1、5.4 三大抽樣分布,有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的， 以標準正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用， 這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達式， 它們被稱為統(tǒng)計中的“ 三大抽樣分布 ” 。,5.4.1 2 分布(卡方分布),定義5.4.1 設(shè) X1, X2, Xn, 獨立同分布于標準 正態(tài)分布N(0,1) ，則2= X12+ Xn2的分布稱 為自由度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。,當隨機變量 2 2(n) 時，對給定 (01)，稱滿足 P(2 12(n) 的 12(n) 是自由度為n1的卡方分布的 1 分位數(shù). 分位數(shù) 12(n

2、) 可以從附表3 中查到。,該密度函數(shù)的圖像是一只取非負值的偏態(tài)分布,習題5.4： Q4,5.4.2 F 分布,定義5.4.2 設(shè)X1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨立， 則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自 由度，n 稱為分母自由度。,定義5.4.2 設(shè)X1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨立， 則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自 由度，n 稱為分母自由度。,由 F 分布的構(gòu)造知 F(n,m)

3、= 1/F1(m,n),該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負值的偏態(tài)分布,5.4.3 t 分布,定義 5.4.3 設(shè)隨機變量X1 與X2 獨立， 且X1 N(0,1), X2 2(n), 則稱,的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。,t 分布的密度函數(shù)的圖象是: 關(guān)于縱軸對稱的分布， 與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似， 只是峰比標準正態(tài)分布低一些, 尾部的概率比標準正態(tài)分布的大一些。,t 分布圖示,n1時, t 分布的數(shù)學期望存在且為0； n2時，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當自由度較大 (如n30) 時， t 分布可以用正態(tài)分布 N(0,1)近似。,自由度n=1的 t 分

4、布就是標準柯西分布， 它的均值不存在；,當隨機變量t t(n) 時，稱滿足 P(t t1(n) =1 的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的1分位數(shù).,注:,當隨機變量t t(n) 時，稱滿足 P(t t1(n) =1 的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的1分位數(shù). 分位數(shù) t1(n) 可以從附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么從附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .,由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于0 對稱, 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系 t(n1)= t1(n1),t 分布,高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Stud

5、ent”(學生)為筆名的論文中首次提出 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散 一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,正態(tài)總體的抽樣分布定理,5.4.4 一些重要結(jié)論,設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的樣本,定理5.4.1 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為,和,x = xi/n,(3) (n1) s2/2 2(n1)。,則有,與 s2 相互獨立；,(2) x N(, 2/n) ；,習題5.4：Q1Q3,推論5.4.1 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(1,

6、12) 的 樣本，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨立，則有,特別，若12 =22 ，則,F=sx2/sy2 F(m1,n1),推論5.4.2 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的 樣本，則有,習題5.4：Q5,推論5.4.3 在推論5.4.1的記號下，設(shè) 12 =22 = 2 ， 并記,則,作業(yè)：習題5.4,1 4 5 7 9 14 16,郵箱：courses_ 密碼： tongjixue,補充：運用R軟件計算,調(diào)用分布函數(shù)，計算P(Xx) 轉(zhuǎn)換概率為分位數(shù)， 即：找到x值，使得P(Xx)=p,R軟件： 調(diào)用分布函數(shù) 計算P(Xx) 前綴“p” 計算Q4： P(10 Y20) pchisq(x,df),R軟件： 調(diào)用分布函數(shù)，計算P(Xx) 前綴“p”,正態(tài)分布：pnorm(x,mean,sd) t 分布： pt(x,df) 卡方分布：pchisq(x,df) F分布： pf(x,df1,df2),Q13,Q5,R軟件： 轉(zhuǎn)換概率為分位數(shù)