0； 稱集合KerA=xA(x)=1為A的核，記KerA=A1.若KerA，則稱A為正規(guī)模糊集。 集合BdA x| 0 A(x)1為A的邊界，即 BdA suppA KerA.,設(shè)AF（U),截集（幾個(gè)定義）,核A1是由A(x)=1的元素構(gòu)成的，即由完全屬于A

16、的 元素構(gòu)成。A從A1出發(fā)不斷擴(kuò)大，收進(jìn)越來(lái)越多的 元素。達(dá)到SuppA.,SuppA=A0 =xA(x)0 是隸屬函數(shù)大于0的元素 的最大集合。A的邊界 BdA則是介于完全屬于A 與完全不屬于A之間的元 素的全體，這正表明了A 的邊界是不分明的。,截集（幾個(gè)定義）,A奴隸社會(huì) = 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/戰(zhàn)國(guó)+0.4/秦+0.3/西漢+0.1/東漢 寫出SuppA、KerA及BdA.,例1、設(shè)有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且分別為1，0.6，0.5，0.3,分別求其相應(yīng)的水平截集、核及支集。,解：（

17、1）水平截集 A1= u3 , A0.6= u2,u3,u4 , A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集 KerA= u3 , SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 ,截集（幾個(gè)定義）,分解定理(decomposition theorems),定義: 設(shè),當(dāng)A為經(jīng)典集合時(shí)，,設(shè) 定義為：,A是X的一個(gè)模糊集合，A仍然表示X的一個(gè)模糊子集，稱為與A的“乘積”。,分解定理(decomposition theorems),性質(zhì)：,事實(shí)上，,分解定理(decomposition theorems),證明：,所以,分解定理,這就是分解定理,有,

18、只需證,分解定理,例子,分解定理Example1,分解定理Example1,設(shè)U1,2,3,4,5,6 ， A0.1, 0.4, 0.8, 1, 0.8, 0.4， 根據(jù)分解定理，A可分解為:A1 A1 0.8A0.8 0.4 A0.4 0.1 A0.1, 寫出A0.1、 A0.4、 A0.8、 A1。,分解定理Example2,A0.1=1,2,3,4,5,6, A0.4=2,3,4,5,6, A0.8=3,4,5, A1=4,分解定理Example2,分解定理Example2,設(shè)U1,2,3,4,5,6，A0.1=1,2,3,4,5,6，A0.4=2,3,4,5,6， A0.8=3,4,5

19、， A1=4，求模糊子集A。 解：A(1)=0.1=0.1, A(2)=A(6)= 0.1,0.4=0.4, A(3)=A(5)= 0.1,0.4,0.8=0.8, A(4)= 0.1,0.4,0.8,1=1,故 A=,A的含義：靠近4的數(shù)。,分解定理：用隸屬函數(shù)形式,設(shè)A是論域U的一個(gè)模糊子集，則有 推論,分解定理說(shuō)明了這樣一個(gè)道理：模糊集合A可以 由一個(gè)經(jīng)典集合族A0 1來(lái)等價(jià)。 也就是說(shuō)，模糊集合可以不通過(guò)隸屬函數(shù)，而 是使用 截集來(lái)表示。 模糊集合A可分解為無(wú)數(shù)個(gè)模糊子集 A的并 集，而每一個(gè)模糊子集 A又可由普通集合 A得到。 分解定理是把模糊集合論的問(wèn)題化為普通集合 論的問(wèn)題來(lái)求解

20、。因此， 截集和分解定理 是聯(lián)系模糊子集和普通集合的橋梁。,分解定理,4. 擴(kuò)張?jiān)硪?設(shè)X,Y為普通集合，f : X Y是一個(gè)映射，A是X上的一個(gè)普通集合，則通過(guò)映射f 可以得到Y(jié)上的一個(gè)普通集合B=f (A) 若A是X上的一個(gè)模糊集合，f (A)是什么？為了解決該問(wèn)題，查德1975年引入“擴(kuò)張?jiān)怼?擴(kuò)張?jiān)?擴(kuò)張?jiān)恚涸O(shè)映射 ，稱映射 為由映射 擴(kuò)張的模糊變換，其隸屬函數(shù)為： 稱映射 為由映射 擴(kuò)張的反向模糊變換，其隸屬函數(shù)為：,并稱 為 的像，稱 為 的原像。,擴(kuò)張?jiān)砝?設(shè)論域U1，2，3，4，5，6到Va，b，c，d的映射f：U V如下： 設(shè)A1/1+0.2/3+0.1/5+0.

