1、19.3.3菱形的性質(zhì)與判定,滬科版 八年級下,新知導(dǎo)入,圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？,新知導(dǎo)入,圖片中出現(xiàn)的圖形是一種特殊的平行四邊形，它叫菱形，那么什么是菱形呢？.,新知導(dǎo)入,矩形,前面我們學習了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個角是直角時,就成為了矩形.,有一個角是直角,新知導(dǎo)入,如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?,平行四邊形,菱形,平行四邊形不一定是菱形.,新知講解,由菱形的定義易知菱形與平行四邊形間關(guān)系是 .,特殊與一般的關(guān)系,菱形,平行四邊形,菱形除了具有一

2、般平行四邊形的性質(zhì)外，它的邊、對角線還具有哪些特殊性質(zhì)呢？,新知講解,動手操作：將一張長方形的紙片按如圖所示的方法進行對折、再對折，然后沿虛線剪下，打開后你知道它是什么圖形嗎？,問題1 菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,指出它的對稱軸. 是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸. 問題2 根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上 有什么關(guān)系?菱形的兩對角線有什么關(guān)系?,猜想1 菱形的四條邊都相等.,猜想2 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對 角線平分一組對角.,新知講解,已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O. 求證:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC

3、BD； DAC=BAC，DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD.,證明：（1）四邊形ABCD是菱形， AB = CD，AD = BC（菱形的對邊相等）. 又AB=AD, AB = BC = CD =AD.,新知講解,（2）AB = AD, ABD是等腰三角形. 又四邊形ABCD是菱形,OB = OD （菱形的對角線互相平分）.,在等腰三角形ABD中,OB = OD， AOBD，AO平分BAD， 即ACBD，DAC=BAC.,同理可證DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD.,新知講解,(1) 菱形的四條邊都相等.,(2) 菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角

4、.,菱形特有的性質(zhì):,符號語言: 四邊形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD AC BD ABD=CBD =ADB=CDB， BAC=DAC =BCA=CDA.,菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).,新知講解,新知講解,例1 已知菱形的兩條對角線長分別為a，b， 求菱形的面積 (1)用含a，b的代數(shù)式表示菱形ABCD的面積S； (2)若a=6，b=8，求它的面積和周長,解： (1)如圖，設(shè)菱形的兩條對角線AC，BD相交于點O ，AC=a，BD=b,四邊形ABCD是菱形,ACBD( ),菱形的對角線互相垂直,S菱形ABCD =SABD +S

5、CBD,能用文字敘述這個結(jié)論嗎？,菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半,新知講解,解：由(1)易求面積S= 68=24 四邊形ABCD是菱形， ACBD， AO AC，BO BD. AC6cm，BD8cm， AO3cm，BO4cm.,在RtABO中，由勾股定理得,菱形的周長4AB45 (cm),新知講解,根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個判定的方法：,AB=AD，,四邊形ABCD是平行四邊形，,四邊形ABCD是菱形.,數(shù)學語言,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.,思考 還有其他的判定方法嗎？,新知講解,猜想：四邊都相等的四邊形是菱形,小剛：分別以A、C為圓心,以大于 AC的長為半徑作弧,兩條

6、弧分別相交于點B , D,依次連接A、B、C、D四點.,C,A,B,D,想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗證小剛的作法對嗎？,新知講解,證明：AB=BC=CD=AD, AB=CD , BC=AD. 四邊形ABCD是平行四邊形. 又AB=BC, 四邊形ABCD是菱形.,已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求證：四邊形ABCD是菱形.,四條邊都相等的四邊形是菱形,AB=BC=CD=AD,幾何語言描述： 在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，,四邊形 ABCD是菱形.,菱形的判定定理1：,（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）,新知講解,命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱

7、形.,證明：, ABCD是菱形,又 AC BD;,四邊形ABCD是平行四邊形,AO=CO,DA=DC,O,新知講解,新知講解,菱形的判定定理2：,對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；,ACBD ABCD,四邊形ABCD是菱形,（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）,新知講解,新知講解,例2 如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6，AB=5. 求AD的長.,四邊形ABCD是菱形，AD=AB=5., 四邊形ABCD是平行四邊形， OA=4,OB=3,證明：,即ACBD，,AB=5,滿足AB2=OA2+OB2，,AOB是直角三角形，,新知講解,例3 如圖，在ABC中，B90，

8、AB6cm，BC8cm.將ABC沿射線BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的對應(yīng)點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形,證明：由平移變換的性質(zhì)得CFAD10cm，DFAC. B90，AB6cm，BC8cm， ACDFADCF10cm， 四邊形ACFD是菱形,四邊形的條件中存在多個關(guān)于邊的等量關(guān)系時，運用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便,新知講解,菱形常用的判定方法：,1、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.,2、有四條邊相等的四邊形是菱形.,4、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.,3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.,新知講解,課堂練習,1菱形的一條對角

9、線長等于邊長，則菱形的兩鄰角的度數(shù)是_,60和120,2菱形的邊長是13cm，它的一條對角線BD=10cm, 對角線AC= cm，菱形的面積是= .,24,120cm2,課堂練習,3.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個條件可以是 （ ） AABC=90 BACBD CAB=CD DABCD,B,課堂練習,4.如圖，將ABC沿BC方向平移得到DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60,B,解：將ABC沿BC方向平移得到DCE， ACDE，AC=DE， 四邊形ABE

10、D為平行四邊形. 當AC=BC時， 平行四邊形ACED是菱形 故選B,中考鏈接,1. 菱形不具備的性質(zhì)是（） A四條邊都相等B對角線一定相等 C是軸對稱圖形 D是中心對稱圖形,【解答】菱形的四條邊相等，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對角線垂直不一定相等， 故選：B,B,中考鏈接,2.用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD，下列作法中錯誤的是（）,【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可,C,課堂總結(jié),今天你學到了什么,一個定義：,四個判定：,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形,S菱形=底高 S菱形= 對角線乘積的一半,特在“邊、對角線、軸對稱”,兩個公式：,三個特性：,1、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.,2、有四條邊相等的四邊形是菱形.,4、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.,3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.,板書設(shè)計,一個定義：,四個判定：,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形,S菱形=底高 S菱形= 對角線