21、9/6,求f(A).,擴(kuò)張?jiān)砝?解：,擴(kuò)張?jiān)砝?設(shè)B0.7/a+0.2/b+0.9/c+0/d, 求f-1(B).,擴(kuò)張?jiān)?擴(kuò)張?jiān)砼c分解定理,已知映射f : X Y，模糊變換f(A), 反向模糊變換Bf-1(B), 稱f(A)為的像，f-1(B)為的原像。,擴(kuò)張定理也可用分解定理形式給出,5. 模糊性度量,定義1：設(shè)是0,1 0,1 0,1的一個(gè)二元模糊算 子，記為：,稱區(qū)域 為模糊算子 的清晰域。,清晰域內(nèi)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于運(yùn)算的結(jié)果是確定的屬于與不屬于，故清晰域是刻畫模糊算子模糊程度的一種尺度，清晰域越小，對(duì)應(yīng)的模糊算子就越模糊。,模糊性度量,例題：分別求模糊算子 的清晰域。,解：,圖見(jiàn)

22、書P33,定義2 若映射 滿足如下條件： （1） （2） （3）若對(duì)任意 有 或 則 （4）,模糊性度量,則稱 為 的模糊度。,模糊度幾點(diǎn)說(shuō)明：,定義2中（1）說(shuō)明普通集是“確定性的”，其模糊 度是0； 條件（2）中說(shuō)明A（u)=1/2的模糊集是最不確定 的，其模糊度是1； 條件（3）則進(jìn)一步要求模糊集的模糊度的大小關(guān) 于A(u)=0.5的模糊集A是對(duì)稱的，即,應(yīng)具有相同的模糊度。,常見(jiàn)幾種模糊度計(jì)算公式,L-模糊度：,R模糊度：,模糊熵：,模糊度例題,例1：設(shè) 而,試計(jì)算：,解：,模糊度例題,例2: 設(shè) 若,則,6.隸屬函數(shù)的確定方法,模糊統(tǒng)計(jì)方法,與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻

23、為“變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)”.,三分法,利用隨機(jī)區(qū)間的思想來(lái)研究模糊性的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?隨機(jī)性與模糊性,模糊數(shù)學(xué)和概率論有什么關(guān)系？ 相同之處： 都研究不確定現(xiàn)象 不確定性的度量（隸屬度與概率）均在0，1取值。,模糊數(shù)學(xué)與概率論的不同,概率論所研究的隨機(jī)現(xiàn)象，事件本身含義明確，只是事件的發(fā)生與否存在不確定性，這種不確定性稱為隨機(jī)性 模糊數(shù)學(xué)所研究的模糊現(xiàn)象，事物的概念本身是模糊的，因此一個(gè)對(duì)象是否符合這個(gè)概念難以確定，稱這種不確定性為模糊性,概率統(tǒng)計(jì)與模糊統(tǒng)計(jì),概率：一個(gè)事件發(fā)生的概率可以通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)方法得到，即做大量的隨機(jī)試驗(yàn)，最后得到

24、統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,隸屬函數(shù)的確定1模糊統(tǒng)計(jì),Example. 論域U是人的集合，張三u0U， “高個(gè)子”是U上的模糊子集。讓不同的人評(píng)論張三是不是高個(gè)子，答案只能是“是”或“不是”，則,概率統(tǒng)計(jì)與模糊統(tǒng)計(jì)的區(qū)別,模糊統(tǒng)計(jì)是對(duì)論域上固定的元素u0是否屬于論域上一個(gè)可變動(dòng)的普通集合A*，作一個(gè)確切的判斷。 概率統(tǒng)計(jì)是對(duì)變動(dòng)的u0，是否落在不動(dòng)的集合內(nèi)，作一個(gè)確切的判斷。,隸屬函數(shù)的確定1模糊統(tǒng)計(jì),模糊統(tǒng)計(jì)就是做n次試驗(yàn)，然后計(jì)算 隨著n增大，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，該頻率穩(wěn)定值稱為u0對(duì)A的隸屬度。,確定“青年人”的隸屬函數(shù).,選擇若干（n）合適人選，請(qǐng)他們寫出各自認(rèn)為 “青年人”最適宜、最恰當(dāng)?shù)哪晗?，即將?/p>

25、糊概念明確化。,隸屬函數(shù)的確定1模糊統(tǒng)計(jì),表2-1 27歲對(duì)（青年人）的隸屬頻率,若n次實(shí)驗(yàn)中覆蓋27歲的年齡區(qū)間的次數(shù)為m，,則稱m/n為27歲對(duì)于（青年人）的隸屬頻率。,表2-2 分組計(jì)算隸屬頻率（實(shí)驗(yàn)次數(shù)129）,連續(xù)描出圖形，可得到“青年人”隸屬函數(shù)曲線。,上述F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)說(shuō)明了隸屬程度的客觀規(guī)律.,F統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)區(qū)別：,隨機(jī)試驗(yàn)：,F統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)：,二相F統(tǒng)計(jì):,每次F試驗(yàn)確定一個(gè)映射：,多相F統(tǒng)計(jì):,它們滿足,用隨機(jī)區(qū)間的思想處理模糊性（模糊性的清晰化）,隸屬函數(shù)的確定2三分法,所以有,類似地,按概率方法計(jì)算，得,從而,這里,用這種方法確定三相隸屬函數(shù)的方法，叫做三分法.,(1)矩形分布或半矩形分布,偏小型,常見(jiàn)的模糊分布,偏大型,中間型,(2)半梯形分布與梯形分布,偏小型,偏大型,中間型,偏小型,偏大型,(3)拋物型分布,中間型,（4）正態(tài)分布,偏小型,偏大型,（5）柯西分布,中間型,偏小型,偏大型,中間型,（6）嶺形分布,偏小型,偏